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Determinantes 2 Bachillerato: ejercicios resueltos tipo EBAU Castilla y León
Biblioteca Marlu Educativa® · Matemáticas · 2.º Bachillerato
La dificultad no está solo en hacer las cuentas: hay que elegir un método, controlar los signos y saber qué permite concluir el resultado. Aquí se explica cada decisión con modelos resueltos y práctica que puedes intentar antes de abrir la solución.
El centro de esta guía son Sarrus, Laplace, propiedades y parámetros. La inversa, el rango y los sistemas aparecen como aplicaciones breves; sus procedimientos completos continúan en recursos específicos.
53 actividades con solución y comprobación · Cálculo, propiedades y parámetros.
Ficha de clase · 12 actividades seleccionadas · Nombre __________________ Grupo ______ Fecha ______
Índice de estudio
Elige el método antes de calcular
Un determinante largo puede resolverse en dos líneas si reconoces su estructura. Sigue este orden:
- Observa. ¿Hay una fila nula, filas proporcionales o forma triangular? Revisa también las columnas.
- Busca ceros. Si una fila o columna tiene varios, desarrolla por ella mediante Laplace.
- Transforma con control. Sumar a una fila un múltiplo de otra conserva el determinante. Anota aparte intercambios y factores.
- Calcula. Fórmula directa en orden 2; Sarrus solo en orden 3. En órdenes superiores, propiedades, triangularización o Laplace.
- Comprueba. Contrasta el signo, un valor del parámetro o una dependencia entre filas. Responde a la pregunta: valor, anulación o invertibilidad.
Qué representa un determinante
A cada matriz cuadrada le corresponde un número, su determinante, escrito \(\det A\) o \(|A|\). No es una matriz ni se define para una matriz rectangular. Si \(\det A\ne0\), la matriz es invertible; si vale cero, sus filas y columnas son dependientes.
| Situación | Decisión útil |
|---|---|
| Orden 2 | \(ad-bc\). Modelos 1–3. |
| Orden 3 con pocos ceros | Sarrus, separando los dos grupos de productos. Modelo 4. |
| Fila o columna con ceros | Laplace por esa fila o columna. Modelo 18. |
| Estructura triangular o dependencia | Propiedades antes que desarrollo. Modelos 5–9. |
| Parámetro | Calcular, factorizar y estudiar todos los valores singulares. Modelos 3, 15–17 y 28–29. |
Orden 2: el orden de la resta
\[\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.\]Calcula primero los productos con sus signos y resta después. El segundo producto se resta completo. Si contiene un número negativo, escribe el paréntesis.
Sarrus: solo para orden 3
Para una matriz con filas \((a,b,c)\), \((d,e,f)\) y \((g,h,i)\):
\[\det A=(aei+bfg+cdh)-(ceg+bdi+afh).\]El signo menos afecta a los tres productos del segundo grupo. Sarrus no se prolonga a una matriz de orden 4.
Menores, cofactores y Laplace
El menor \(M_{ij}\) es el determinante que queda al suprimir la fila \(i\) y la columna \(j\). Su cofactor o adjunto es \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\). Los signos alternan desde el positivo de la esquina superior izquierda.
\[\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}\]Por una fila fija \(i\), \(\det A=\sum_j a_{ij}C_{ij}\); por una columna fija \(j\), \(\det A=\sum_i a_{ij}C_{ij}\). Cada entrada multiplica su propio cofactor. Conviene elegir la fila o columna con más ceros. El modelo 18 muestra el desarrollo y la práctica 7 trabaja un cofactor de signo negativo.
Propiedades: qué cambia y qué se conserva
| Operación o estructura | Efecto |
|---|---|
| Intercambiar dos filas | Cambia el signo. |
| Multiplicar una fila por \(k\) | Multiplica el determinante por \(k\). |
| \(F_i\leftarrow F_i+kF_j\), \(i\ne j\) | Conserva el determinante. |
| Fila nula, dos iguales o proporcionales | El determinante es cero. |
| Matriz triangular | Producto de las entradas de la diagonal principal. |
| Trasponer una matriz cuadrada | \(\det(A^T)=\det A\). |
| Multiplicar matrices cuadradas del mismo orden | \(\det(AB)=\det A\det B\). |
Una fila no es toda la matriz. Si \(A\) tiene orden \(n\), \(\det(kA)=k^n\det A\), porque se multiplica cada una de sus \(n\) filas. Tampoco existe una regla general \(\det(A+B)=\det A+\det B\): la linealidad se aplica a una fila o columna manteniendo las demás fijas.
Parámetros: no pierdas los casos singulares
Empieza por el dominio de las entradas. Calcula \(D(t)\), factoriza y resuelve \(D(t)=0\). Esos valores se sustituyen en la matriz original si hay que estudiar rango o un sistema. Para los demás, \(D(t)\ne0\) garantiza invertibilidad.
No dividas una fila por \(t\), \(t-1\) u otra expresión sin separar antes cuándo vale cero. Las operaciones de suma de filas suelen evitar esa división.
Aplicaciones: qué permite concluir el determinante
Invertibilidad
Para una matriz cuadrada, \(A^{-1}\) existe exactamente cuando \(\det A\ne0\). Si existe, \(\det(A^{-1})=1/\det A\). Aquí practicamos este criterio; la construcción de la inversa y las ecuaciones matriciales continúan en la guía de Matrices.
Rango por menores
Un menor de orden \(r\) no nulo demuestra \(\operatorname{rg}A\ge r\). Para afirmar igualdad, hay que descartar órdenes superiores o haber alcanzado \(\min(m,n)\). En una matriz 3×3 con determinante cero, un menor 2×2 no nulo demuestra rango 2.
Cramer
En un sistema cuadrado \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), \(\det A\ne0\) garantiza solución única. Cramer sustituye, una a una, las columnas de \(A\) por \(\mathbf b\): \(x_i=\det(A_i)/\det A\). Si el denominador se anula, esa fórmula no se puede aplicar.
Los valores con determinante cero
Un determinante cero no distingue por sí solo entre incompatibilidad e infinitas soluciones. Compara \(\operatorname{rg}A\) y \(\operatorname{rg}(A|b)\). Si son distintos, no hay solución; si coinciden en un valor menor que el número de incógnitas, hay infinitas. La discusión completa por casos pertenece a su monográfico.
33 modelos resueltos
En los modelos puedes seguir el razonamiento completo. En la práctica final, deja la respuesta cerrada y escribe primero tu elección de método.
Calcular y reconocer la estructura
Modelo 1 · Determinante de orden 2
Calcula el siguiente determinante:
\[D=\begin{vmatrix}4&3\\2&5\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
En orden 2 se resta al producto de la diagonal principal el de la secundaria. El orden de la resta cuenta:
\[D=4\cdot5-3\cdot2=20-6.\]El determinante vale \(14\).
Desarrollando por la segunda fila, con signos \(-,+\), se obtiene \(-2\cdot3+5\cdot4=14\). Coincide.
