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Estadística 4 ESO ejercicios resueltos paso a paso
Matemáticas A y B · 4.º ESO · Estadística
Estadística 4.º ESO: ejercicios resueltos paso a paso
La estadística no termina al calcular una media. Hay que saber de dónde salen los datos, elegir una representación honesta, comparar grupos y explicar hasta dónde llega una conclusión. Este cuaderno reúne ese recorrido con 22 modelos resueltos y práctica de examen.
Qué trabaja este cuaderno
Aquí sí se valora la representatividad de una muestra y el alcance de una conclusión, pero no se trabajan intervalos de confianza, cálculos de tamaño muestral ni el cálculo manual de una recta de regresión.
Un método breve para no perderse
Población, muestra, individuo y variable.
Tabla, frecuencias y representación adecuada.
Centro, posición y dispersión.
Grupos, porcentajes, cajas o nubes.
Escribir qué significa el resultado.
No afirmar más de lo que permiten los datos.
1. Empezar por un buen estudio
Antes de calcular hay que saber qué se está observando y a quién representan los datos. Una tabla impecable no corrige una muestra mal elegida.
1Clasificar las variables
En una encuesta se registran el medio de transporte, el número de hermanos, la altura y el grado de satisfacción —bajo, medio o alto—. Clasifica las cuatro variables.
El medio de transporte describe categorías sin orden: es cualitativa nominal. El número de hermanos toma valores enteros contables: es cuantitativa discreta. La altura puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo: es cuantitativa continua. La satisfacción es una categoría con orden: es cualitativa ordinal.
Resultado. Nominal, discreta, continua y ordinal, respectivamente.
2Población, individuo, muestra y variable
Un instituto tiene 480 estudiantes. Se eligen 80 al azar para estudiar los minutos diarios de pantalla. Identifica los elementos del estudio.
- Población: los 480 estudiantes.
- Individuo: cada estudiante.
- Muestra: los 80 seleccionados.
- Variable: tiempo diario de pantalla, cuantitativa continua aunque se anote redondeado a minutos.
Resultado. La muestra es una parte de la población; la variable es lo que se observa en cada individuo.
3Detectar una muestra sesgada y redactar la ficha técnica
Para conocer la satisfacción con el gimnasio municipal se pregunta solo a quienes acuden el lunes a las 12:00. ¿Es una muestra representativa?
No. Esa franja deja fuera a quienes entrenan por la tarde, los fines de semana o no pueden acudir a mediodía. El horario de selección puede alterar el resultado.
Una mejora razonable sería escoger usuarios al azar en varios días y franjas, manteniendo proporciones parecidas a las del registro de asistencia.
Población estudiada, tamaño de la muestra, método de selección, fechas, variable o pregunta y forma de recogida. Sin estos datos, un porcentaje aislado dice muy poco.
Resultado. La muestra inicial está sesgada; hace falta repartir la selección entre horarios y días.
2. Tablas de frecuencias
Las frecuencias ordenan los datos y permiten responder cuántos, qué proporción y cuántos se acumulan hasta un valor.
4Tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas
Los libros leídos por diez alumnos son \(0,1,1,2,2,2,3,3,4,4\). Completa la tabla.
Contamos cuántas veces aparece cada valor. Después dividimos cada frecuencia entre \(N=10\). Las frecuencias acumuladas se obtienen sumando de arriba abajo.
| Libros \(x_i\) | \(f_i\) | \(h_i\) | \(F_i\) | \(H_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0,10 | 1 | 0,10 |
| 1 | 2 | 0,20 | 3 | 0,30 |
| 2 | 3 | 0,30 | 6 | 0,60 |
| 3 | 2 | 0,20 | 8 | 0,80 |
| 4 | 2 | 0,20 | 10 | 1,00 |
Resultado. El 60 % ha leído como máximo 2 libros, porque \(H_i=0{,}60\) en \(x=2\).
3. Medidas de centralización y dispersión
Media, mediana y moda resumen el centro. Cuartiles, varianza y desviación típica explican cómo se reparten los datos alrededor de ese centro.
5Media a partir de una tabla de frecuencias
Calcula la media de la tabla. Cada valor debe contarse tantas veces como indica su frecuencia.
| Valor \(x_i\) | Frecuencia \(f_i\) | Producto \(x_i f_i\) |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 5 | 10 |
| 3 | 7 | 21 |
| 4 | 6 | 24 |
Resultado. La media es \(2{,}85\). La comprobación básica es que queda entre 1 y 4.
