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Áreas entre funciones 2 Bachillerato EBAU: integrales, recintos y ejercicios resueltos

Publicado por

JOSE-MARIA

octubre 21, 2026

el junio 8, 2026

Biblioteca Marlu Educativa® · Matemáticas · 2.º Bachillerato y PAU

Áreas entre funciones 2 Bachillerato EBAU: integrales, recintos y ejercicios resueltos

Una primitiva correcta puede medir el recinto equivocado. Antes de integrar hay que reconocer sus fronteras, decidir qué curva queda arriba y separar las zonas que se compensarían. Aquí trabajamos esas decisiones y comprobamos el área obtenida.

La guía se centra en construir y medir recintos. Las técnicas de integración y la representación completa de funciones tienen sus propios recursos; se utilizan aquí cuando el problema las necesita.

26 modelos guiados4 lecturas de recintos15 prácticas resueltas2 simulacros · 10 problemas

Plantear el área Ir a la práctica final Índice

Cuaderno resuelto · 55 actividades propias · Recinto, límites, orden, cálculo y comprobación.

Actividades de clase · 4 lecturas gráficas, 15 prácticas y 10 problemas de examen. Soluciones en el cuaderno resuelto.

Nombre .......................................................... Grupo ............

Método Marlu para medir un recinto

Lee las fronteras. Distingue las curvas, los ejes y las rectas que cierran la región. Comprueba el dominio.
Localiza y ordena los límites. Resuelve los cortes que correspondan. Si son $a$ y $b$ escribe $a<b$ Las verticales del enunciado también pueden fijar los extremos.
Bosqueja la región pedida. Marca sus vértices y sombrea solo esa zona. No hace falta estudiar toda la función.
Justifica el orden en cada tramo. Estudia el signo de la diferencia. Separa los puntos donde cambie la frontera o la expresión necesaria.
Integra la separación. Con franjas verticales, superior menos inferior. Escribe primitiva, evaluación y suma de las zonas.
Comprueba la medida. El área es no negativa. Contrástala con una cota geométrica, una simetría válida o un cálculo independiente y escribe sus unidades.

El área mide una separación, no una altura aislada

La integral con signo puede compensar zonas

Para dos funciones continuas, o integrables por tramos en el intervalo considerado, el área total entre sus gráficas y las verticales $x=a$ $x=b$ con $a<b$ es

A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.

Si $f\ge g$ en todo el intervalo, basta integrar $f-g$ Si intercambian su posición, se separan los tramos. En general, $\left|\int_a^b(f-g)\,dx\right|\ne\int_a^b|f-g|\,dx$

El área puede ser cero si las curvas coinciden en todo el tramo. Un recinto de anchura y separación positivas tiene área positiva. En geometría se expresa en unidades cuadradas; si ambos ejes están en metros, en $\mathrm m^2$

Qué debe mostrar el dibujo

Marca los cruces, los límites dados y una franja dentro del recinto. Su altura es la diferencia entre curvas y su anchura, $dx$ Una curva puede estar bajo el eje y seguir siendo la superior de las dos.

Si resulta más sencillo usar franjas horizontales, la resta es derecha menos izquierda y el diferencial es $dy$ El modelo 21 desarrolla esta elección como ampliación, sin suponer que todas las convocatorias la exijan.

De dónde salen los límites y cómo decidir el orden

Los cruces se encuentran resolviendo $f(x)=g(x)$ pero no todos tienen por qué cerrar la zona solicitada. Conserva las restricciones del dominio y las fronteras del enunciado.

Recta y parábola

Su igualdad suele dar una cuadrática. Dos raíces delimitan un candidato a recinto; después comprueba el signo de la diferencia. Una raíz doble puede ser una tangencia sin intercambio de posición.

Dos parábolas

Resta sus expresiones antes de decidir. Puede quedar una cuadrática, una recta o una constante. La forma de cada curva por separado no determina cuál es la superior.

Cuándo es suficiente un punto de prueba

Si la diferencia es continua y no tiene ceros interiores en un tramo, mantiene su signo. En esas condiciones un punto decide el orden. La factorización puede mostrarlo directamente. Probar un valor sin revisar cortes y singularidades no justifica todo el intervalo.

Separar solo donde cambia el planteamiento

La frontera que cambia decide la partición
Situación	Qué se revisa
Las curvas intercambian su orden	Cambia la resta superior menos inferior
El recinto tiene tres o más fronteras	Puede cambiar la curva que limita una franja
La función está definida a trozos	Cambia la expresión que se integra
Hay una tangencia	No obliga a partir si el orden y la expresión se mantienen
Hay una singularidad	Barrow no se aplica atravesándola como si el integrando fuera continuo

En cada tramo ordinario, con integrando continuo y una primitiva $F$ la regla de Barrow da $\int_a^b h(x)\,dx=F(b)-F(a)$ El modelo 26 muestra por qué no se puede usar esa resta sin revisar antes el dominio.

20 modelos para afianzar el procedimiento

Desde dos curvas sencillas hasta cambios de orden, intervalos fijados y áreas con parámetro. Cada resultado incluye una comprobación.

Modelo 1 · Una recta y una parábola

Área entre dos curvas · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=x^2$ e $y=2x$

Ver solución y comprobación

Las dos funciones están definidas y son continuas en $\mathbb R$ Sus cortes se obtienen igualando las ordenadas.

x^2=2x\Longrightarrow x(x-2)=0\Longrightarrow x=0,\ 2.

En $(0,2)$ la diferencia $2x-x^2=x(2-x)$ es positiva porque ambos factores lo son. La recta queda por encima en todo el intervalo.

A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2.

A=4-\frac83=\frac43\quad\text{unidades cuadradas}.

La franja vertical tiene anchura dx y altura 2x − x² entre los cortes 0 y 2.

Comprobación.

La distancia vertical es $2x-x^2=1-(x-1)^2$ Está entre 0 y 1 sobre una base de longitud 2, de modo que $0<A<2$ El resultado cumple esa cota y la distancia vertical es simétrica respecto de $x=1$

Modelo 2 · Área bajo una parábola positiva

Área con el eje y simetría · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=4-x^2$ y el eje $x$

Ver solución y comprobación

La función tiene dominio $\mathbb R$ El eje $x$ es $y=0$ por lo que los cortes son $4-x^2=0$ es decir, $x=-2$ y $x=2$

En $(-2,2)$ $4-x^2=(2-x)(2+x)>0$ La parábola está sobre el eje y, como es par, las dos mitades tienen la misma área.

A=2\int_0^2(4-x^2)\,dx=2\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2.

A=2\left(8-\frac83\right)=\frac{32}{3}\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

El triángulo que une $(-2,0)$ $(0,4)$ y $(2,0)$ tiene área 8 y queda dentro de la región. El rectángulo de base 4 y altura 4 tiene área 16 y la contiene. Así, $8<\frac{32}{3}<16$ coherente con ambas cotas.

Modelo 3 · Dos parábolas y una región simétrica

Cortes con raíces y área entre curvas · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=4-x^2$ e $y=x^2$

Ver solución y comprobación

Ambas funciones tienen dominio $\mathbb R$ Sus cortes cumplen $4-x^2=x^2$ de donde $x=\pm\sqrt2$

La diferencia es $4-2x^2=2(\sqrt2-x)(\sqrt2+x)$ positiva entre los cortes. Por tanto, $4-x^2$ es la función superior. La diferencia es par.

A=2\int_0^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx=2\left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt2}.

A=2\left(4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}\right)=\frac{16\sqrt2}{3}\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

La anchura del intervalo es $2\sqrt2$ y la distancia máxima entre las curvas es 4. El rectángulo correspondiente tiene área $8\sqrt2$ mayor que el área obtenida, pues $\frac{16}{3}<8$ No se ha confundido la altura de una curva con la distancia entre ambas.

Modelo 4 · Cortes con una abscisa negativa

Evaluación en los dos límites · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=x+2$ e $y=x^2$

Ver solución y comprobación

Las funciones son continuas en $\mathbb R$ Igualarlas da $x^2-x-2=(x-2)(x+1)=0$ los cortes están en $-1$ y 2.

En $(-1,2)$ la diferencia $x+2-x^2=(2-x)(x+1)$ es positiva. Integramos recta menos parábola.

A=\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}.

La primitiva vale $\frac{10}{3}$ en 2 y $-\frac76$ en $-1$ Hay que restar ese segundo valor completo.

A=\frac{10}{3}-\left(-\frac76\right)=\frac92\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

Al trasladar la variable $u=x-\frac12$ la distancia vertical queda $\frac94-u^2$ simétrica entre $-\frac32$ y $\frac32$ Su altura máxima es $\frac94$ sobre una base de longitud 3: el área debe ser menor que $\frac{27}{4}$ como ocurre con $\frac92$

Modelo 5 · Tres tramos al cambiar el signo de la función

Área total frente a integral con signo · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x^2-1$ y el eje $x$ en $[-2,2]$

Ver solución y comprobación

El polinomio tiene dominio $\mathbb R$ el intervalo pedido es $[-2,2]$ Los cortes son $x=\pm1$ porque $x^2-1=(x-1)(x+1)$

La función es positiva en $(-2,-1)$ y $(1,2)$ y negativa en $(-1,1)$ Hay tres tramos: en los exteriores restamos el eje a la curva; en el central, la curva al eje. La simetría permite reunir los dos exteriores.