Modelo 2 · Orden 2 con números negativos
Calcula el determinante y justifica el signo del resultado:
\[D=\begin{vmatrix}-2&5\\3&-1\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
El primer producto es positivo porque multiplica dos números negativos. Después se resta el segundo producto completo:
\[D=(-2)(-1)-5\cdot3=2-15.\]Se obtiene \(D=-13\): el producto que se resta es mayor.
Si se intercambian las filas, el cálculo da \(3\cdot5-(-1)(-2)=13\). Es el opuesto, como exige la propiedad del intercambio.
Modelo 3 · Cuándo se anula un determinante de orden 2
Halla todos los valores reales de \(a\) para los que se anula este determinante:
\[D(a)=\begin{vmatrix}a&2\\3&a-1\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
Calculamos primero el determinante como una expresión en \(a\):
\[D(a)=a(a-1)-2\cdot3=a^2-a-6.\]Pedir que se anule significa resolver \(D(a)=0\), no igualar a cero cada entrada de la matriz.
Un producto es cero si al menos uno de sus factores es cero.
Los valores buscados son \(a=3\) y \(a=-2\).
En la expresión original: \(D(3)=3\cdot2-6=0\) y \(D(-2)=(-2)(-3)-6=0\). La ecuación es de segundo grado y ya hemos encontrado sus dos raíces distintas.
Modelo 4 · Sarrus con control de signos
Calcula por la regla de Sarrus:
\[D=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
Separamos las dos sumas para que el signo menos afecte a todos los productos del segundo grupo:
\[P=1\cdot1\cdot0+2\cdot4\cdot5+3\cdot0\cdot6=40,\]\[Q=3\cdot1\cdot5+2\cdot0\cdot0+1\cdot4\cdot6=39.\]El determinante es \(D=P-Q=40-39\). Los productos nulos desaparecen, pero no cambian el signo de los demás.
El determinante vale \(1\).
Por Laplace en la primera fila, los tres términos son \(1(-24)\), \(-2(-20)\) y \(3(-5)\). Su suma, \(-24+40-15=1\), confirma el resultado por otro método.
Modelo 5 · Reconocer una matriz triangular
Calcula este determinante sin utilizar Sarrus:
\[D=\begin{vmatrix}2&4&-1\\0&3&5\\0&0&-2\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
Todos los elementos situados bajo la diagonal principal son cero: la matriz es triangular superior. Su determinante es el producto de la diagonal:
\[D=2\cdot3\cdot(-2).\]El determinante vale \(-12\).
Por la primera columna solo sobrevive el primer término: \(2[3(-2)-5\cdot0]=-12\). Los valores \(4\) y \(-1\) no intervienen.
Modelo 6 · Dos filas iguales
Determina el valor de este determinante sin desarrollarlo:
\[D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\1&2&3\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
La primera y la tercera fila son iguales. Al intercambiarlas, la matriz no cambia, pero el determinante debería cambiar de signo. Así, \(D=-D\), lo que obliga a que sea cero.
Se obtiene \(D=0\).
La operación \(F_3\leftarrow F_3-F_1\) conserva el determinante y deja una fila nula, otra razón para que valga cero.
Modelo 7 · Filas proporcionales
Decide, sin aplicar Sarrus, cuánto vale el determinante. Indica la relación entre las filas que permite resolverlo:
\[D=\begin{vmatrix}1&-2&4\\3&0&1\\2&-4&8\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
Se cumple \(F_3=2F_1\) en las tres entradas. Dos filas proporcionales hacen nulo el determinante; la segunda fila no altera esa dependencia.
El determinante es \(0\).
Al hacer \(F_3\leftarrow F_3-2F_1\) aparece la fila \((0,0,0)\). Esta operación conserva el determinante y confirma la anulación.
Modelo 8 · Extraer factor común de una sola fila
Calcula el determinante extrayendo primero el factor común de la primera fila:
\[D=\begin{vmatrix}2&4&6\\1&0&3\\2&1&-1\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
La primera fila es \(2(1,2,3)\). El factor sale una sola vez, porque solo se modifica esa fila:
\[D=2E,\qquad E=\begin{vmatrix}1&2&3\\1&0&3\\2&1&-1\end{vmatrix}.\]En Sarrus, los productos del primer grupo suman \(0+12+3=15\); los del segundo, \(0-2+3=1\). Así, \(E=15-1=14\) y hay que recuperar el factor exterior.
El determinante pedido vale \(D=2\cdot14=28\).
En \(E\), las operaciones \(F_2\leftarrow F_2-F_1\) y \(F_3\leftarrow F_3-2F_1\) dejan las filas \((1,2,3)\), \((0,-2,0)\), \((0,-3,-7)\). Por la primera columna, \(E=(-2)(-7)=14\), sin Sarrus.
Modelo 9 · Una columna nula
Calcula el determinante utilizando su estructura:
\[D=\begin{vmatrix}1&0&3\\2&0&4\\5&0&6\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
La segunda columna es nula. Al desarrollar por ella, cada menor queda multiplicado por cero; por eso no hace falta calcular ninguno.
El determinante vale \(0\).
En cualquier producto de Sarrus aparece una entrada de cada columna. Todos contienen, por tanto, un cero de la segunda columna.
Propiedades sin desarrollar todas las cuentas
Modelo 10 · Intercambiar dos filas
Una matriz cuadrada \(A\) tiene determinante \(7\). Se obtiene \(B\) intercambiando una sola vez dos filas distintas de \(A\). ¿Cuánto vale \(\det B\)?
Ver solución y comprobación
Un intercambio de dos filas cambia únicamente el signo del determinante. No se multiplica por el número de filas ni se altera su valor absoluto:
\[\det B=-\det A.\]Se obtiene \(\det B=-7\).
Si se intercambian de nuevo esas mismas filas, se recupera \(A\). El segundo cambio de signo devuelve \(-(-7)=7\), de acuerdo con el dato inicial.
Modelo 11 · Determinante de un múltiplo de la matriz
La matriz \(A\) es de orden \(3\) y \(\det A=5\). Calcula \(\det(2A)\).
Ver solución y comprobación
En \(2A\) se multiplica por \(2\) cada una de las tres filas. Cada fila aporta un factor \(2\) al determinante:
\[\det(2A)=2\cdot2\cdot2\,\det A=2^3\cdot5.\]Por tanto, \(\det(2A)=40\).
Si solo se duplicase una fila, el resultado sería \(10\). Aquí se duplican las tres: los tres cambios sucesivos llevan de \(5\) a \(10\), a \(20\) y a \(40\).
Modelo 12 · Determinante de un producto
Sean \(A\) y \(B\) dos matrices cuadradas del mismo orden, con \(\det A=3\) y \(\det B=-2\). Calcula \(\det(AB)\).
Ver solución y comprobación
No conocemos las entradas de las matrices ni las necesitamos. El determinante de un producto es el producto de sus determinantes:
\[\det(AB)=\det A\,\det B=3(-2).\]Se obtiene \(\det(AB)=-6\).
El signo debe ser negativo, al multiplicar un determinante positivo por otro negativo. También \(\det(BA)=-6\), aunque las matrices \(AB\) y \(BA\) no tienen por qué ser iguales.