6Media aritmética sencilla
Las notas de cinco controles son \(6,7,5,8,9\). Calcula la media.
Sumamos los cinco datos y dividimos entre cinco:
Resultado. La media es \(7\).
7Media ponderada en una calificación
El examen vale el 70 % y los trabajos el 30 %. Un alumno obtiene un 8 y un 6, respectivamente.
Los pesos suman \(0{,}70+0{,}30=1\), así que calculamos:
Resultado. La nota final es \(7{,}4\). No se promedian 8 y 6 directamente porque no pesan lo mismo.
8Mediana y moda
Dados los datos ordenados \(4,6,6,7,9,10,10,10\), calcula la mediana y la moda.
Hay ocho datos. La mediana es la media de los dos centrales, 7 y 9. La moda es el valor que más se repite.
Resultado. Mediana \(8\) y moda \(10\).
9Cuartiles y rango intercuartílico
Con el convenio de la mediana de cada mitad, estudia \(2,3,4,5,6,7,8,9\).
La mediana general es \((5+6)/2=5{,}5\). La mitad inferior es \(2,3,4,5\) y la superior \(6,7,8,9\).
Resultado. \(Q_1=3{,}5\), \(Q_2=5{,}5\), \(Q_3=7{,}5\) y \(RI=4\).
10Varianza y desviación típica
Calcula la varianza y la desviación típica de \(2,4,6,8\), considerando los cuatro datos como la población estudiada.
| \(x_i\) | \(x_i-\overline{x}\) | \((x_i-\overline{x})^2\) |
|---|---|---|
| 2 | −3 | 9 |
| 4 | −1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 |
| 8 | 3 | 9 |
Resultado. Varianza \(5\) y desviación típica \(\sqrt{5}\approx2{,}24\).
11Coeficiente de variación · ampliación útil
El grupo A tiene media 70 y desviación típica 7. El grupo B tiene media 40 y desviación típica 6. ¿Cuál tiene mayor dispersión relativa?
Como las medias son distintas, comparamos la desviación con la media:
Resultado. El grupo B tiene mayor dispersión relativa. El coeficiente de variación es útil aquí, pero no sustituye a la desviación típica en todos los problemas.
12Misma media, distinta dispersión
Compara A: \(5,5,5,5,5\) y B: \(1,3,5,7,9\).
Ambos grupos suman 25 y tienen cinco datos, luego su media es 5. En A todas las desviaciones son cero. En B, los cuadrados de las desviaciones suman \(16+4+0+4+16=40\).
Resultado. La media no basta para comparar. B está mucho más disperso que A.
4. Representar y leer datos con criterio
Un gráfico sirve si respeta el tipo de variable, la escala y la pregunta. También puede engañar si se recorta un eje o se elige una representación inadecuada.
13Interpretar un gráfico de barras
El gráfico recoge las horas de estudio al día de 18 alumnos, registradas en horas enteras.
Resultado. La media es aproximadamente \(2{,}28\) horas y la moda es 2 horas.
14Histograma y media con datos agrupados
Las edades se agrupan en cuatro intervalos. Calcula una media aproximada.
| Intervalo | Marca de clase | Frecuencia |
|---|---|---|
| [10, 20) | 15 | 4 |
| [20, 30) | 25 | 9 |
| [30, 40) | 35 | 5 |
| [40, 50) | 45 | 2 |
Resultado. La media aproximada es \(27{,}5\) años. Se dice aproximada porque cada intervalo se representa por su marca de clase.
15Elegir el gráfico que realmente encaja
Elige una representación adecuada para cada situación.
- Color de ojos: barras o sectores, porque es cualitativa.
- Tiempo de desplazamiento agrupado: histograma, porque es continuo y se organiza en intervalos.
- Temperatura a lo largo de un mes: gráfico de líneas, porque interesa la evolución temporal.
- Comparar notas de dos clases: diagramas de caja, porque muestran posición y dispersión.
- Horas de estudio y calificación: nube de puntos, porque intervienen dos variables cuantitativas.
Resultado. El gráfico se elige por el tipo de variable y la pregunta, no por costumbre.
16Construir e interpretar un diagrama de caja
Estudia los datos \(2,3,4,5,5,6,7,8,9,15\).
Con la mediana de cada mitad: \(Q_1=4\), \(Q_2=5{,}5\) y \(Q_3=8\). Por tanto, \(RI=4\). Los límites para detectar posibles atípicos son:
Resultado. Caja de 4 a 8, mediana 5,5, bigotes hasta 2 y 9, y 15 como posible valor atípico.