A_{\mathrm{ext}}=2\int_1^2(x^2-1)\,dx=2\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2=\frac83.

A_{\mathrm{cent}}=2\int_0^1(1-x^2)\,dx=2\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac43.

A=\frac83+\frac43=4\quad\text{unidades cuadradas}.

Las tres zonas aportan área positiva, incluida la que está bajo el eje horizontal.

Comprobación.

La integral con signo en $[-2,2]$ vale $\frac43$ Para convertirla en área hay que sumar dos veces la zona que se había contado negativa, cuya área es $\frac43$ $\frac43+2\cdot\frac43=4$ Así se comprueba la ausencia de cancelación entre regiones.

Modelo 6 · Una parábola situada bajo el eje

Orden de la resta con valores negativos · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=x^2-2x$ e $y=0$

Ver solución y comprobación

El dominio es $\mathbb R$ Los cortes cumplen $x^2-2x=x(x-2)=0$ luego están en 0 y 2.

En $(0,2)$ el factor $x$ es positivo y $x-2$ es negativo. La parábola queda bajo el eje, que es la función superior.

A=\int_0^2\bigl(0-(x^2-2x)\bigr)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2.

A=4-\frac83=\frac43\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

La reflexión de la parábola respecto del eje produce la altura $2x-x^2=1-(x-1)^2$ El triángulo de vértices $(0,0)$ $(1,1)$ $(2,0)$ queda dentro y tiene área 1; el rectángulo que contiene la región tiene área 2. Se cumple $1<\frac43<2$

Modelo 7 · Una región estrecha entre recta y parábola

Simplificar la distancia vertical · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=3x$ e $y=x^2+2x$

Ver solución y comprobación

Las dos funciones son continuas en $\mathbb R$ La igualdad $3x=x^2+2x$ se reduce a $x(x-1)=0$ con cortes en 0 y 1.

En $(0,1)$ $3x-(x^2+2x)=x(1-x)>0$ La recta es superior en todo el intervalo.

A=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1.

A=\frac12-\frac13=\frac16\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

La distancia vertical se escribe $\frac14-(x-\frac12)^2$ Su máximo es $\frac14$ y la anchura es 1, de modo que $0<A<\frac14$ El área $\frac16$ cumple la cota y la distancia vertical es simétrica respecto de $x=\frac12$

Modelo 8 · Cortes irracionales y cambio de origen

Evaluar un área exacta con raíces · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=6-x^2$ e $y=x+2$

Ver solución y comprobación

Ambas curvas tienen dominio $\mathbb R$ Sus cortes se obtienen de $x^2+x-4=0$

a=\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\qquad b=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}.

La diferencia es $4-x-x^2=(b-x)(x-a)$ positiva en $(a,b)$ La parábola queda por encima.

A=\int_a^b(4-x-x^2)\,dx.

Con $u=x+\frac12$ la diferencia pasa a $\frac{17}{4}-u^2$ y los límites a $\pm\frac{\sqrt{17}}2$ Por simetría,

A=2\left[\frac{17}{4}u-\frac{u^3}{3}\right]_0^{\frac{\sqrt{17}}2}.

A=2\left(\frac{17\sqrt{17}}8-\frac{17\sqrt{17}}{24}\right)=\frac{17\sqrt{17}}6\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

La primitiva en la variable original es $F(x)=4x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$ Al derivarla se recupera $4-x-x^2$ y la evaluación directa $F(b)-F(a)$ también da $\frac{17\sqrt{17}}6$ Es positivo y menor que $\frac{17\sqrt{17}}4$ área del rectángulo de anchura $\sqrt{17}$ y altura $\frac{17}{4}$

Modelo 9 · Dos curvas situadas bajo el eje

Distancia vertical entre valores negativos · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=x^2-4x$ e $y=-x$

Ver solución y comprobación

El dominio de ambas funciones es $\mathbb R$ Los cortes cumplen $x^2-4x=-x$ es decir, $x(x-3)=0$ y están en 0 y 3.

En $(0,3)$ $(-x)-(x^2-4x)=x(3-x)>0$ La recta $-x$ es superior, aunque ambas ordenadas sean negativas en ese intervalo.

A=\int_0^3(3x-x^2)\,dx=\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3.

A=\frac{27}{2}-9=\frac92\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

La altura del recinto es $3x-x^2=\frac94-(x-\frac32)^2$ cuyo máximo es $\frac94$ Sobre una base de longitud 3, el área queda por debajo de $\frac{27}{4}$ y $\frac92$ cumple esa cota. Se ha integrado la distancia entre las curvas, no la distancia de cada una al eje.

Modelo 10 · Dos recintos con cambio de orden

Partir en los cruces interiores · Elaboración propia

Calcula el área limitada por $y=x^3$ e $y=x$ en $[-1,1]$

Ver solución y comprobación

Las funciones tienen dominio $\mathbb R$ Se cortan cuando $x^3=x$ o sea, $x(x-1)(x+1)=0$ los cortes son $-1$ 0 y 1.

En $(-1,1)$ el factor $1-x^2$ es positivo. Por eso $x-x^3=x(1-x^2)$ tiene el signo de $x$ en $(-1,0)$ la cúbica queda arriba; en $(0,1)$ la recta.

A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_0^1(x-x^3)\,dx.

Las dos áreas son iguales por la simetría respecto del origen.

A=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=2\left(\frac12-\frac14\right)=\frac12\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

Evaluando cada tramo por separado se obtiene $\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx=\frac14$ y $\int_0^1(x-x^3)\,dx=\frac14$ En cambio, $\int_{-1}^1(x-x^3)\,dx=0$ por imparidad: esa cancelación no representa el área total.

Modelo 11 · Exponencial sobre una horizontal

Intervalo fijado y frontera vertical · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=e^x$ y $y=1$ en $[0,1]$

Ver solución y comprobación

Ambas funciones tienen dominio $\mathbb R$ Solo se cortan en $x=0$ pues $e^x=1$ equivale a $x=0$ El extremo $x=1$ del intervalo fija la frontera vertical que cierra el recinto.

La exponencial es creciente y $e^0=1$ así, $e^x\ge1$ en todo $[0,1]$ La separación vertical es $e^x-1$

A=\int_0^1(e^x-1)\,dx=\left[e^x-x\right]_0^1.

A=(e-1)-(1-0)=(e-2)\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La convexidad de $e^x$ implica $e^x>1+x$ para $x>0$ y su gráfica queda bajo la cuerda que une los extremos del intervalo. Por ello $\frac12<A<\frac{e-1}{2}$ El valor $e-2\approx0{,}718$ cumple esas cotas.

Modelo 12 · Logaritmo y eje horizontal

Dominio y primitiva por partes · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=\ln x$ y el eje $x$ en $[1,e]$

Ver solución y comprobación

El dominio del logaritmo es $(0,+\infty)$ que contiene todo el intervalo. La curva corta el eje en $x=1$ y la frontera vertical $x=e$ cierra el recinto por la derecha. Como $\ln x$ es creciente y $\ln1=0$ está por encima del eje en $(1,e]$

Una primitiva es $x\ln x-x$ obtenida por partes. La técnica se desarrolla en el recurso de integrales resueltas.

A=\int_1^e\ln x\,dx=\left[x\ln x-x\right]_1^e.

A=(e-e)-(0-1)=1\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La región está dentro del rectángulo $[0,e]\times[0,1]$ La parte complementaria, leída horizontalmente, tiene anchura $e^y$ para $0\le y\le1$ y área $\int_0^1e^y\,dy=e-1$ La diferencia es $e-(e-1)=1\,\mathrm{u}^2$

Modelo 13 · Una raíz y una recta entre sus cortes

Orden de las curvas · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=\sqrt{x}$ y $y=x$ en $[0,1]$

Ver solución y comprobación

El dominio común es $[0,+\infty)$ Para hallar los cortes, $\sqrt{x}=x$ exige $x\ge0$ al elevar al cuadrado resulta $x=x^2$ Los valores $0$ y $1$ cumplen la ecuación original y delimitan el recinto cerrado.

En $[0,1]$

\sqrt{x}-x=\sqrt{x}(1-\sqrt{x})\ge0.

Por tanto, la raíz es la función superior en todo el intervalo.

A=\int_0^1(\sqrt{x}-x)\,dx=\left[\frac23x^{3/2}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1.

A=\frac23-\frac12=\frac16\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

Con una franja horizontal, las fronteras son $x=y^2$ y $x=y$ con $0\le y\le1$ Su anchura es $y-y^2$ y $\int_0^1(y-y^2)\,dy=\frac12-\frac13=\frac16\,\mathrm{u}^2$ el mismo resultado.