Modelo 13 · Determinante de la inversa
Una matriz cuadrada \(A\) tiene determinante \(4\). Justifica que tiene inversa y calcula \(\det(A^{-1})\).
Ver solución y comprobación
Como \(\det A\ne0\), la inversa existe. De \(AA^{-1}=I\), tomando determinantes:
\[\det A\,\det(A^{-1})=\det I=1.\]Por eso el determinante de la inversa es el recíproco del original.
Se obtiene \(\det(A^{-1})=\dfrac14\).
El producto \(4\cdot\frac14=1\) cumple la identidad exigida. El valor \(-4\) no la cumpliría: invertir una matriz no consiste en cambiar el signo de su determinante.
Modelo 14 · Determinante de la traspuesta
Sea \(A\) una matriz cuadrada con \(\det A=-5\). Calcula \(\det(A^{\mathsf T})\), donde \(A^{\mathsf T}\) es su traspuesta.
Ver solución y comprobación
Trasponer cambia filas por columnas completas y conserva el determinante:
\[\det(A^{\mathsf T})=\det A.\]No es la operación de intercambiar dos filas, que sí cambia el signo.
El determinante de la traspuesta sigue siendo \(-5\).
Como control de la propiedad en orden 2, \(\begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=ps-qr\), mientras que su traspuesta da \(ps-rq\): son el mismo número, también cuando resulta negativo.
Modelo 15 · Invertibilidad según un parámetro
Estudia para qué valores reales de \(a\) tiene inversa la matriz:
\[A=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}.\]Ver solución y comprobación
Para decidir si existe inversa basta estudiar el determinante; no necesitamos calcular la matriz inversa:
\[\det A=1-a^2=(1-a)(1+a).\]La matriz es invertible exactamente cuando ese producto no es cero. Se excluyen \(a=1\) y \(a=-1\); cualquier otro valor real da determinante no nulo.
La matriz tiene inversa para \(a\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}\).
Con \(a=1\), las dos filas son iguales; con \(a=-1\), son opuestas. En ambos casos el determinante se anula. Como control adicional, \(a=0\) da la identidad, que sí tiene inversa.
Modelo 16 · Un parámetro y dos factores comunes
Calcula y factoriza el determinante. Después indica para qué valores reales de \(a\) se anula:
\[D(a)=\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
Restamos la primera fila a las otras dos. Estas operaciones conservan el determinante:
\[D(a)=\begin{vmatrix}a&1&1\\1-a&a-1&0\\1-a&0&a-1\end{vmatrix}.\]En la segunda y en la tercera fila aparece \(a-1\), teniendo en cuenta que \(1-a=-(a-1)\):
\[D(a)=(a-1)^2\begin{vmatrix}a&1&1\\-1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}.\]Extraer factores es una identidad válida también para \(a=1\); no hemos dividido por \(a-1\) ni excluido ese caso.
Por la primera fila, el determinante restante es \(a+1+1=a+2\). Igualamos a cero el producto resultante.
La factorización es \(D(a)=(a-1)^2(a+2)\). Sus ceros reales son \(a=1\) y \(a=-2\).
Para \(a=1\), las tres filas son iguales. Para \(a=-2\), la suma de las tres filas es nula: son dependientes. Ambas comprobaciones explican la anulación directamente en la matriz inicial.
Modelo 17 · Suma de cubos y raíces reales
Calcula y factoriza el determinante. Halla todos los valores reales de \(a\) para los que vale cero:
\[D(a)=\begin{vmatrix}a&0&1\\1&a&0\\0&1&a\end{vmatrix}.\]Ver solución y comprobación
En Sarrus solo sobreviven \(a\cdot a\cdot a\) y \(1\cdot1\cdot1\), ambos en el grupo que se suma. Todos los productos del grupo que se resta contienen un cero:
\[D(a)=a^3+1=(a+1)(a^2-a+1).\]No basta con encontrar \(a=-1\): hay que estudiar el otro factor. Completando el cuadrado,
\[a^2-a+1=\left(a-\frac12\right)^2+\frac34>0.\]Ese factor nunca se anula en los números reales.
El determinante es \(a^3+1\) y se anula únicamente para \(a=-1\), si \(a\) es real.
Al sustituir \(a=-1\), la suma de las tres filas es \((0,0,0)\), lo que confirma que el determinante es cero. La positividad del segundo factor garantiza que no falta ningún otro valor real.
Parámetros y aplicaciones
Modelo 18 · Desarrollo por una columna con ceros
Calcula \(D=\begin{vmatrix}3&0&2\\1&0&4\\5&7&6\end{vmatrix}\) eligiendo el desarrollo más corto.
Ver solución y comprobación
En la segunda columna solo contribuye el \(7\). Su posición es \((3,2)\), de signo negativo. Al suprimir su fila y su columna queda el menor \(\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}\).
El determinante vale \(-70\).
Por la primera fila se obtiene \(3(0-28)+2(7-0)=-84+14=-70\). Coinciden ambos desarrollos.
Modelo 19 · Rango mediante un menor no nulo
Determina el rango de \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}\) utilizando determinantes.
Ver solución y comprobación
Como \(F_2=2F_1\), las filas son dependientes: \(\det A=0\) y el rango es menor que \(3\). Esto todavía no permite elegir entre rango \(1\) y rango \(2\).
Tomamos las filas primera y tercera y las dos primeras columnas:
\[\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=-2\ne0.\]Existe un menor de orden \(2\) no nulo, luego el rango es al menos \(2\).
Las dos cotas fijan \(\operatorname{rg}(A)=2\).
Al hacer \(F_2\leftarrow F_2-2F_1\) y \(F_3\leftarrow F_3-F_1\), quedan las filas \((1,2,3)\), \((0,0,0)\) y \((0,-2,-2)\). Hay exactamente dos pivotes.
Modelo 20 · Rango con un parámetro
Estudia el rango de \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix}\) según el valor real de \(a\).
Ver solución y comprobación
Su determinante es \(\det A=a-1\). Si \(a\ne1\), es distinto de cero y la matriz tiene rango \(2\). Para \(a=1\), las dos filas son iguales: el rango baja a \(1\), pero no a \(0\), porque la matriz contiene elementos no nulos.
\(\operatorname{rg}(A)=2\) si \(a\ne1\); \(\operatorname{rg}(A)=1\) si \(a=1\).
La operación \(F_2\leftarrow F_2-F_1\) deja \(\begin{pmatrix}1&1\\0&a-1\end{pmatrix}\): el segundo pivote desaparece únicamente cuando \(a=1\).
Modelo 21 · Regla de Cramer en un sistema de dos incógnitas
Resuelve mediante determinantes el sistema \(\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}\).
Ver solución y comprobación
El determinante de coeficientes es \(D=\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=-3\ne0\). El sistema tiene solución única y podemos dividir entre \(D\).
La columna de términos independientes es \((5,1)^t\). Al sustituir la columna de \(x\), \(D_x=\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}=-6\); al sustituir la de \(y\), \(D_y=\begin{vmatrix}1&5\\2&1\end{vmatrix}=-9\).
\[x=\frac{D_x}{D}=2,\qquad y=\frac{D_y}{D}=3.\]La solución es \((x,y)=(2,3)\).