17Detectar un gráfico engañoso
Dos grupos obtienen un 78 % y un 82 % de respuestas correctas. El primer gráfico empieza en 76 y hace que la diferencia parezca enorme.
Resultado. La diferencia existe, pero es de 4 puntos porcentuales. Antes de interpretar una barra hay que leer el origen y la escala del eje.
5. Dos variables, asociación y ajuste
Al cruzar dos variables se buscan patrones. En 4.º ESO interesa interpretar tablas y nubes, valorar un ajuste con tecnología y no confundir asociación con causalidad.
18Leer una tabla de contingencia
La tabla cruza dos variables cualitativas en 60 estudiantes.
| Actividad semanal | Descansa bien | No descansa bien | Total |
|---|---|---|---|
| Practica deporte | 24 | 6 | 30 |
| No practica | 12 | 18 | 30 |
| Total | 36 | 24 | 60 |
Resultado. En la muestra, descansa bien el 80 % de quienes practican deporte y el 40 % de quienes no. Hay asociación, pero la tabla por sí sola no demuestra que una variable cause la otra.
19Interpretar una nube de puntos y un valor atípico
Los puntos relacionan horas de estudio y calificación.
Resultado. La asociación es positiva y bastante clara en cinco puntos. El punto de muchas horas y nota baja merece revisarse, pero no debe eliminarse sin conocer su origen.
20Decidir si tiene sentido un ajuste lineal
Observa las dos nubes. Una recta resume razonablemente el patrón A; en B los puntos bajan y después suben.
Resultado. El ajuste lineal es razonable para A y poco adecuado para B. Antes de aceptar una ecuación hay que mirar la forma de la nube.
21Interpretar una recta obtenida con tecnología
Una hoja de cálculo ajusta la relación entre horas semanales de práctica \(x\) y calificación \(y\):
La pendiente 0,8 indica que el modelo asocia una hora semanal más con 0,8 puntos más de calificación media. El término 4,2 es la predicción cuando \(x=0\), no una nota garantizada.
Resultado. Para 4 horas, el modelo estima 7,4. La predicción es prudente si 4 está dentro del intervalo observado; extrapolar a 20 horas no sería fiable.
22Diseñar el estudio y limitar la conclusión
De 600 estudiantes se eligen 120 al azar, respetando la proporción de cada curso. De ellos, 72 prefieren abrir la biblioteca por la tarde.
La selección estratificada por curso mejora la representatividad. La conclusión correcta es que la muestra sugiere que alrededor del 60 % del alumnado prefiere ese horario. No puede afirmarse que sean exactamente 360 estudiantes ni generalizar el resultado a todos los jóvenes de la ciudad.
Población: 600 estudiantes. Muestra: 120. Selección: aleatoria y proporcional por curso. Variable: preferencia de horario. Resultado muestral: 60 %.
Resultado. Una buena conclusión explica a quién representa la muestra y evita convertir una estimación en una certeza.
6. Doce ejercicios para practicar
Intenta resolver cada ejercicio antes de desplegar la solución. En el PDF aparecen todos desarrollados.
1Clasifica: grupo sanguíneo, número de mascotas, masa corporal y nivel de acuerdo.
Grupo sanguíneo: cualitativa nominal. Mascotas: cuantitativa discreta. Masa: cuantitativa continua. Acuerdo: cualitativa ordinal.
2Un sondeo sobre transporte se realiza solo en el aparcamiento. Explica el sesgo.
Se favorece a quienes llegan en coche o moto. Habría que seleccionar alumnado en aulas o listados, no en un lugar asociado a una respuesta.
3Construye \(f_i\), \(h_i\) y \(F_i\) para \(1,1,2,2,2,3,4,4\).
Para 1, 2, 3 y 4: \(f_i=(2,3,1,2)\); \(h_i=(0{,}25,0{,}375,0{,}125,0{,}25)\); \(F_i=(2,5,6,8)\). Las frecuencias relativas suman 1.
4Calcula la media de \(4,6,6,8,11\).
La suma es 35 y hay 5 datos. \(\overline x=35/5=7\).
5Halla mediana y moda de \(2,3,3,4,5,7\).
Hay seis datos: mediana \((3+4)/2=3{,}5\). El único valor repetido es 3, luego la moda es 3.
6Usando el convenio de la mediana de cada mitad, calcula los cuartiles y el rango intercuartílico de \(1,2,3,4,6,8,10,14\).