Modelo 14 · Dos rectas y fronteras verticales

Un recinto triangular · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=6-x$ $y=x$ $x=0$ y $x=3$

Ver solución y comprobación

Las dos funciones tienen dominio $\mathbb R$ Se cruzan cuando $6-x=x$ es decir, en $(3,3)$ La recta $x=0$ cierra el recinto por la izquierda; la frontera $x=3$ pasa por el punto de corte.

En todo $[0,3]$ la diferencia $(6-x)-x=2(3-x)$ es no negativa, por lo que $6-x$ queda por encima de $x$

A=\int_0^3(6-2x)\,dx=\left[6x-x^2\right]_0^3.

A=(18-9)-0=9\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

El recinto es el triángulo de vértices $(0,0)$ $(0,6)$ y $(3,3)$ Su base vertical mide $6$ y la distancia perpendicular al tercer vértice es $3$ Su área es $\frac12\cdot6\cdot3=9\,\mathrm{u}^2$

Modelo 15 · Parábola entre dos rectas verticales

Área sobre el eje horizontal · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x^2$ $y=0$ $x=1$ y $x=3$

Ver solución y comprobación

El dominio de la parábola es $\mathbb R$ Su único corte con el eje es $x=0$ que queda fuera del intervalo elegido. El recinto se cierra con el eje horizontal, la parábola y las dos rectas verticales dadas.

Como $x^2>0$ en todo $[1,3]$ no hay que dividir en tramos ni cambiar el signo del integrando.

A=\int_1^3x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3.

A=\frac{27}{3}-\frac13=\frac{26}{3}\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La derivada de $\frac{x^3}{3}$ devuelve $x^2$ de modo que la primitiva es correcta. Además, la anchura es $2$ y la altura está entre $1$ y $9$ el área cumple $2<A<18$ El valor $\frac{26}{3}$ respeta esas cotas.

Modelo 16 · Tres zonas que deben sumarse

Cambio de signo y simetría · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x^2-4$ y el eje $x$ en $[-3,3]$

Ver solución y comprobación

La función tiene dominio $\mathbb R$ Las verticales $x=-3$ y $x=3$ cierran las zonas exteriores. Los cortes con el eje son $-2$ y $2$ Como $x^2-4$ es positivo para $|x|>2$ y negativo para $|x|<2$ hay tres zonas.

Las dos exteriores son iguales por simetría. Sumamos sus áreas y la zona central con el signo corregido.

A=2\int_2^3(x^2-4)\,dx+\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx.

El área de cada zona exterior y la de la central son

A_{\mathrm{ext}}=\left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_2^3=-3+\frac{16}{3}=\frac73,

A_{\mathrm{cent}}=\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{32}{3}.

A=2\cdot\frac73+\frac{32}{3}=\frac{46}{3}\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La integral con signo en todo el intervalo vale $\int_{-3}^3(x^2-4)\,dx=-6$ Para convertirla en área, hay que sumar dos veces el área central que se había restado: $-6+2\cdot\frac{32}{3}=\frac{46}{3}$ Así se comprueba que no se han compensado zonas.

Modelo 17 · Dos parábolas que encierran una región

Factorizar la separación vertical · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=x^2$ y $y=4x-x^2$

Ver solución y comprobación

Las dos funciones tienen dominio $\mathbb R$ Sus cortes satisfacen

x^2=4x-x^2\quad\Longleftrightarrow\quad2x(x-2)=0.

Las abscisas $0$ y $2$ delimitan el recinto cerrado. En $[0,2]$ la diferencia $(4x-x^2)-x^2=2x(2-x)$ es no negativa; por tanto, $4x-x^2$ es la función superior en todo el intervalo.

A=\int_0^2(4x-2x^2)\,dx=\left[2x^2-\frac{2x^3}{3}\right]_0^2.

A=8-\frac{16}{3}=\frac83\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

Con el cambio $u=x-1$ la separación se escribe $2(1-u^2)$ y el intervalo pasa a $[-1,1]$ Por simetría, el área es $4\int_0^1(1-u^2)\,du=4(1-\frac13)=\frac83\,\mathrm{u}^2$

Modelo 18 · Una cúbica con zonas a ambos lados del eje

Área geométrica e integral con signo · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x^3$ y $y=0$ en $[-1,2]$

Ver solución y comprobación

El dominio es $\mathbb R$ El intervalo fija las fronteras verticales $x=-1$ y $x=2$ la curva cruza el eje en $0$ El signo de $x^3$ coincide con el de $x$ la curva está debajo del eje en $[-1,0)$ y encima en $(0,2]$

La zona izquierda aporta $-x^3$ y la derecha, $x^3$

A=\int_{-1}^0(-x^3)\,dx+\int_0^2x^3\,dx.

A=\left[-\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2=\frac14+4=\frac{17}{4}\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

Integrar sin cambiar el signo daría $\int_{-1}^2x^3\,dx=\frac{15}{4}$ Esa cantidad resta la zona izquierda, de área $\frac14$ en vez de sumarla. Al añadir el doble de esa zona se obtiene $\frac{15}{4}+2\cdot\frac14=\frac{17}{4}$

Modelo 19 · Elegir el extremo para obtener un área dada

Un parámetro positivo · Elaboración propia

Halla $a>0$ para que el área bajo $y=x$ entre $0$ y $a$ sea $8$

Ver solución y comprobación

La recta tiene dominio $\mathbb R$ Como $a>0$ el intervalo es $[0,a]$ y la recta queda sobre el eje horizontal. Ambas se cortan en el origen; la frontera vertical $x=a$ completa el triángulo.

A(a)=\int_0^a x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^a=\frac{a^2}{2}.

Imponemos el área solicitada, $8\,\mathrm{u}^2$

\frac{a^2}{2}=8\quad\Longrightarrow\quad a^2=16.

La ecuación tiene raíces $4$ y $-4$ pero la condición del enunciado selecciona $a=4$ .

Comprobación.

El triángulo resultante tiene base $4$ y altura $4$ Su área es $\frac12\cdot4\cdot4=8\,\mathrm{u}^2$ Además, $A(a)=\frac{a^2}{2}$ es estrictamente creciente para $a>0$ así que no hay otro valor positivo.

Modelo 20 · Área de una familia de rectas y parábolas

Una expresión de área con parámetro · Elaboración propia

Sea $a>0$ Calcula el área encerrada entre $y=ax$ y $y=x^2$

Ver solución y comprobación

Ambas funciones tienen dominio $\mathbb R$ Los puntos de corte cumplen

ax=x^2\quad\Longleftrightarrow\quad x(a-x)=0.

Sus abscisas son $0$ y $a$ distintas porque $a>0$ Delimitan un recinto cerrado. En $[0,a]$ ambos factores de $ax-x^2=x(a-x)$ son no negativos, por lo que la recta está por encima de la parábola.

A(a)=\int_0^a(ax-x^2)\,dx=\left[\frac{ax^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^a.

A(a)=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3}=\frac{a^3}{6}\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

Con $x=at$ la anchura se multiplica por $a$ y la separación por $a^2$ Por ello $A(a)=a^3\int_0^1(t-t^2)\,dt=\frac{a^3}{6}$ lo que verifica la dependencia cúbica. El resultado es positivo para todo $a>0$

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6 decisiones que cambian el planteamiento

Franjas horizontales, tres fronteras, tangencias, parámetros y funciones a trozos. La elección de dy y el diagnóstico de una singularidad se señalan como ampliaciones de método.

Modelo 21 · Integrar respecto de la altura evita dividir el recinto

Elegir la variable de integración · Elaboración propia

Calcula el área encerrada por las curvas $x=y^2$ y $x=y+6$ Elige la variable de integración que permita describir el recinto con una sola integral.

Ver solución y comprobación

Las expresiones están definidas para todo $y$ Sus intersecciones cumplen $y^2=y+6$ es decir, $(y-3)(y+2)=0$ Los puntos de corte son $(4,-2)$ y $(9,3)$

Una franja horizontal va desde $x=y^2$ hasta $x=y+6$ En $[-2,3]$ la anchura es no negativa:

x_{\mathrm{derecha}}-x_{\mathrm{izquierda}}=y+6-y^2=(3-y)(y+2).

Por tanto, integramos anchuras respecto de $y$

A=\int_{-2}^{3}(y+6-y^2)\,dy=\left[\frac{y^2}2+6y-\frac{y^3}3\right]_{-2}^{3}.

A=\frac{27}2-\left(-\frac{22}3\right)=\frac{125}6\,\mathrm{u}^2.

La variable elegida cambia qué extremos se restan: aquí son derecha menos izquierda, no superior menos inferior.

La franja horizontal mide derecha menos izquierda; el intervalo va de y = −2 a y = 3.

Comprobación.

Con franjas verticales habría que dividir en $x=4$ Para $0\le x\le4$ la altura es $2\sqrt x$ para $4\le x\le9$ es $\sqrt x-x+6$ Sus integrales valen $\frac{32}3$ y $\frac{61}6$ cuya suma coincide con $\frac{125}6\,\mathrm{u}^2$

Modelo 22 · Un recinto cerrado por tres fronteras

Cambiar la frontera superior · Elaboración propia

Calcula el área del recinto limitado por $y=x^2$ $y=2x+3$ y el eje $x$ situado a la izquierda del eje $y$ Identifica qué curva forma la frontera superior en cada tramo.