Sustituyendo en las dos ecuaciones: \(2+3=5\) y \(2\cdot2-3=1\). Se cumplen ambas.
Modelo 22 · Qué garantiza un determinante no nulo
Sea \(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\2&0&1\end{pmatrix}\). Calcula \(\det A\) y decide cuántas soluciones tiene \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) para cualquier columna \(\mathbf{b}\) de tres términos.
Ver solución y comprobación
Restamos \(F_1\) a \(F_2\) y \(2F_1\) a \(F_3\); estas operaciones no cambian el determinante. La primera columna permite reducirlo a orden \(2\):
\[\det A=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&-2&0\\0&-2&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-2&0\\-2&-1\end{vmatrix}=2.\]Como \(\det A\ne0\), la matriz es invertible. Para cada \(\mathbf{b}\) existe una única solución, \(\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}\).
El sistema es compatible determinado para cualquier \(\mathbf{b}\). Sin fijar sus términos no hay una solución numérica concreta que calcular.
Otro desarrollo, por la primera fila de la matriz original, da \((-1)-(-1)+2=2\).
Modelo 23 · Qué permite concluir un determinante factorizado
La matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas cumple \(\det A=(a-2)(a+1)\), con \(a\in\mathbb{R}\). ¿Para qué valores hay solución única? ¿Qué se sabe en los restantes?
Ver solución y comprobación
El determinante solo se anula para \(a=2\) y \(a=-1\). Para cualquier otro valor, \(A\) es invertible y el sistema tiene una única solución, cualquiera que sea su columna de términos independientes.
En los dos valores excepcionales, el rango de \(A\) es menor que \(3\). El sistema puede ser incompatible o tener infinitas soluciones; hay que comparar los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.
Solución única si \(a\notin\{-1,2\}\). Para \(a=-1\) o \(a=2\), el determinante descarta la unicidad, pero no decide la compatibilidad.
Un sistema homogéneo con esa matriz singular siempre sería compatible; otra columna de términos independientes podría hacerlo incompatible. Por eso los ceros de \(\det A\) no bastan para clasificar estos casos.
Modelo 24 · Un menor no nulo en una matriz rectangular
Halla mediante menores el rango de \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\3&4&1\end{pmatrix}\). ¿Tiene sentido calcular \(\det A\)?
Ver solución y comprobación
\(A\) tiene dos filas y tres columnas, así que no tiene determinante. Sí podemos seleccionar submatrices cuadradas. Las dos primeras columnas proporcionan el menor \(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=4-6=-2\ne0\).
Ese menor prueba que el rango es al menos \(2\). No puede ser mayor porque solo hay dos filas.
\(\operatorname{rg}(A)=2\); el determinante calculado pertenece a una submatriz, no a toda \(A\).
Con \(F_2\leftarrow F_2-3F_1\) queda la segunda fila \((0,-2,1)\), que aporta un segundo pivote y confirma el rango.
Consolidar técnicas y revisar condiciones
Modelo 25 · Detectar una combinación lineal
Calcula \(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\5&7&9\end{vmatrix}\) sin desarrollar sus seis productos.
Ver solución y comprobación
La tercera fila es la suma de las dos primeras: \((5,7,9)=(1,2,3)+(4,5,6)\). Las filas son linealmente dependientes y el determinante se anula.
\(D=0\).
La operación \(F_3\leftarrow F_3-F_1-F_2\) deja una fila nula sin cambiar el determinante. También así se obtiene \(0\).
Modelo 26 · Hacer ceros sin cambiar el determinante
Calcula \(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&5&8\\1&1&1\end{vmatrix}\) mediante operaciones entre filas.
Ver solución y comprobación
Aplicamos \(F_2\leftarrow F_2-2F_1\) y \(F_3\leftarrow F_3-F_1\). Sumar a una fila un múltiplo de otra conserva el determinante; no estamos multiplicando una fila completa por un número.
\[D=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&-1&-2\end{vmatrix}.\]Ahora \(F_3=-F_2\). Hay dos filas proporcionales, de modo que el determinante vale cero.
\(D=0\), sin necesidad de desarrollar.
En la matriz inicial también se cumple \(F_2+F_3=(3,6,9)=3F_1\). Esta dependencia confirma que el determinante debe anularse.
Modelo 27 · Inversa de una matriz de orden dos
Calcula la inversa de \(A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}\) utilizando su determinante.
Ver solución y comprobación
\(\det A=3\cdot2-1\cdot5=1\ne0\), luego \(A\) es invertible. En una matriz de orden \(2\), intercambiamos los elementos de la diagonal principal, cambiamos el signo de los otros dos y dividimos entre el determinante.
La división entre el determinante no altera aquí los elementos porque \(\det A=1\).
El producto \(AA^{-1}\) tiene entradas \(6-5=1\), \(-3+3=0\), \(10-10=0\) y \(-5+6=1\): es la identidad \(I_2\).
Modelo 28 · Valor real que hace singular una matriz
¿Para qué valores reales de \(m\) es singular \(A=\begin{pmatrix}m&1&0\\0&m&1\\1&0&m\end{pmatrix}\)?
Ver solución y comprobación
Una matriz cuadrada es singular cuando su determinante es cero. Por Sarrus, los únicos productos no nulos dan \(\det A=m^3+1\).
El segundo factor es \((m-\tfrac12)^2+\tfrac34>0\) para todo \(m\) real. Solo puede anularse el primer factor: \(m=-1\).
\(A\) es singular únicamente para \(m=-1\); para los demás valores reales es invertible.
Con \(m=-1\), cada fila suma cero: \(A(1,1,1)^t=(0,0,0)^t\). Un vector no nulo se transforma en el vector nulo, lo que confirma que la matriz no tiene inversa.
Modelo 29 · Parámetro por una columna con ceros
Halla los valores reales de \(a\) que anulan \(D(a)=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&a&1\\0&2&a\end{vmatrix}\).
Ver solución y comprobación
En la primera columna solo hay un término no nulo, situado en \((1,1)\) y con signo positivo. Al desarrollar por esa columna:
\[D(a)=1\begin{vmatrix}a&1\\2&a\end{vmatrix}=a^2-2.\]Imponemos \(a^2-2=0\), de donde \(a^2=2\). Tanto la raíz positiva como la negativa cumplen esta igualdad.
El determinante se anula para \(a=\sqrt2\) y para \(a=-\sqrt2\).
Al sustituir cada candidato, \((\sqrt2)^2-2=0\) y \((-\sqrt2)^2-2=0\). No se puede omitir la raíz negativa.
Modelo 30 · Determinante y Rouché–Frobenius
La matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas tiene \(\det A=(a-1)^2(a+2)\), con \(a\in\mathbb{R}\). Indica cuándo es compatible determinado y qué estudio falta en los valores excepcionales.
Ver solución y comprobación
Si \(a\ne1,-2\), entonces \(\det A\ne0\) y \(\operatorname{rg}(A)=3\). La matriz ampliada también tiene rango \(3\), así que el sistema tiene solución única.