Con los datos ordenados, \(Q_2=(4+6)/2=5\). En la mitad inferior, \(Q_1=(2+3)/2=2{,}5\); en la superior, \(Q_3=(8+10)/2=9\). Por tanto, \(RI=Q_3-Q_1=9-2{,}5=6{,}5\).
7Calcula varianza poblacional y desviación típica de \(3,3,7,7\).
Media 5. Los cuatro cuadrados de las desviaciones son 4. Su suma es 16: \(\sigma^2=16/4=4\) y \(\sigma=2\).
8A: media 50, desviación típica 5. B: media 80, desviación típica 12. Compara la dispersión relativa.
\(CV_A=5/50=10\%\) y \(CV_B=12/80=15\%\). B tiene mayor dispersión relativa.
9Elige gráfico para tiempos agrupados, color favorito y relación altura-peso.
Histograma para tiempos agrupados; barras o sectores para color favorito; nube de puntos para altura y peso.
10En A aprueban 16 de 20; en B, 12 de 20. Compara porcentajes.
A: \(16/20=80\%\). B: \(12/20=60\%\). La diferencia muestral es de 20 puntos porcentuales; no demuestra por sí sola la causa.
11Interpreta \(\widehat y=1{,}5x+2\) y calcula la predicción para \(x=4\).
La pendiente indica 1,5 unidades previstas de aumento por cada unidad de \(x\). Para \(x=4\), \(\widehat y=1{,}5\cdot4+2=8\).
12Una encuesta voluntaria en una red social pretende representar a toda una ciudad. Valórala.
La participación voluntaria y el uso de una sola red introducen sesgo. La conclusión solo describe a quienes respondieron; hace falta una selección probabilística más amplia.
7. Cómo comprobar las soluciones
Los totales encajan
Las frecuencias absolutas suman \(N\) y las relativas suman 1 o 100 %.
El resultado tiene sentido
La media queda entre el mínimo y el máximo; una desviación nunca es negativa.
La frase final responde
Un número sin unidad, grupo de referencia o límite de la conclusión está incompleto.
8. Diez errores frecuentes
- Confundir población y muestra. La población es el conjunto que se quiere estudiar; la muestra es solo la parte observada.
- Llamar continua a una variable cualitativa. Primero hay que decidir si el dato es una categoría o una cantidad.
- Olvidar los totales. Las frecuencias absolutas deben sumar \(N\) y las relativas, 1 o 100 %.
- Calcular la mediana sin ordenar. La posición central solo tiene sentido después de ordenar los datos.
- Cambiar el denominador de la varianza. Si se estudia el conjunto dado como población, aquí se divide entre \(N\).
- Comparar escalas distintas solo con \(\sigma\). Cuando las medias son muy diferentes, conviene valorar también la dispersión relativa.
- Dibujar barras pegadas para categorías. Las barras se separan; los rectángulos de un histograma son contiguos.
- Ignorar un eje truncado. La escala puede exagerar visualmente una diferencia pequeña.
- Convertir asociación en causa. Una tabla o una nube muestran relación, no demuestran por sí solas el motivo.
- Extrapolar sin límite. Una recta es más fiable dentro del intervalo observado que muy lejos de los datos.
Define la población · Comprueba totales · Escribe unidades · Mira la escala · Compara con porcentajes coherentes · Explica el alcance real.
Del cálculo a una respuesta que puntúa
«La media es 6,4».
El cálculo puede ser correcto, pero falta explicar qué se ha medido y a quién corresponde.
«En el grupo estudiado, la media es de 6,4 horas semanales. Resume el centro de los datos, aunque no describe por sí sola su dispersión».
Antes de entregar: comprueba si tu última frase podría entenderla una persona que no ha visto las cuentas.
Tres frases que conviene saber corregir
«A tiene mayor media que B» no informa sobre cuál es más homogéneo. Para eso hace falta comparar también la dispersión.
«El 60 % de la ciudad opina…» solo es defendible si la muestra representa bien a esa ciudad y se explica cómo fue elegida.
«Quienes estudian más aprueban más» describe una asociación. Sin un diseño adecuado no demuestra qué variable causa el resultado.
Señal de alerta: si aparecen «todos», «siempre» o «demuestra», revisa la muestra y el diseño antes de cerrar la frase.
9. Examen de síntesis · 10 puntos
Seis ejercicios breves que recorren el cuaderno: E1, 1,5 puntos; E2, 2 puntos; E3, 1,5 puntos; E4, 1,5 puntos; E5, 1,5 puntos; E6, 2 puntos. Total: 10 puntos. Cada solución muestra el criterio que conviene dejar por escrito.