Ver solución y comprobación

Ambas funciones están definidas en $\mathbb R$ La recta corta el eje $x$ en $x=-\frac32$ y la parábola lo toca en $x=0$ Recta y parábola se cortan cuando

x^2=2x+3\quad\Longrightarrow\quad(x-3)(x+1)=0.

El corte pertinente es $(-1,1)$ el de abscisa 3 queda fuera del recinto pedido. La frontera inferior es el eje. Arriba queda la recta desde $-\frac32$ hasta $-1$ y la parábola desde $-1$ hasta 0.

A=\int_{-\frac32}^{-1}(2x+3)\,dx+\int_{-1}^{0}x^2\,dx.

A=\left[x^2+3x\right]_{-\frac32}^{-1}+\left[\frac{x^3}3\right]_{-1}^{0}=\frac14+\frac13=\frac7{12}\,\mathrm{u}^2.

Recinto izquierdo: el borde superior cambia de la recta a la parábola en x = −1.

Comprobación.

Los tres vértices son $\left(-\frac32,0\right)$ $(-1,1)$ y $(0,0)$ La parte bajo la recta es un triángulo de base $\frac12$ y altura 1: mide $\frac14\,\mathrm{u}^2$ La otra parte aporta $\frac13\,\mathrm{u}^2$ Las dos contribuciones son positivas y corresponden a fronteras diferentes.

Modelo 23 · Un contacto no obliga a cambiar el orden de las curvas

Tangencia y área sin simetría · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x^2$ $y=2x-1$ y las rectas $x=0$ $x=3$ ¿El punto de contacto obliga a cambiar el orden de la resta?

Ver solución y comprobación

Las dos funciones tienen dominio $\mathbb R$ Su diferencia es

x^2-(2x-1)=(x-1)^2\ge0.

Solo se tocan en $(1,1)$ Sus pendientes en ese punto coinciden: la de la parábola es $2\cdot1=2$ igual a la de la recta. Como la diferencia no cambia de signo, la parábola queda arriba en todo $[0,3]$ y basta una integral.

A=\int_0^3(x-1)^2\,dx=\left[\frac{(x-1)^3}3\right]_0^3=\frac83-\left(-\frac13\right)=3\,\mathrm{u}^2.

Encontrar un cero de la diferencia obliga a revisar su signo; no obliga por sí solo a invertir la resta.

Comprobación.

La parte situada entre 0 y 1 mide $\frac13\,\mathrm{u}^2$ y la comprendida entre 1 y 3 mide $\frac83\,\mathrm{u}^2$ No son iguales: el intervalo no es simétrico respecto del contacto. Su suma confirma el área total sin introducir compensaciones.

Modelo 24 · El parámetro desplaza el corte dentro o fuera del intervalo

Área geométrica por casos · Elaboración propia

Sea $a\in\mathbb R$ Expresa en función de $a$ el área $A(a)$ entre $y=x-a$ el eje $x$ y las rectas $x=-1$ $x=2$ Explica qué ocurre cuando $a=\frac12$

Ver solución y comprobación

La función lineal tiene dominio $\mathbb R$ Su cero es $x=a$ pero solo divide el recinto si está dentro del intervalo fijo.

Si $a\le-1$ La recta está sobre el eje en todo el intervalo: $A=\int_{-1}^{2}(x-a)\,dx$

Si $-1<a<2$ Está debajo del eje antes de $a$ y encima después. Se suman dos triángulos, de bases y alturas $a+1$ y $2-a$

Si $a\ge2$ La recta está bajo el eje: $A=\int_{-1}^{2}(a-x)\,dx$

A(a)=\begin{cases}\frac32-3a,&a\le-1,\\\frac{(a+1)^2+(2-a)^2}2,&-1<a<2,\\3a-\frac32,&a\ge2\end{cases}\quad\mathrm{u}^2.

Para $a=\frac12$ las zonas tienen áreas iguales y la integral con signo se anula. El área geométrica, en cambio, vale $\frac94\,\mathrm{u}^2$

Comprobación.

En $a=-1$ y $a=2$ las fórmulas contiguas coinciden y dan $\frac92\,\mathrm{u}^2$ Además, $\int_{-1}^{2}(x-a)\,dx=\frac32-3a$ su valor cero para $a=\frac12$ describe compensación, mientras que los dos triángulos suman un área positiva.

Modelo 25 · Dos áreas iguales sin una gráfica simétrica

Función a trozos y condición geométrica · Elaboración propia

Sea $a>0$ y

f_a(x)=\begin{cases}x(x+1),&-1\le x\le0,\\ax(2-x),&0<x\le2.\end{cases}

Determina $a$ para que la zona bajo el eje y la zona sobre él tengan la misma área. Calcula entonces el área geométrica total y $\int_{-1}^{2}f_a(x)\,dx$

Ver solución y comprobación

El dominio dado es $[-1,2]$ La función es no positiva en $[-1,0]$ y no negativa en $[0,2]$ porque $a>0$ Los dos trozos llegan a 0 en la unión; el cambio de fórmula y de signo queda en $x=0$

Las áreas de las dos zonas son

A_{\mathrm{bajo}}=-\int_{-1}^{0}(x^2+x)\,dx=\frac16\,\mathrm{u}^2,

A_{\mathrm{sobre}}=a\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\frac{4a}3\,\mathrm{u}^2.

La condición geométrica exige $\frac16=\frac{4a}3$ de donde $a=\frac18$ que cumple $a>0$ Con este valor,

A_{\mathrm{total}}=\frac16+\frac16=\frac13\,\mathrm{u}^2,\qquad\int_{-1}^{2}f_a(x)\,dx=-\frac16+\frac16=0.

La integral se anula por igualdad de las dos áreas con signo contrario, aunque el intervalo y la gráfica no tengan simetría respecto del origen.

Comprobación.

Para $a=\frac18$ se obtiene $f_a\left(-\frac12\right)=-\frac14$ y $f_a\left(\frac12\right)=\frac3{32}$ Estos valores no son opuestos, por lo que no se ha usado una falsa imparidad. Las áreas se igualan mediante la condición calculada, no por simetría.

Modelo 26 · Una singularidad impide aplicar Barrow a todo el intervalo

Reconocer un área no finita · Elaboración propia

Se propone calcular el área entre $y=\frac1x$ el eje $x$ y las rectas $x=-1$ $x=1$ Una solución usa $\ln|x|$ y obtiene $\ln1-\ln1=0$ Explica por qué ese cálculo no es válido y decide si el área es finita.

Ver solución y comprobación

El dominio de $\frac1x$ excluye 0. En ese punto la función no está definida y es no acotada en sus proximidades. No podemos aplicar la regla usual de Barrow atravesando todo $[-1,1]$ aunque $\ln|x|$ sea una primitiva en cada uno de los intervalos separados por 0.

Para comprobar el área, retiramos una franja de anchura $2\varepsilon$ con $0<\varepsilon<1$ En las partes restantes la función es continua y las áreas sí se calculan como integrales propias:

A_{\varepsilon}=\int_{-1}^{-\varepsilon}\left(-\frac1x\right)\,dx+\int_{\varepsilon}^{1}\frac1x\,dx=-2\ln\varepsilon\,\mathrm{u}^2.

Cuando $\varepsilon\to0^+$ ambas zonas crecen sin límite. El recinto es no acotado y no tiene área finita. El cero obtenido al restar los valores de la primitiva no representa esta área.

Comprobación.

Si elegimos $\varepsilon=e^{-n}$ con $n\ge1$ las áreas truncadas son $A_{\varepsilon}=2n\,\mathrm{u}^2$ sin cota superior. Las contribuciones con signo contrario no pueden cancelarse para obtener un área geométrica. Este diagnóstico debe hacerse antes de evaluar extremos de una primitiva.

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4 lecturas para interpretar la zona sombreada

La gráfica también forma parte de los datos. Comprueba si se pide una integral, el área total o solo uno de los recintos.

Lectura 1 · Área geométrica e integral con signo

Interpretar lóbulos en una gráfica · Elaboración propia

La gráfica poligonal es continua en $[0,6]$ De izquierda a derecha, los tres recintos tienen áreas geométricas de 4, 3 y 2 unidades cuadradas. Calcula el área total entre la gráfica y el eje $x$ y el valor de $\int_0^6 f(x)\,dx$

Los tres recintos tienen áreas geométricas 4, 3 y 2 unidades cuadradas, de izquierda a derecha. La región central queda bajo el eje.

Ver solución y comprobación

Los recintos primero y tercero están sobre el eje. El segundo está debajo. Para el área geométrica sumamos las tres cantidades positivas.

A=4+3+2=9\quad\text{unidades cuadradas}.

La integral cuenta positivamente los dos recintos superiores y negativamente el inferior.

\int_0^6 f(x)\,dx=4-3+2=3.