Para \(a=1\) o \(a=-2\), el rango de \(A\) es menor que \(3\). Hay que compararlo con el de la ampliada \(A^*\): si coinciden, hay infinitas soluciones; si difieren, no hay solución.
Es compatible determinado para \(a\notin\{1,-2\}\). Los dos casos restantes requieren las matrices completas, incluidos los términos independientes.
El factor \((a-1)^2\) no prueba que el rango sea \(1\) cuando \(a=1\). La multiplicidad de una raíz del determinante no sustituye el cálculo de menores o la reducción de filas.
Modelo 31 · Determinante de orden cuatro por Laplace
Calcula \(D=\begin{vmatrix}2&0&0&0\\1&3&1&0\\0&2&4&1\\0&0&1&5\end{vmatrix}\) desarrollando por la fila que exige menos operaciones.
Ver solución y comprobación
La primera fila contiene tres ceros. El \(2\) ocupa la posición \((1,1)\), de signo positivo; al eliminar su fila y su columna:
\[D=2\begin{vmatrix}3&1&0\\2&4&1\\0&1&5\end{vmatrix}.\]Desarrollamos el menor por su primera fila. El tercer término es cero y el segundo lleva signo negativo:
\[3(4\cdot5-1\cdot1)-(2\cdot5-1\cdot0)=57-10=47.\]Queda multiplicar por el factor exterior: \(D=2\cdot47\).
\(D=94\). La reducción por Laplace permite pasar de orden cuatro a orden tres.
Sarrus, aplicado solo al menor de orden \(3\), da \(60-10-3=47\). Multiplicado por \(2\), confirma \(94\). Sarrus no se aplica directamente a la matriz de orden \(4\).
Modelo 32 · Combinar propiedades sin conocer los elementos
Sea \(A\) una matriz invertible de orden \(3\) con \(\det A=-4\). Calcula \(\det(2A^tA^{-1})\) sin obtener ni la traspuesta ni la inversa.
Ver solución y comprobación
El \(2\) multiplica una matriz de orden \(3\), así que aporta \(2^3\) a su determinante. Después usamos las propiedades del producto, la traspuesta y la inversa:
\[\det(2A^tA^{-1})=2^3\det(A^t)\det(A^{-1}).\]Como \(\det(A^t)=-4\) y \(\det(A^{-1})=1/(-4)\), obtenemos \(8\cdot(-4)\cdot(-1/4)=8\).
\(\det(2A^tA^{-1})=8\).
Antes de multiplicar por \(2\), \(\det(A^tA^{-1})=\det A/\det A=1\). Esto comprueba que el resultado final debe ser \(2^3\), pero no implica que \(A^tA^{-1}\) sea la identidad.
Modelo 33 · Parámetro mediante operaciones entre filas
Calcula \(D(a)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a^2\end{vmatrix}\) y halla todos los valores reales de \(a\) que lo anulan.
Ver solución y comprobación
Restamos la primera fila a las otras dos: \(F_2\leftarrow F_2-F_1\) y \(F_3\leftarrow F_3-F_1\). Ambas operaciones conservan el determinante y son válidas para todo \(a\).
\[D(a)=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a^2-1\end{vmatrix}.\]Al ser triangular, su determinante es el producto de la diagonal:
\[D(a)=(a-1)(a^2-1)=(a-1)^2(a+1).\]El producto es cero cuando \(a=1\) o \(a=-1\). No hemos dividido entre \(a-1\), por lo que ese caso se mantiene en el estudio.
\(D(a)=(a-1)^2(a+1)\); se anula exactamente para \(a=1\) y \(a=-1\).
En la matriz original, para \(a=1\) coinciden las tres filas; para \(a=-1\), coinciden la primera y la tercera. En ambos casos el determinante es cero.
Práctica final · 15 actividades con soluciónPráctica final · 9 actividades seleccionadas
Alterna cálculo, propiedades y preguntas razonadas. No abras la solución hasta haber anotado el primer paso. Si el resultado no coincide, localiza la primera operación que lo cambia.
Práctica 1 · Dos productos y una resta
Calcula \(\begin{vmatrix}3&2\\5&4\end{vmatrix}\). Escribe los dos productos antes de restarlos y decide si el resultado permite afirmar que la matriz tiene inversa.
Ver solución y comprobación
En orden dos usamos \(ad-bc\): primero multiplicamos los elementos de la diagonal principal y después restamos el producto de la otra diagonal.
\[D=3\cdot4-2\cdot5=12-10=2.\]El determinante vale \(2\). Al ser distinto de cero, la matriz es invertible; no hace falta calcular su inversa para responder.
Intercambiar las columnas daría \(2\cdot5-3\cdot4=-2\): aparece el signo contrario, como exige la propiedad del intercambio.
Práctica 2 · Un determinante con signos
Calcula \(\begin{vmatrix}-1&6\\2&3\end{vmatrix}\). Mantén los paréntesis en los productos con números negativos y explica por qué aquí no aparece una suma al restar el segundo producto.
Ver solución y comprobación
La fórmula no cambia porque haya entradas negativas. El primer producto es \((-1)\cdot3=-3\); el segundo es \(6\cdot2=12\), que es positivo.
\[D=(-1)\cdot3-6\cdot2=-3-12=-15.\]El resultado es \(-15\). Restamos \(12\), no \(-12\): ese es el punto donde podría cambiarse el signo por error.
Si extraemos \(-1\) de la primera fila obtenemos \(-\begin{vmatrix}1&-6\\2&3\end{vmatrix}=-(3+12)=-15\).
Práctica 3 · Ceros de un determinante de orden dos
Para \(a\in\mathbb R\), halla cuándo se anula \(D(a)=\begin{vmatrix}a&1\\4&a\end{vmatrix}\). No sustituyas valores al azar: plantea una ecuación y factorízala.
Ver solución y comprobación
Un producto es cero cuando lo es alguno de sus factores: \(a-2=0\) o \(a+2=0\).
El determinante se anula exactamente para \(a=2\) y \(a=-2\). Para cualquier otro valor real es distinto de cero.
Con \(a=2\), la segunda fila es el doble de la primera. Con \(a=-2\), es \(-2\) veces la primera. Ambas sustituciones confirman los dos ceros.
Práctica 4 · Elegir el método antes de operar
Una matriz triangular superior de orden tres tiene diagonal \(2,-1,5\). Calcula su determinante. ¿Cambiaría si se modificase una entrada situada por encima de la diagonal, manteniendo la forma triangular?
Ver solución y comprobación
No necesitamos conocer las tres entradas que quedan por encima de la diagonal. En una matriz triangular, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.
\[D=2\cdot(-1)\cdot5=-10.\]Vale \(-10\) y no cambia al modificar esas entradas superiores. La conclusión depende de conservar los ceros por debajo de la diagonal.
Si se desarrolla por la primera columna, sus dos ceros dejan \(2\begin{vmatrix}-1&*\\0&5\end{vmatrix}=2(-5)\). Los asteriscos no intervienen.