E1Población, variable y muestra · 1,5 puntos
Un centro quiere conocer el tiempo de desplazamiento de sus 900 estudiantes y pregunta solo a una clase de 30. Identifica población y variable, explica el problema de la muestra y propone una mejora.
Solución. Población: 900 estudiantes. Muestra: los 30 estudiantes de la clase elegida. Variable: tiempo de desplazamiento, cuantitativa continua. Una sola clase puede no representar cursos, edades o zonas. Conviene seleccionar al azar estudiantes de todos los cursos en proporción a su tamaño.
E2Frecuencias, media, mediana y moda · 2 puntos
Organiza en una tabla las frecuencias absolutas y calcula la media, la mediana y la moda de \(0,1,1,2,2,2,3,3,4,6\).
| Valor | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Frecuencia | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 |
Solución. Las frecuencias suman \(N=10\). La suma de los datos es 24, por tanto \(\overline x=2{,}4\). Los valores centrales son 2 y 2: mediana 2. El valor más frecuente también es 2.
E3Comparar dos grupos · 1,5 puntos
Considera cada lista como el conjunto completo estudiado. A: \(4,5,5,5,6\). B: \(1,3,5,7,9\). Compara la media y la desviación típica poblacional.
Solución. Ambos tienen media 5. Al dividir entre \(N=5\), en A la suma de cuadrados es 2: \(\sigma_A=\sqrt{2/5}\approx0{,}63\). En B es 40: \(\sigma_B=\sqrt{40/5}=\sqrt8\approx2{,}83\). B es mucho más disperso.
E4Histograma y media aproximada · 1,5 puntos
Las frecuencias de \([0,10),[10,20),[20,30),[30,40)\) son 3, 7, 8 y 2. Representa el histograma y calcula la media aproximada.
Solución. Como todas las clases tienen amplitud 10, se dibujan cuatro rectángulos contiguos de alturas 3, 7, 8 y 2. Para estimar la media usamos las marcas de clase 5, 15, 25 y 35:
E5Tabla de contingencia · 1,5 puntos
De 25 alumnos que usan planificador aprueban 21; de otros 25 que no lo usan, aprueban 15. Completa la tabla y compara los porcentajes dentro de cada grupo.
| Grupo | Aprueba | No aprueba | Total |
|---|---|---|---|
| Usa planificador | 21 | 4 | 25 |
| No usa planificador | 15 | 10 | 25 |
| Total | 36 | 14 | 50 |
Solución. Entre quienes usan planificador, \(21/25=84\%\); entre quienes no lo usan, \(15/25=60\%\). En la muestra hay 24 puntos porcentuales de diferencia. Existe asociación, pero no se ha demostrado que el planificador sea la causa.
E6Ajuste lineal e interpretación · 2 puntos
Una hoja de cálculo obtiene \(\widehat y=0{,}6x+4{,}5\). Interpreta la pendiente, predice para \(x=5\) y explica por qué no conviene usarla para \(x=20\) si los datos observados llegan solo hasta 7.
Solución. Cada unidad adicional de \(x\) se asocia con 0,6 unidades previstas de \(y\). Para 5: \(0{,}6\cdot5+4{,}5=7{,}5\). Usar 20 sería una extrapolación muy alejada y puede producir una predicción sin sentido.
Preguntas frecuentes sobre Estadística de 4.º ESO
¿Este cuaderno sirve para Matemáticas A y B?
Sí. El núcleo estadístico es común. Puede cambiar la profundidad o el orden según la programación del centro.
¿En 4.º ESO entra la distribución normal?
No forma parte de este recorrido. La normal se trabaja en Bachillerato y se enlaza solo como continuación.
¿Por qué aparece una recta de ajuste?
Porque en 4.º ESO se interpreta un ajuste obtenido con tecnología. Aquí no se deducen mínimos cuadrados ni se calcula a mano el coeficiente de correlación.
¿Una correlación demuestra una causa?
No. Una asociación puede deberse a otras variables, al diseño del estudio o incluso al azar.
¿Qué conviene escribir después de calcular?
El valor, la unidad, el grupo al que se refiere y una frase que explique qué significa sin exagerar la conclusión.
Estadística: calcular, leer y no exagerar
Un buen trabajo estadístico une tres cosas: cuentas limpias, una representación honesta y una conclusión proporcionada a los datos. Si una de ellas falla, el resultado puede parecer preciso y seguir siendo engañoso.
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