Los dos resultados responden a preguntas diferentes. La continuidad y el trazado poligonal permiten interpretar las integrales como sumas de áreas triangulares con su signo.

Comprobación.

Las bases de los tres triángulos miden 2, y sus alturas son 4, 3 y 2. La fórmula $\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}2$ da precisamente 4, 3 y 2. Se comprueban así los datos geométricos y la diferencia entre 9 de área total y 3 de integral con signo.

Lectura 2 · Tres tramos entre dos curvas

Leer los cambios de función superior · Elaboración propia

Se representan $f(x)=x+2$ y $g(x)=x^2+x+1$ Calcula el área entre las dos curvas en $[-2,2]$ incluida la limitada por las verticales de los extremos del intervalo. Justifica cómo cambia el orden de la resta.

Las curvas se cruzan en −1 y 1. Se sombrea toda la región entre ellas en [−2,2], con cierre vertical en los extremos.

Ver solución y comprobación

Las dos funciones son continuas en $\mathbb R$ Sus cortes cumplen $f(x)-g(x)=1-x^2=(1-x)(1+x)=0$ por lo que están en $x=-1$ y $x=1$

La diferencia es positiva en $(-1,1)$ y negativa en los dos intervalos exteriores. La gráfica confirma que la recta está arriba en el tramo central y la parábola en los otros dos. Debemos separar tres tramos.

A=\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx+\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx.

La distancia vertical es par. Agrupando los exteriores,

A=2\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2+2\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac83+\frac43=4\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

La distancia es $|1-x^2|$ aunque ninguna de las curvas sea el eje. Cada uno de los tres tramos aporta $\frac43$ unidades cuadradas. Integrar una sola diferencia en todo el intervalo permitiría que unas regiones compensaran otras.

Lectura 3 · Una tangencia y una frontera vertical

Identificar qué cierra el recinto · Elaboración propia

La región sombreada está limitada por $f(x)=e^{2x}$ $g(x)=1+2x$ y la vertical $x=\ln2$ Calcula su área. Explica por qué no hace falta encontrar dos puntos de corte entre las curvas.

La exponencial y su recta tangente coinciden en (0,1). La vertical x=ln 2 cierra el recinto por la derecha.

Ver solución y comprobación

Las funciones tienen dominio $\mathbb R$ En $x=0$ coinciden en el punto $(0,1)$ y sus pendientes son 2: hay tangencia.

Para ordenar las curvas en $(0,\ln2]$ usamos $h(x)=e^{2x}-1-2x$ Se cumple $h(0)=0$ y $h'(x)=2(e^{2x}-1)>0$ para $x>0$ de modo que $h(x)>0$ en el intervalo. La exponencial queda arriba y no hay otro cruce allí.

El extremo derecho lo fija la vertical dada. La tangencia de la izquierda y esa vertical cierran el recinto.

A=\int_0^{\ln2}(e^{2x}-1-2x)\,dx=\left[\frac{e^{2x}}2-x-x^2\right]_0^{\ln2}.

A=\left(2-\ln2-(\ln2)^2\right)-\frac12=\frac32-\ln2-(\ln2)^2\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

La altura $h$ crece desde 0 hasta $3-2\ln2$ Por ello $0<A<(\ln2)(3-2\ln2)$ El valor obtenido es aproximadamente $0{,}3264$ unidades cuadradas y cumple esa cota. La vertical de cierre está incluida entre las fronteras del enunciado.

Lectura 4 · El área pedida depende del sombreado

Seleccionar el recinto correcto · Elaboración propia

La gráfica corresponde a $f(x)=x^3-4x$ entre $-2$ y 2. Calcula el área del recinto sombreado.

Solo está sombreado el recinto de [−2,0]. El de [0,2] queda fuera de la región solicitada.

Ver solución y comprobación

El polinomio tiene dominio $\mathbb R$ y se anula en $-2$ 0 y 2, porque $f(x)=x(x-2)(x+2)$ La figura sombrea únicamente el recinto de $[-2,0]$

En $(-2,0)$ los dos primeros factores son negativos y el tercero es positivo, por lo que $f(x)>0$ La curva es la frontera superior y el eje, la inferior.

A=\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx=\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0}.

A=0-(4-8)=4\quad\text{unidades cuadradas}.

Comprobación.

La función es impar, así que el recinto de la derecha tiene también área 4. La suma de los dos sería 8 unidades cuadradas e incluiría una región sin sombrear. La selección de límites debe corresponder a la zona indicada en la figura.

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15 prácticas para resolver por tu cuenta

Escribe las fronteras y la integral antes de hacer las cuentas. Abre el desarrollo después del primer intento y utiliza la comprobación para revisar el planteamiento.

Práctica 1 · La recta queda por encima de la parábola

Área entre dos curvas · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x^2$ y $y=3x$

Ver solución y comprobación

Ambas funciones tienen dominio $\mathbb R$ Sus cortes cumplen $x^2=3x$ es decir, $x(x-3)=0$ son $(0,0)$ y $(3,9)$ El recinto cerrado se sitúa entre $x=0$ y $x=3$

En el interior, $3x-x^2=x(3-x)>0$ porque los dos factores son positivos. La recta es la curva superior en todo el tramo.

A=\int_0^3(3x-x^2)\,dx=\left[\frac32x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{27}{2}-9=\frac92\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La separación vertical es $\frac94-\left(x-\frac32\right)^2$ una parábola cóncava hacia abajo con base $3$ y altura máxima $\frac94$ El triángulo inscrito tiene área $\frac{27}{8}$ y el rectángulo que la contiene, $\frac{27}{4}$ El resultado $\frac92$ queda entre ambas cotas.

Práctica 2 · Un recinto simétrico sobre el eje

Área con el eje horizontal · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=9-x^2$ y el eje $x$

Ver solución y comprobación

La parábola está definida en $\mathbb R$ Los cortes con el eje son las soluciones de $9-x^2=0$ $x=-3$ y $x=3$ Solo hay un recinto acotado, entre esos dos valores.

En $(-3,3)$ $9-x^2=(3-x)(3+x)>0$ La parábola queda por encima del eje y no hace falta dividir en más tramos.

A=\int_{-3}^{3}(9-x^2)\,dx=\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{3}=18-(-18)=36\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La función es par: cada mitad del recinto debe aportar lo mismo. En efecto, $\int_0^3(9-x^2)\,dx=18$ y el doble es $36$ Además, cabe dentro de un rectángulo de base $6$ y altura $9$ cuya área es $54>36$

Práctica 3 · Cortes negativos y positivos

Área entre recta y parábola · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x+1$ y $y=x^2-1$

Ver solución y comprobación

El dominio común es $\mathbb R$ Igualamos las dos curvas:

x+1=x^2-1\quad\Longleftrightarrow\quad(x-2)(x+1)=0.

Los cortes son $(-1,0)$ y $(2,3)$ En $(-1,2)$ la diferencia $(x+1)-(x^2-1)=(2-x)(x+1)$ es positiva. Por tanto, la recta va arriba en todo el recinto.

A=\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}=\frac{10}{3}-\left(-\frac76\right)=\frac92\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

Con el cambio $t=x-\frac12$ la separación se convierte en $\frac94-t^2$ y los límites son $\pm\frac32$ La simetría da $2\int_0^{\frac32}\left(\frac94-t^2\right)\,dt=\frac92$ confirmando el área sin depender del valor negativo de la primitiva en el extremo izquierdo.

Práctica 4 · Una diferencia cuadrática sencilla

Área entre recta y parábola · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=2x$ y $y=x^2+x$

Ver solución y comprobación

Las dos funciones están definidas en $\mathbb R$ Los cortes cumplen $2x=x^2+x$ luego $x(x-1)=0$ Se encuentran en $(0,0)$ y $(1,2)$

La diferencia $2x-(x^2+x)=x(1-x)$ es positiva en $(0,1)$ Integramos la recta menos la parábola:

A=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La separación alcanza $\frac14$ en $x=\frac12$ Como es una parábola cóncava hacia abajo, el área queda entre el triángulo inscrito de área $\frac18$ y el rectángulo de área $\frac14$ Se cumple $\frac18<\frac16<\frac14$

Práctica 5 · Las rectas verticales fijan los límites

Área bajo una curva positiva · Elaboración propia

Calcula el área limitada por $y=x^2$ el eje $x$ $x=1$ y $x=4$

Ver solución y comprobación

La función $x^2$ tiene dominio $\mathbb R$ pero el recinto pedido está limitado por las verticales $x=1$ y $x=4$ Su corte con el eje, $x=0$ queda fuera del intervalo.