Práctica 5 · Por qué dos filas iguales dan cero
Justifica, sin desarrollar una fórmula de orden tres, que una matriz real cuadrada con dos filas iguales tiene determinante nulo. No basta con citar la regla: explica de dónde sale.
Ver solución y comprobación
Llama \(D\) al determinante. Si intercambiamos esas dos filas, la matriz no cambia porque eran iguales. Sin embargo, cualquier intercambio de dos filas cambia el signo del determinante.
\[D=-D\quad\Longrightarrow\quad2D=0.\]Como trabajamos con números reales, se deduce \(D=0\). Es una justificación válida para cualquier orden, no solo para matrices de orden tres.
También puede restarse una de las filas iguales a la otra: aparece una fila de ceros y esa operación conserva el determinante.
Práctica 6 · Un cero que simplifica Laplace
Calcula \(D=\begin{vmatrix}1&0&2\\3&1&-1\\2&4&0\end{vmatrix}\). Elige una fila para desarrollar y comprueba el resultado por un procedimiento distinto.
Ver solución y comprobación
El cero central elimina un término. Los signos de esta fila son \(+,-,+\), de modo que los dos sumandos que quedan llevan signo de cofactor positivo.
\[D=1\begin{vmatrix}1&-1\\4&0\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}3&1\\2&4\end{vmatrix}=4+2(12-2)=24.\]El determinante vale \(24\).
Con Sarrus, las diagonales que suman dan \(24\) y las que restan suman \(4-4=0\). Se obtiene de nuevo \(24\); esta segunda vía permite detectar un signo incorrecto en los cofactores.
Práctica 7 · El signo negativo de un cofactor
Calcula \(D=\begin{vmatrix}1&0&2\\0&0&3\\4&5&6\end{vmatrix}\) desarrollando por la segunda columna. Identifica por separado el menor \(M_{32}\) y el cofactor \(C_{32}\).
Ver solución y comprobación
El único elemento no nulo de la columna es \(a_{32}=5\). Al suprimir su fila y su columna queda:
\[M_{32}=\begin{vmatrix}1&2\\0&3\end{vmatrix}=3,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-3.\]El \(5\) es positivo; el signo negativo procede de la posición \((3,2)\), no del elemento.
El menor vale \(3\), el cofactor vale \(-3\) y el determinante vale \(-15\).
Por la segunda fila, \(D=3(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&0\\4&5\end{vmatrix}=-3\cdot5=-15\).
Práctica 8 · Encadenar operaciones de fila
Una matriz cuadrada \(A\) cumple \(\det A=-3\). Obtenemos \(B\) haciendo, en este orden, un intercambio de dos filas, multiplicando otra fila por \(-2\) y sumando a una fila cuatro veces una fila distinta. Calcula \(\det B\).
Ver solución y comprobación
El intercambio multiplica el determinante por \(-1\). Multiplicar una sola fila por \(-2\) aporta el factor \(-2\). La última operación no añade ningún factor: sumar a una fila un múltiplo de otra conserva el determinante.
\[\det B=(-1)(-2)\det A=2(-3)=-6.\]El determinante final es \(-6\). Los dos cambios de signo se compensan antes de aplicar el dato inicial.
Al invertir las operaciones, el último paso sigue sin cambiarlo, la división de una fila por \(-2\) da \(3\) y el intercambio recupera \(-3\).
Práctica 9 · Un determinante nulo no fija el rango
Determina el rango de \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}\) usando determinantes. Basta con acotar el rango y encontrar un menor adecuado; no hace falta hacer una reducción completa.
Ver solución y comprobación
La segunda fila es el doble de la primera. Por ello, \(\det A=0\) y el rango es menor que tres.
Tomamos las filas primera y tercera y las columnas primera y segunda:
\[\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1\ne0.\]Este menor demuestra que el rango es al menos dos.
Las dos cotas coinciden: \(\operatorname{rg}A=2\).
La tercera fila no es múltiplo de la primera: empieza por cero y no es nula. Así se confirma la existencia de dos filas independientes.
Práctica 10 · Multiplicar la matriz o solo una fila
Sea \(A\) de orden tres con \(\det A=-2\). Calcula \(\det(3A)\). Después calcula el determinante de \(B\), obtenida al multiplicar únicamente la primera fila de \(A\) por \(3\).
Ver solución y comprobación
En \(3A\) se multiplican las tres filas por \(3\); cada una aporta un factor. En \(B\) solo cambia una fila.
\[\det(3A)=3^3\det A=27(-2)=-54,\qquad\det B=3\det A=-6.\]Los resultados son \(-54\) y \(-6\), respectivamente. Usar \(3\det A\) para toda la matriz confundiría dos operaciones distintas.
Para \(A=\operatorname{diag}(-2,1,1)\), los productos diagonales son \((-6)\cdot3\cdot3=-54\) y \((-6)\cdot1\cdot1=-6\).
Práctica 11 · Qué garantiza un determinante no nulo
La matriz de coeficientes \(A(a)\) de un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas cumple \(\det A(a)=(a-2)(a+3)\). ¿Para qué valores de \(a\) tiene solución única, cualquiera que sea el término independiente?
Ver solución y comprobación
La matriz es cuadrada. Si su determinante no es cero, tiene inversa y \(Ax=b\) admite exactamente la solución \(x=A^{-1}b\), para cualquier \(b\).
\[(a-2)(a+3)\ne0\quad\Longleftrightarrow\quad a\ne2,\ a\ne-3.\]Hay solución única para \(a\in\mathbb R\setminus\{-3,2\}\). En los valores excluidos el sistema no puede tener solución única.
Con \(a=0\), el determinante es \(-6\). En \(a=2\) y \(a=-3\) es cero; distinguir incompatibilidad de infinitas soluciones exigiría estudiar también el término independiente.
Práctica 12 · No dividir por el parámetro
Halla los valores reales de \(t\) para los que se anula \(D(t)=\begin{vmatrix}t&t&0\\1&t&1\\0&1&1\end{vmatrix}\). El desarrollo debe conservar todos los casos, incluido \(t=0\).
Ver solución y comprobación
La primera fila tiene factor común \(t\). Extraerlo es una identidad válida también cuando \(t=0\); dividir toda la ecuación por \(t\) perdería precisamente ese caso.
\[D(t)=t\begin{vmatrix}1&1&0\\1&t&1\\0&1&1\end{vmatrix}=t[(t-1)-1]=t(t-2).\]El determinante se anula para \(t=0\) y \(t=2\).
En \(t=0\), la primera fila es nula. En \(t=2\), se cumple \(F_1=2F_2-2F_3\). Las dos sustituciones confirman los ceros sin dividir por una expresión que pueda anularse.
Práctica 13 · Cramer en dos incógnitas
Resuelve mediante determinantes el sistema \(2x+y=5\), \(x-y=1\). Comprueba primero que Cramer se puede aplicar y conserva el orden de las columnas al sustituir el término independiente.
Ver solución y comprobación
Para \(D_x\) sustituimos la primera columna; para \(D_y\), la segunda. La otra columna mantiene su posición.
