Índice del recurso

• 1. Qué es un determinante
• 2. Determinantes de orden 2
• 3. Determinantes de orden 3 y Sarrus
• 4. Menores, adjuntos y Laplace
• 5. Propiedades imprescindibles
• 6. Determinantes con parámetros
• 7. Determinantes y matriz inversa
• 8. Determinantes y rango
• 9. Determinantes y Cramer
• 10. Puente con Rouché-Frobenius
• 11. Método tipo EBAU
• 12. Errores frecuentes
• 13. 30 ejercicios y 3 ampliaciones
• 14. Ejercicios para practicar
• 15. Simulacro EBAU CyL
• 16. Qué estudiar antes y después
• 17. Preguntas frecuentes

2. Determinantes de orden 2

El determinante de orden 2 es el más sencillo y aparece continuamente como menor dentro de matrices mayores.

Ejemplo:

En ejercicios con parámetro, se iguala el determinante a cero para encontrar los valores problemáticos.

Por tanto, el determinante se anula para \(a=3\) y \(a=-2\).

3. Determinantes de orden 3 y regla de Sarrus

Para determinantes \(3\times3\), en 2 Bachillerato se usa mucho la regla de Sarrus. Si:

entonces:

Ejemplo tipo:

4. Menores, adjuntos y desarrollo de Laplace

Un menor complementario se obtiene eliminando una fila y una columna. El adjunto añade el signo correspondiente.

La matriz de signos de los adjuntos en orden 3 es:

El desarrollo de Laplace permite calcular un determinante por una fila o una columna. Conviene elegir la que tenga más ceros.

Ejemplo con una columna casi vacía:

5. Propiedades imprescindibles de los determinantes

6. Determinantes con parámetros

Los determinantes con parámetro son especialmente importantes en EBAU porque preparan la discusión de sistemas. El objetivo suele ser encontrar para qué valores se anula el determinante.

Por tanto:

Si esta matriz fuera la matriz de coeficientes de un sistema \(3\times3\), para \(a\neq1,-2\) tendríamos determinante no nulo. Para \(a=1\) y \(a=-2\) habría que estudiar rangos.

7. Determinantes y matriz inversa

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

Para una matriz \(2\times2\):

siempre que \(ad-bc\neq0\).

8. Determinantes y rango de una matriz

El rango de una matriz es el mayor orden de un menor no nulo. Esta frase hay que entenderla bien.

significa que existe al menos un determinante menor de orden \(r\) distinto de cero y que no existe ningún menor no nulo de orden superior.

Ejemplo:

La segunda fila es el doble de la primera, así que el rango no puede ser 3. Pero:

Por tanto:

9. Determinantes y regla de Cramer

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas cuadrados con solución única. Antes de aplicarla hay que comprobar que el determinante de la matriz de coeficientes no sea cero.

En un sistema de tres incógnitas:

Donde \(A_x\), \(A_y\), \(A_z\) se obtienen sustituyendo la columna correspondiente por la columna de términos independientes.

10. Puente con Rouché-Frobenius

En un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, si el determinante de la matriz de coeficientes no se anula, el sistema tiene solución única. Si se anula, no significa automáticamente que no tenga solución. Significa que hay que estudiar rangos.

Esto conecta directamente con la discusión de sistemas con parámetros. Por eso los determinantes son una pieza clave antes de estudiar Rouché-Frobenius.

11. Método tipo EBAU para determinantes

1. Comprueba si la matriz es cuadrada. Si no es cuadrada, no tiene determinante.
2. Mira el orden. Orden 2, orden 3, triangular o desarrollo por adjuntos.
3. Antes de calcular, observa. Filas iguales, proporcionales, nulas, factores comunes o ceros.
4. Si es orden 2, usa \(ad-bc\).
5. Si es orden 3, usa Sarrus o propiedades.
6. Si hay muchos ceros, usa Laplace por esa fila o columna.
7. Si hay parámetro, factoriza el resultado.
8. Si se pregunta por inversa, exige \(|A|\neq0\).
9. Si se pregunta por rango, busca el mayor menor no nulo.
10. Si se pregunta por sistemas, interpreta el determinante dentro de Cramer o Rouché-Frobenius.

13. 30 ejercicios resueltos y 3 ampliaciones de examen

La dificultad aumenta de forma progresiva: cálculo directo, propiedades, parámetros y aplicaciones breves a rango, inversa y sistemas. Los ejercicios con fondo arena reproducen combinaciones especialmente habituales en exámenes de 2.º de Bachillerato y PAU/EBAU.

14. Ejercicios para practicar

Hazlos primero sin mirar soluciones. En determinantes, la mitad del trabajo está en decidir el camino antes de calcular.

Nivel 1

1. Calcula \(\begin{vmatrix}3&2\\5&4\end{vmatrix}\).
2. Calcula \(\begin{vmatrix}-1&6\\2&3\end{vmatrix}\).
3. Halla los valores de \(a\) que anulan \(\begin{vmatrix}a&1\\4&a\end{vmatrix}\).
4. Calcula un determinante triangular \(3\times3\) con diagonal \(2,-1,5\).
5. Explica por qué un determinante con dos filas iguales vale 0.

Nivel 2

6. Calcula \(\begin{vmatrix}1&0&2\\3&1&-1\\2&4&0\end{vmatrix}\).
7. Calcula \(\begin{vmatrix}a&1&0\\0&a&1\\1&0&a\end{vmatrix}\).
8. Estudia para qué valores de \(a\) tiene inversa \(\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix}\).
9. Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\0&1&1\end{pmatrix}\).
10. Si \(|A|=-2\) y \(A\) es \(3\times3\), calcula \(|3A|\).

Nivel EBAU

11. Sea \(|A|=(a-2)(a+3)\). Indica para qué valores un sistema \(3\times3\) asociado tiene solución única.
12. Calcula el rango según \(a\) de \(\begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix}\).
13. Resuelve por Cramer \(\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}\).
14. Halla \(a\) para que \(\begin{pmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}\) no tenga inversa.
15. Explica qué harías si en una discusión de sistemas sale \(|A|=0\).

15. Simulacro tipo EBAU Castilla y León

Tiempo recomendado: 65 minutos.

Instrucción: justifica propiedades, valores del parámetro y conexión con sistemas cuando proceda.

1. Calcula: \[ \begin{vmatrix} 2&1&0\\ -1&3&2\\ 4&0&1 \end{vmatrix} \]
2. Halla los valores de \(a\) para los que no tiene inversa: \[ A= \begin{pmatrix} a&2\\ 3&a-1 \end{pmatrix} \]
3. Calcula los valores que anulan: \[ \begin{vmatrix} a&1&1\\ 1&a&1\\ 1&1&a \end{vmatrix} \]
4. Calcula el rango según \(a\): \[ A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&a \end{pmatrix} \]
5. Sea un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas cuya matriz de coeficientes verifica: \[ |A|=(a-2)(a+1) \] Indica para qué valores el sistema tiene solución única y qué casos habría que estudiar aparte.