En todo $[1,4]$ $x^2>0$ La curva superior es $y=x^2$ la inferior es el eje $y=0$

A=\int_1^4x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4=\frac{64-1}{3}=21\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

Al dividir $[1,4]$ en tres franjas de anchura $1$ el crecimiento de $x^2$ da una suma inferior $1+4+9=14$ y una superior $4+9+16=29$ El área calculada, $21$ respeta $14<21<29$

Práctica 6 · Restar las dos alturas antes de integrar

Área entre parábola y recta · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=4-x^2$ y $y=2-x$

Ver solución y comprobación

El dominio común es $\mathbb R$ Los cortes satisfacen $4-x^2=2-x$ o $x^2-x-2=0$ Resultan $x=-1$ y $x=2$ con puntos $(-1,3)$ y $(2,0)$

La diferencia de alturas es $(4-x^2)-(2-x)=2+x-x^2=(2-x)(x+1)>0$ en $(-1,2)$ La parábola va arriba.

A=\int_{-1}^{2}(2+x-x^2)\,dx=\left[2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}=\frac{10}{3}+\frac76=\frac92\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

En el punto medio $x=\frac12$ la distancia vertical es $\frac94$ La diferencia se escribe $\frac94-\left(x-\frac12\right)^2$ así que los dos lados del recinto tienen la misma área. Cada mitad aporta $\int_0^{\frac32}\left(\frac94-t^2\right)\,dt=\frac94$ juntas dan $\frac92$

Práctica 7 · Dos curvas por debajo del eje

Área entre dos curvas · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x^2-4x$ y $y=-2x$

Ver solución y comprobación

Ambas curvas tienen dominio $\mathbb R$ Al igualarlas, $x^2-4x=-2x$ queda $x(x-2)=0$ Los cortes son $(0,0)$ y $(2,-4)$

Que las dos alturas sean negativas en el interior no cambia la regla: la curva superior es la de mayor valor. Aquí

-2x-(x^2-4x)=x(2-x)>0\qquad(0<x<2).

A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=4-\frac83=\frac43\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

En $x=1$ las alturas son $-2$ y $-3$ cuya distancia es $1$ La separación máxima es $1$ y la parábola de separación encierra más que el triángulo de base $2$ y altura $1$ pero menos que el rectángulo correspondiente. Por eso $1<\frac43<2$ aunque ambas curvas estén bajo el eje.

Práctica 8 · Dos recintos con distinto orden de las curvas

Área por tramos · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x^3$ y $y=x$ en $[-1,1]$

Ver solución y comprobación

Las funciones están definidas en $\mathbb R$ y estudiamos $[-1,1]$ Los cortes cumplen $x^3=x$ es decir, $x(x-1)(x+1)=0$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ y $(1,1)$

En $(-1,0)$ $x^3-x>0$ por los signos de sus tres factores. En $(0,1)$ esa diferencia es negativa. Por tanto, $x^3$ va arriba a la izquierda y $x$ a la derecha.

A=\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx+\int_0^1(x-x^3)\,dx

=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0+\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac14+\frac14=\frac12\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

Las dos curvas son impares, y los dos recintos se corresponden por un giro de media vuelta: deben tener igual área. La integral con una resta fija en todo $[-1,1]$ sería $0$ porque cancelaría una aportación positiva con otra negativa. La suma de los dos cuartos evita esa cancelación.

Práctica 9 · Tres tramos al cruzar el eje dos veces

Área geométrica con cambios de signo · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=x^2-1$ y el eje $x$ en $[-2,2]$

Ver solución y comprobación

El dominio es $\mathbb R$ y el intervalo pedido es $[-2,2]$ Los cortes con el eje son $x=-1$ y $x=1$ El producto $x^2-1=(x-1)(x+1)$ es positivo en los tramos exteriores y negativo entre esos dos ceros.

A=\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx+\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx.

Con las primitivas $\frac{x^3}{3}-x$ y $x-\frac{x^3}{3}$ respectivamente, cada tramo aporta $\frac23-\left(-\frac23\right)=\frac43$ Así,

A=\frac43+\frac43+\frac43=4\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La integral algebraica es $\int_{-2}^2(x^2-1)\,dx=\frac43$ Para convertirla en área hay que cambiar el signo de la parte central, de área $\frac43$ esto añade dos veces esa cantidad. Así, $\frac43+2\cdot\frac43=4$ de acuerdo con la suma de los tres recintos.

Práctica 10 · Una raíz y una parábola en el cuadrado unidad

Área entre curvas con raíz · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=\sqrt{x}$ y $y=x^2$ en $[0,1]$

Ver solución y comprobación

La raíz exige $x\ge0$ el dominio común es $[0,+\infty)$ y aquí solo se estudia $[0,1]$ Para los cortes, $\sqrt x=x^2$ Como ambos miembros son no negativos, podemos elevar al cuadrado: $x=x^4$ Las soluciones admisibles son $0$ y $1$ con cortes $(0,0)$ y $(1,1)$

Si $0<x<1$ se cumple $\sqrt x>x>x^2$ La raíz va arriba en todo el recinto.

A=\int_0^1(\sqrt x-x^2)\,dx=\left[\frac23x^{\frac32}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac23-\frac13=\frac13\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

En el cuadrado unidad, la zona bajo $y=x^2$ tiene área $\frac13$ La zona a la izquierda de $x=y^2$ también tiene área $\int_0^1y^2\,dy=\frac13$ son reflejos respecto de $y=x$ El recinto pedido ocupa lo que queda: $1-\frac13-\frac13=\frac13$

Práctica 11 · Dos parábolas con un solo recinto

Área entre parábolas · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=x^2$ y $y=4x-x^2$

Ver solución y comprobación

El dominio común es $\mathbb R$ Los cortes cumplen $x^2=4x-x^2$ luego $2x(x-2)=0$ son $(0,0)$ y $(2,4)$

En $0<x<2$ la diferencia $(4x-x^2)-x^2=2x(2-x)>0$ La parábola $4x-x^2$ es la superior en todo el recinto.

A=\int_0^2(4x-2x^2)\,dx=\left[2x^2-\frac23x^3\right]_0^2=8-\frac{16}{3}=\frac83\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La recta $y=2x$ queda a igual distancia vertical de ambas parábolas, pues $2x-x^2=(4x-x^2)-2x$ Divide el recinto en dos partes de la misma área. Cada una vale $\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\frac43$ el doble confirma $\frac83$

Práctica 12 · La exponencial sobre una horizontal

Área con límites verticales · Elaboración propia

Calcula el área limitada por $y=e^x$ $y=1$ $x=0$ y $x=2$

Ver solución y comprobación

Las dos funciones tienen dominio $\mathbb R$ Su único corte cumple $e^x=1$ por lo que es $(0,1)$ Las verticales del enunciado fijan el intervalo $[0,2]$

Como la exponencial es estrictamente creciente, $e^x>1$ para $0<x\le2$ Integramos la diferencia positiva:

A=\int_0^2(e^x-1)\,dx=\left[e^x-x\right]_0^2=(e^2-2)-1=(e^2-3)\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

El área bajo $e^x$ en $[0,2]$ es $e^2-1$ Al quitar el rectángulo de base $2$ y altura $1$ queda $e^2-1-2=e^2-3\approx4{,}39$ Esta lectura también comprueba la contribución del extremo $x=0$ donde la primitiva vale $1$ no $0$

Práctica 13 · El logaritmo y el extremo exponencial

Área bajo un logaritmo · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=\ln x$ el eje $x$ $x=1$ y $x=e^2$

Ver solución y comprobación

El dominio de $\ln x$ es $(0,+\infty)$ El recinto se encuentra entre $x=1$ y $x=e^2$ su corte con el eje es $(1,0)$

El logaritmo es creciente y vale $0$ en $1$ así que $\ln x>0$ en $(1,e^2]$ La función va por encima del eje.

A=\int_1^{e^2}\ln x\,dx=\left[x\ln x-x\right]_1^{e^2}=(2e^2-e^2)-(-1)=(e^2+1)\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

Con franjas horizontales, $0\le y\le2$ y el recinto va desde $x=e^y$ hasta $x=e^2$ Su área se vuelve a obtener como $\int_0^2(e^2-e^y)\,dy=2e^2-(e^2-1)=e^2+1$ El resultado es positivo y queda por debajo del rectángulo de área $2(e^2-1)$

Práctica 14 · La curva superior también puede ser negativa

Área entre recta y parábola · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre $y=x^2-2x$ y $y=-x$

Ver solución y comprobación

Las dos funciones tienen dominio $\mathbb R$ Al resolver $x^2-2x=-x$ obtenemos $x(x-1)=0$ Los cortes son $(0,0)$ y $(1,-1)$

En $(0,1)$ la diferencia $-x-(x^2-2x)=x(1-x)>0$ Por tanto, la recta $y=-x$ queda encima de la parábola, aunque las dos estén bajo el eje.

A=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac16\,\mathrm{u}^2.

Comprobación.

La distancia vertical se escribe $\frac14-\left(x-\frac12\right)^2$ simétrica respecto de $x=\frac12$ Al integrar una mitad y duplicar, $2\int_0^{\frac12}\left(\frac14-t^2\right)\,dt=\frac16$ Se confirma que el área es positiva sin cambiar el orden por el signo de las alturas.