La solución única es \((x,y)=(2,1)\).
Sustituyendo en las dos ecuaciones: \(2\cdot2+1=5\) y \(2-1=1\). Comprobar solo una no sería suficiente para validar el par.
Práctica 14 · El dominio va antes de los ceros
Estudia para qué valores reales de \(a\) es invertible \(A(a)=\begin{pmatrix}\frac1{a-1}&1\\2&a\end{pmatrix}\). Distingue un valor donde la matriz no está definida de otro donde está definida y es singular.
Ver solución y comprobación
La entrada racional exige \(a\ne1\). Solo dentro de ese dominio calculamos:
\[\det A(a)=\frac{a}{a-1}-2=\frac{2-a}{a-1}.\]Esta fracción se anula cuando \(a=2\), que sí pertenece al dominio.
La matriz es invertible para \(a\in\mathbb R\setminus\{1,2\}\). En \(a=1\) no existe la matriz indicada; en \(a=2\) existe, pero no tiene inversa.
Para \(a=2\), sus filas son \((1,1)\) y \((2,2)\). Para \(a=0\), el determinante vale \(-2\), de acuerdo con la expresión obtenida.
Práctica 15 · Un contraejemplo para una regla falsa
¿Es cierta la igualdad \(\det(A+B)=\det A+\det B\) para todas las matrices cuadradas? Decide usando \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\).
Ver solución y comprobación
El lado izquierdo vale \(1\) y el derecho vale \(0\). Un solo contraejemplo basta para refutar una afirmación que pretende ser universal.
La igualdad es falsa en general. La linealidad del determinante se aplica a una fila cada vez, manteniendo las demás fijas; no a la suma de dos matrices completas.
Las dos matrices son singulares y su suma es invertible. Por eso tampoco puede deducirse que la suma de matrices singulares tenga determinante cero.
Autoevaluación de determinantes · 65 minutos · 10 puntosAutoevaluación · 3 actividades · 42 minutos · 6 puntos
Cinco ejercicios de 2 puntos para comprobar el dominio del bloque. Cada apartado indica su puntuación. El tiempo es orientativo; no es un examen oficial ni reproduce la estructura completa de una PAU.
Simulacro · ejercicio 1 · Cálculo y determinante de una inversa
2 puntos · 10 minutos orientativos. Sea \(A=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&3&2\\4&0&1\end{pmatrix}\).
a) Calcula \(\det A\), eligiendo una fila o columna que reduzca el trabajo (1,2 puntos). b) Justifica que existe \(A^{-1}\) y calcula, sin hallar la inversa, \(\det(2A^{-1})\) y \(\det((2A)^{-1})\) (0,4 puntos cada uno).
Ver solución y comprobación
La primera fila contiene un cero y sus signos son \(+,-,+\). Desarrollamos por ella:
\[\det A=2\begin{vmatrix}3&2\\0&1\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}-1&2\\4&1\end{vmatrix}=2\cdot3-(-1-8)=15.\]El segundo menor vale \(-9\) y está precedido de un signo menos; por eso aporta \(+9\).
Como \(\det A=15\ne0\), la inversa existe. Su determinante es el recíproco. Además, \(2A^{-1}\) multiplica por dos las tres filas, no solo una.
\[\det(2A^{-1})=2^3\det(A^{-1})=\frac8{15},\qquad\det((2A)^{-1})=\frac1{2^3\det A}=\frac1{120}.\]En la segunda expresión, el factor \(2\) está dentro de la matriz que se invierte. De hecho, \((2A)^{-1}=\tfrac12A^{-1}\): el orden importa.
Los determinantes pedidos son \(15\), \(\frac8{15}\) y \(\frac1{120}\). No es necesario obtener las nueve entradas de la inversa.
Por Sarrus, el primer determinante es \((6+8+0)-(0-1+0)=15\). Para controlar el segundo resultado, \(A(2A^{-1})=2I_3\) implica \(15\cdot\frac8{15}=\det(2I_3)=8\).
Simulacro · ejercicio 2 · Factorizar sin desarrollar todo
2 puntos · 12 minutos orientativos. Para \(t\in\mathbb R\), sea \(M(t)=\begin{pmatrix}t&1&1\\1&t&1\\1&1&2\end{pmatrix}\).
a) Obtén su determinante factorizado usando alguna operación que simplifique el cálculo (1,2 puntos). b) Indica cuándo tiene inversa (0,4 puntos). c) Justifica los ceros mediante relaciones entre filas de las matrices concretas (0,4 puntos).
Ver solución y comprobación
Restamos la segunda fila a la primera; el determinante no cambia. Extraemos entonces el factor \(t-1\), sin dividir por él, por lo que la identidad conserva también el caso \(t=1\):
\[\det M(t)=(t-1)\begin{vmatrix}1&-1&0\\1&t&1\\1&1&2\end{vmatrix}.\]Por la primera fila, el determinante restante es \((2t-1)+(2-1)=2t\). Así, \(\det M(t)=2t(t-1)\).
La matriz es invertible para \(t\ne0,1\). En \(t=0\), las filas cumplen \(F_3=F_1+F_2\). En \(t=1\), se cumple \(F_1=F_2\). Las dos relaciones explican por qué el determinante es cero en esos casos.
El determinante es \(2t(t-1)\). Los únicos valores reales que impiden la inversa son \(0\) y \(1\).
La sustitución \(t=2\) da la matriz con diagonal \(2\) y demás entradas \(1\). Su determinante, calculado directamente, es \(4\), igual a \(2\cdot2\cdot(2-1)\). Las relaciones de filas comprueban por separado los dos ceros.
Simulacro · ejercicio 3 · Orden cuatro y un cofactor concreto
2 puntos · 17 minutos orientativos. Sea \(Q=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&5&1&0\\0&1&3&2\\1&0&2&4\end{pmatrix}\).
a) Calcula \(\det Q\) creando ceros en la primera columna (1,4 puntos). b) Calcula el cofactor \(C_{41}\) de la matriz original, indicando su signo (0,6 puntos). No apliques Sarrus a una matriz de orden cuatro.
Ver solución y comprobación
Hacemos \(F_2\leftarrow F_2-2F_1\) y \(F_4\leftarrow F_4-F_1\). Estas sustituciones no cambian el determinante. La primera columna pasa a ser \((1,0,0,0)^t\), de modo que Laplace deja:
\[\det Q=\begin{vmatrix}1&1&-2\\1&3&2\\-2&2&3\end{vmatrix}=(9-4)-(3+4)-2(2+6)=-18.\]El cofactor pedido pertenece a \(Q\), no a la matriz transformada. Suprimimos la fila cuarta y la columna primera de la matriz del enunciado:
\[M_{41}=\begin{vmatrix}2&0&1\\5&1&0\\1&3&2\end{vmatrix}=4+(15-1)=18.\]Como \((-1)^{4+1}=-1\), resulta \(C_{41}=-18\).
El determinante de \(Q\) y el cofactor original \(C_{41}\) valen ambos \(-18\); son objetos distintos aunque coincida su valor.