Práctica 15 · Un área que determina el parámetro

Parámetro en un recinto · Elaboración propia

Halla $a>0$ para que el área entre $y=ax$ y $y=x^2$ sea $\frac{32}{3}$

Ver solución y comprobación

Para cada $a>0$ ambas funciones tienen dominio $\mathbb R$ Los cortes cumplen $ax=x^2$ de donde $x=0$ y $x=a$ Los puntos son $(0,0)$ y $(a,a^2)$

En $0<x<a$ $ax-x^2=x(a-x)>0$ así que la recta es la superior. El área depende de $a$

A(a)=\int_0^a(ax-x^2)\,dx=\left[\frac a2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^a=\frac{a^3}{6}.

Imponemos el valor pedido:

\frac{a^3}{6}=\frac{32}{3}\quad\Longrightarrow\quad a^3=64\quad\Longrightarrow\quad a=4.

Es el único valor positivo. Con él, el recinto tiene área $\frac{32}{3}\,\mathrm{u}^2$

Comprobación.

Con $a=4$ los cortes quedan en $0$ y $4$ La sustitución da $A(4)=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}$ Como $a^3$ aumenta estrictamente para $a>0$ no hay otra solución admisible. Además, la separación máxima vale $4$ el área queda entre las cotas geométricas $8$ y $16$

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Simulacro A · Resolver sin el modelo delante

70 minutos orientativos · Cinco problemas propios que recuperan técnicas ya entrenadas. Cada problema tiene una rúbrica sobre 10; la nota del simulacro es la media de las cinco notas.

Examen 1 · Un recinto entre recta y parábola

Cortes y función superior · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre

y=x^2,\qquad y=2x

Ver solución y comprobación

Ambas funciones tienen dominio $\mathbb R$ Los cortes cumplen $x^2=2x$ es decir, $x(x-2)=0$ Son los puntos $(0,0)$ y $(2,4)$ que cierran el recinto.

Entre 0 y 2, la diferencia $2x-x^2=x(2-x)$ es positiva. La recta queda arriba y la parábola abajo.

A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac43

El área es $\frac43$ unidades cuadradas.

Comprobación.

La separación vertical es $1-(x-1)^2$ se anula en los dos cortes, es simétrica respecto a $x=1$ y alcanza altura 1. Con $u=x-1$ su integral es $\int_{-1}^1(1-u^2)\,du=\frac43$ El resultado es positivo y menor que el área 2 del rectángulo que contiene esta separación.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: dominio y cortes, 2; descripción del recinto y orden, 2; integral con límites, 2; primitiva y evaluación, 3; comprobación, 1.

Examen 2 · Dos parábolas y dos cortes simétricos

Recinto cerrado y simetría · Elaboración propia

Calcula el área entre

y=4-x^2,\qquad y=x^2

Ver solución y comprobación

Las dos funciones están definidas en $\mathbb R$ Al igualarlas obtenemos $4-x^2=x^2$ luego $x=\pm\sqrt2$ Los puntos de corte son $(-\sqrt2,2)$ y $(\sqrt2,2)$

El recinto queda entre esas abscisas. La diferencia $4-2x^2$ es positiva en el interior, de modo que $4-x^2$ es la función superior. Por simetría,

A=2\int_0^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx=2\left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt2}=\frac{16\sqrt2}{3}

El área es $\frac{16\sqrt2}{3}$ unidades cuadradas.

Comprobación.

La separación tiene anchura $2\sqrt2$ altura máxima 4 y se anula en los dos cortes. El área obtenida es $\frac23$ de la del rectángulo de anchura $2\sqrt2$ y altura 4, por lo que cumple $0<A<8\sqrt2$ Además, la derivada de la primitiva $4x-\frac{2x^3}{3}$ devuelve exactamente la separación $4-2x^2$

Criterios de autocorrección

Sobre 10: cortes y coordenadas, 2; recinto y orden, 2; integral y simetría bien aplicada, 2; cálculo exacto, 3; comprobación, 1.

Examen 3 · Tres zonas que deben sumarse

Área geométrica y cambio de signo · Elaboración propia

Calcula el área limitada por

y=x^2-1,\qquad y=0,\qquad x=-2,\qquad x=2

Ver solución y comprobación

La parábola tiene dominio $\mathbb R$ Dentro de la franja $[-2,2]$ corta al eje en $(-1,0)$ y $(1,0)$ Está por encima del eje en los dos intervalos exteriores y por debajo en $(-1,1)$

El recinto consta de tres zonas. Sumamos sus áreas positivas y aprovechamos la simetría:

A=2\int_1^2(x^2-1)\,dx+2\int_0^1(1-x^2)\,dx

A=2\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2+2\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac83+\frac43=4

El área total es 4 unidades cuadradas.

Comprobación.

La integral con signo en toda la franja vale $\int_{-2}^2(x^2-1)\,dx=\frac43$ La zona situada bajo el eje tiene área $\frac43$ Al cambiar su aportación negativa por positiva se suman dos veces esas $\frac43$ unidades: $\frac43+2\cdot\frac43=4$ Así se comprueba que no se han compensado superficies.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: dominio, límites y cortes, 2; signos y tres zonas, 3; integrales con restas correctas, 2; evaluación y suma, 2; comprobación, 1.

Examen 4 · Dos lóbulos entre una cúbica y una recta

Cambio de función superior · Elaboración propia

Calcula el área encerrada entre

y=x^3,\qquad y=x

Ver solución y comprobación

Las dos funciones tienen dominio $\mathbb R$ Los cortes cumplen $x^3=x$ de donde $x(x-1)(x+1)=0$ Son $(-1,-1)$ $(0,0)$ y $(1,1)$

Se forman dos lóbulos cerrados. En $(-1,0)$ $x^3$ está arriba; en $(0,1)$ la recta $x$ está arriba. El área total es

A=\int_{-1}^0(x^3-x)\,dx+\int_0^1(x-x^3)\,dx

Los lóbulos tienen igual área por simetría central.

A=2\int_0^1(x-x^3)\,dx=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac12

El área es $\frac12$ unidad cuadrada.

Comprobación.

Cada lóbulo aporta $\frac14$ Sin cambiar el orden de las curvas, la integral $\int_{-1}^1(x-x^3)\,dx$ daría 0 por imparidad, aunque las dos superficies existen. La suma geométrica debe ser $\frac14+\frac14=\frac12$ no una compensación de signos.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: tres cortes y coordenadas, 2; dos lóbulos y orden por intervalos, 3; planteamiento, 2; cálculo y resultado, 2; comprobación, 1.

Examen 5 · El parámetro modifica el recinto

Cortes variables y área prescrita · Elaboración propia

Sea $a>0$ Calcula el área encerrada entre $y=ax$ y $y=x^2$ Después halla $a$ para que dicha área valga $\frac92$

Ver solución y comprobación

Las funciones tienen dominio $\mathbb R$ Los cortes satisfacen $ax=x^2$ sus coordenadas son $(0,0)$ y $(a,a^2)$ Como $a>0$ el recinto está entre 0 y $a$

La diferencia $ax-x^2=x(a-x)$ es positiva en $(0,a)$ así que la recta queda por encima de la parábola.

A(a)=\int_0^a(ax-x^2)\,dx=\left[\frac{ax^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^a=\frac{a^3}{6}

Imponemos el área pedida:

\frac{a^3}{6}=\frac92\quad\Longrightarrow\quad a^3=27\quad\Longrightarrow\quad a=3

Comprobación.

Para $a=3$ los cortes son $(0,0)$ y $(3,9)$ y la separación $3x-x^2$ es no negativa en $[0,3]$ La integral directa vale $\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{27}{2}-9=\frac92$ Además, $A(a)=\frac{a^3}{6}$ es estrictamente creciente para $a>0$ por lo que no hay otra solución admisible.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: cortes dependientes de $a$ 2; recinto y orden con $a>0$ 2; expresión del área, 3; valor del parámetro, 2; comprobación, 1.

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Simulacro B · Medir otros recintos

70 minutos orientativos · Cinco problemas propios de transferencia. Justifica límites, posición y particiones antes de integrar. Nota final: media de las cinco rúbricas sobre 10.

Examen 6 · El cruce cambia la función superior

Área con funciones trigonométricas · Elaboración propia

Calcula el área comprendida entre las curvas $y=\sin x$ $y=\cos x$ y las rectas $x=0$ $x=\pi$

Ver solución y comprobación

Ambas funciones tienen dominio $\mathbb R$ las rectas verticales seleccionan la franja $[0,\pi]$ En ella, $\sin x=\cos x$ solo en $x=\frac\pi4$ con ordenada $\frac{\sqrt2}{2}$

El coseno queda arriba antes del corte y el seno después. Hay dos zonas que deben sumarse con distinto orden de resta:

A=\int_0^{\frac\pi4}(\cos x-\sin x)\,dx+\int_{\frac\pi4}^{\pi}(\sin x-\cos x)\,dx

A=[\sin x+\cos x]_0^{\frac\pi4}+[-\cos x-\sin x]_{\frac\pi4}^{\pi}

A=(\sqrt2-1)+(1+\sqrt2)=2\sqrt2

El área total es $2\sqrt2$ unidades cuadradas.

Comprobación.