En el menor de orden tres del apartado a), \(F_2\leftarrow F_2-F_1\) y \(F_3\leftarrow F_3+2F_1\) dejan el menor final \(\begin{vmatrix}2&4\\4&-1\end{vmatrix}=-18\). La coincidencia numérica no autoriza a leer los cofactores originales en la matriz transformada.
Simulacro · ejercicio 4 · Linealidad en una fila, con las otras fijas
2 puntos · 13 minutos orientativos. Sean \(r,s,t,g\) vectores fila de tres componentes. Las matrices \(A=\begin{pmatrix}r\\s\\t\end{pmatrix}\) y \(G=\begin{pmatrix}g\\s\\t\end{pmatrix}\) cumplen \(\det A=4\), \(\det G=-3\).
a) Calcula \(\det\begin{pmatrix}2r-g\\s+5t\\3t\end{pmatrix}\) (1,2 puntos). b) Calcula \(\det(A+G)\) y explica por qué no basta con sumar los dos determinantes dados (0,8 puntos).
Ver solución y comprobación
Extraemos el factor \(3\) de la tercera fila. Después, restamos cinco veces esa fila ya normalizada a la segunda, que queda \(s\). Por linealidad en la primera fila, manteniendo las otras dos fijas:
\[\det\begin{pmatrix}2r-g\\s+5t\\3t\end{pmatrix}=3\left(2\det\begin{pmatrix}r\\s\\t\end{pmatrix}-\det\begin{pmatrix}g\\s\\t\end{pmatrix}\right)=3(8+3)=33.\]Al sumar las matrices cambian las tres filas: \(A+G=\begin{pmatrix}r+g\\2s\\2t\end{pmatrix}\). Extraemos los dos factores \(2\) y solo entonces usamos linealidad en la primera fila:
\[\det(A+G)=4(\det A+\det G)=4(4-3)=4.\]Los resultados son \(33\) y \(4\). Para el apartado b), los dos determinantes dados no serían suficientes sin la información adicional de que las matrices comparten sus filas segunda y tercera.
Un ejemplo compatible es \(r=(4,0,0)\), \(g=(-3,0,0)\), \(s=(0,1,0)\), \(t=(0,0,1)\). Los productos diagonales dan \(11\cdot1\cdot3=33\) y \(1\cdot2\cdot2=4\).
Simulacro · ejercicio 5 · Determinante, valores exactos y una cota de rango
2 puntos · 13 minutos orientativos. Para \(a\in\mathbb R\), considera \(H(a)=\begin{pmatrix}a&1&0\\1&a&1\\0&1&a\end{pmatrix}\).
a) Calcula y factoriza \(\det H(a)\) (1 punto). b) Determina cuándo es invertible y el rango en los valores restantes mediante un único menor (0,7 puntos). c) ¿Cuándo garantiza este cálculo que \(H(a)x=b\) tiene solución única para cualquier \(b\in\mathbb R^3\)? ¿Qué puede afirmarse en los otros casos? (0,3 puntos).
Ver solución y comprobación
Los ceros reales son \(0,\sqrt2,-\sqrt2\). No hay que redondearlos.
Fuera de esos tres valores, la matriz tiene inversa. En cualquiera de ellos, el determinante nulo da rango menor que tres. El menor de filas primera y segunda, columnas segunda y tercera, vale siempre
\[\begin{vmatrix}1&0\\a&1\end{vmatrix}=1.\]Por tanto, en los tres valores singulares el rango es exactamente dos.
Hay solución única para cualquier \(b\) exactamente cuando \(a\notin\{0,\pm\sqrt2\}\). En los casos singulares no hay solución única: según \(b\), puede no haber ninguna o haber infinitas. El determinante de coeficientes, por sí solo, no distingue estas posibilidades.
\(\det H(a)=a(a^2-2)\); rango tres salvo en \(0,\pm\sqrt2\), donde el rango es dos.
Para \(a=1\), el cálculo directo da \(-1\), igual a \(1(1-2)\). El menor constante igual a uno evita tres estudios separados de rango y controla que ninguno de los casos singulares tenga rango uno.
Errores que cambian la respuesta
- Olvidar el signo del cofactor. El menor y el cofactor no son siempre iguales: revisa \((-1)^{i+j}\).
- Restar solo el primer término del segundo grupo en Sarrus. Mantén el paréntesis hasta calcular ambos grupos.
- Multiplicar una matriz entera por un factor y sacarlo una sola vez. En orden \(n\), salen \(n\) factores.
- Intercambiar filas sin cambiar el signo. Lleva un registro separado de las operaciones.
- Dividir por un parámetro y olvidar cuándo vale cero. Separa esos casos antes o utiliza sumas de filas.
- Deducir el rango exacto por un único menor no nulo. Ese menor da una cota inferior; revisa los órdenes superiores.
- Concluir «sin solución» porque \(\det A=0\). El determinante no decide la compatibilidad en ese caso.
Continúa por la pregunta que necesitas resolver
Preguntas frecuentes
¿Sarrus sirve para un determinante de orden 4?
No. La regla de Sarrus se aplica únicamente a matrices 3×3. Para orden 4 utiliza Laplace o transformaciones que lleven a una matriz triangular; este orden se incluye como ampliación según el programa.
¿Menor y cofactor significan lo mismo?
El menor se obtiene suprimiendo una fila y una columna. El cofactor es ese menor multiplicado por (−1) elevado a la suma de los índices. Por eso puede cambiar el signo.
¿Qué operación conserva el determinante?
Sumar a una fila un múltiplo de otra fila distinta lo conserva. Intercambiar filas cambia el signo; multiplicar una fila por un número multiplica el determinante por ese número. Las mismas reglas valen para columnas.
¿Qué significa que el determinante sea cero?
La matriz cuadrada no es invertible y su rango es menor que su orden. Si es la matriz de coeficientes de un sistema, todavía hay que estudiar la compatibilidad.
¿Puedo dividir una fila por el parámetro?
Solo en los valores para los que el divisor es distinto de cero. Los valores excluidos se estudian por separado en la matriz original.
¿El simulacro es una PAU oficial?
No. Es una prueba de elaboración propia para entrenar determinantes. El formato y las condiciones de cada PAU se comprueban en su documentación oficial.
¿Puedo imprimir solo los enunciados?
Sí. La ficha de clase reúne 12 actividades seleccionadas, con espacio de trabajo. El cuaderno resuelto conserva las 53 actividades con sus soluciones y comprobaciones.
Alcance y procedencia
Ejercicios de la colección Marlu y variantes propias. Los determinantes de orden 4 se presentan como ampliación según el programa. Las aplicaciones a sistemas no sustituyen sus guías específicas.
Colección Marlu · Ejercicios propios · Orden 4 como ampliación según el programa.
Marco estatal: Real Decreto 243/2022 · Matemáticas II. Para preparar una convocatoria concreta, consulta su programa, modelo y criterios oficiales.
Registro de práctica
Registra el primer error y repite el ejercicio sin mirar la corrección.
| Actividad | Primer intento | Qué corregir | Segundo intento |
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¿Te cuesta elegir el método?
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