Si se integrara $\sin x-\cos x$ sin partir, se obtendría 2: el tramo inicial se restaría. El área geométrica debe ser mayor que ese valor. También cumple $A\le\int_0^\pi(|\sin x|+|\cos x|)\,dx=4$ El resultado $2\sqrt2$ está entre ambas cotas y suma dos aportaciones positivas.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: dominio y corte de la franja, 2; orden y separación de las dos zonas, 3; integrales, 2; evaluación exacta, 2; comprobación, 1.

Examen 7 · Un intervalo simétrico no asegura áreas iguales

Dos exponenciales y dos zonas · Elaboración propia

Calcula el área entre $y=e^{-x}$ $y=e^{-2x}$ y las rectas $x=-\ln2$ $x=\ln2$

Ver solución y comprobación

Las dos funciones están definidas en $\mathbb R$ El único corte se obtiene de $e^{-x}=e^{-2x}$ ocurre en $(0,1)$

Para $x<0$ $e^{-2x}$ es mayor; para $x>0$ lo es $e^{-x}$ Aunque los límites son simétricos, las separaciones de las curvas no lo son.

A=\int_{-\ln2}^0(e^{-2x}-e^{-x})\,dx+\int_0^{\ln2}(e^{-x}-e^{-2x})\,dx

A=\left[-\frac12e^{-2x}+e^{-x}\right]_{-\ln2}^0+\left[-e^{-x}+\frac12e^{-2x}\right]_0^{\ln2}

A=\frac12+\frac18=\frac58

El área total es $\frac58$ de unidad cuadrada. No procede multiplicar por dos el área de uno de los lados.

Comprobación.

Con $u=e^{-x}$ la primera contribución se transforma en $\int_1^2(u-1)\,du=\frac12$ y la segunda, en $\int_{\frac12}^1(1-u)\,du=\frac18$ Se recuperan por otro cálculo las dos cantidades positivas y su suma $\frac58$

Criterios de autocorrección

Sobre 10: dominio y único corte, 2; orden de las exponenciales, 2; dos integrales, 2; primitivas y evaluación, 3; comprobación, 1.

Examen 8 · Tres curvas delimitan una superficie

Frontera superior por tramos y unidades · Elaboración propia

En un plano con ambos ejes graduados en metros, $x$ e $y$ representan los valores numéricos de las coordenadas en esas unidades. Calcula el área del recinto que queda por encima de $y=x^2$ y por debajo de ambas rectas $y=2-x$ e $y=x+2$

Ver solución y comprobación

Las tres expresiones tienen dominio $\mathbb R$ Para que la parábola quede debajo de ambas rectas deben cumplirse a la vez

x^2\le2-x\quad\Longrightarrow\quad -2\le x\le1

x^2\le x+2\quad\Longrightarrow\quad -1\le x\le2

La intersección es $[-1,1]$ No se deben tomar los cortes exteriores $-2$ y $2$ allí falla una de las dos condiciones.

Las rectas se cruzan en $(0,2)$ La frontera superior es la más baja de ellas: $x+2$ en $[-1,0]$ y $2-x$ en $[0,1]$ Los extremos laterales del recinto son $(-1,1)$ y $(1,1)$

A=\left(\int_{-1}^0(x+2-x^2)\,dx+\int_0^1(2-x-x^2)\,dx\right)\mathrm{m^2}

A=\left(\frac76+\frac76\right)\mathrm{m^2}=\frac73\,\mathrm{m^2}

Comprobación.

Bajo las dos rectas y sobre el eje, en $[-1,1]$ hay un rectángulo de área $2\,\mathrm{m^2}$ y un triángulo de área $1\,\mathrm{m^2}$ Al restar el área bajo la parábola, $\frac23\,\mathrm{m^2}$ resulta $3-\frac23=\frac73$ metros cuadrados. Las coordenadas del enunciado son valores numéricos en metros; por eso el área integrada se expresa en $\mathrm{m^2}$

Criterios de autocorrección

Sobre 10: selección de los límites mediante ambas desigualdades, 3; frontera superior por tramos, 2; integrales, 2; cálculo y unidad, 2; comprobación, 1.

Examen 9 · Dos racionales con un corte interior

Orden de las curvas y división polinómica · Elaboración propia

Calcula el área comprendida entre $y=\frac{x}{x+1}$ $y=\frac{x^2}{x+1}$ y las rectas $x=0$ $x=2$

Ver solución y comprobación

Las funciones tienen dominio $\mathbb R\setminus\{-1\}$ y son continuas en la franja elegida $[0,2]$ Al igualarlas, $x=x^2$ aparecen los cortes $(0,0)$ y $\left(1,\frac12\right)$

La diferencia es

h(x)=\frac{x-x^2}{x+1}=\frac{x(1-x)}{x+1}=-x+2-\frac2{x+1}

Es positiva en $(0,1)$ y negativa en $(1,2)$ Así, la primera curva queda arriba en el primer tramo y la segunda en el otro. Una primitiva de $h$ en esta franja es

H(x)=-\frac{x^2}{2}+2x-2\ln(x+1)

A=[H(x)]_0^1-[H(x)]_1^2=2H(1)-H(2)

A=1-4\ln2+2\ln3

El área es aproximadamente $0{,}425$ unidades cuadradas.

Comprobación.

Al derivar $H$ recuperamos $h$ Las dos aportaciones son $\frac32-2\ln2\approx0{,}114$ y $-\frac12-2\ln2+2\ln3\approx0{,}311$ ambas positivas. La integral sin separar daría $2-2\ln3<0$ que no representa el área total.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: dominio y cortes, 2; signos y orden por tramos, 2; división polinómica, 1; integrales, 2; evaluación y resultado, 2; comprobación, 1.

Examen 10 · Un límite desconocido y un cambio de signo

Área prescrita con dos casos · Elaboración propia

Sea $b>0$ Halla $b$ para que el área comprendida entre $y=2x-3$ el eje $x$ y las rectas $x=0$ $x=b$ sea $\frac92$ unidades cuadradas.

Ver solución y comprobación

La recta tiene dominio $\mathbb R$ y corta al eje en $x=\frac32$ Hay que decidir si ese corte queda dentro de la franja.

Si $0<b\le\frac32$ , toda la recta queda bajo el eje. El área es $\int_0^b(3-2x)\,dx=3b-b^2$ cuyo mayor valor en este intervalo es $\frac94$ No puede alcanzar $\frac92$

Si $b>\frac32$ , hay dos zonas:

A(b)=\int_0^{\frac32}(3-2x)\,dx+\int_{\frac32}^b(2x-3)\,dx

A(b)=\frac94+\left(b-\frac32\right)^2

Al imponer $A=\frac92$ obtenemos $\left(b-\frac32\right)^2=\frac94$ Los candidatos son 0 y 3; solo $b=3$ cumple el caso $b>\frac32$

Comprobación.

Para $b=3$ aparecen dos triángulos de base $\frac32$ y altura 3. Cada uno tiene área $\frac94$ suman $\frac92$ En cambio, la integral con signo $\int_0^3(2x-3)\,dx$ vale 0. Ese contraste confirma que había que separar las zonas.

Criterios de autocorrección

Sobre 10: corte con el eje, 1; análisis de los dos casos, 3; planteamiento y expresión del área, 3; selección de $b$ 2; comprobación geométrica, 1.

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Errores que conviene localizar en tu solución

Los límites no siempre son dos cruces.

Pueden venir de rectas verticales u otras fronteras dadas. Dibuja la región solicitada antes de elegirlos.

Una altura negativa no decide qué curva va arriba.

Compara las dos ordenadas o estudia su diferencia en cada tramo.

Integral nula no significa área nula.

Las contribuciones con distinto signo se compensan en la integral; el área suma sus magnitudes.

Un contacto no siempre cambia el orden.

Revisa el signo a ambos lados antes de separar la resta.

No evalúes Barrow a través de un punto excluido.

Un resultado numérico no valida una integral cuyo planteamiento ha atravesado una singularidad.

La simetría hay que comprobarla.

La separación vertical puede ser simétrica aunque el recinto no lo sea. Justifica qué expresión permite duplicar una integral.

Hoja de seguimiento

Anota la decisión que falló y comprueba el segundo intento sin mirar la solución.

Registro de trabajo personal
Actividad	Primer intento	Corrección	Segundo intento	Error a evitar

Una ruta dentro del bloque de análisis

Empieza por Integrales si te falla el cálculo. Acude a Representación cuando necesites comprender la gráfica completa y a Monotonía cuando debas justificar una variación. Después, aplica el planteamiento de áreas dentro de un examen completo.

Preguntas frecuentes

¿El área es el valor absoluto de la integral?

Si la diferencia entre las curvas mantiene el signo, ambos valores coinciden. Cuando hay zonas de área positiva con signos opuestos, hay que sumar sus magnitudes. El valor absoluto de la suma no recupera las zonas que se han compensado.

¿Los límites tienen que ser siempre puntos de corte?

Pueden ser puntos de corte, rectas verticales dadas o fronteras del recinto. Hay que identificar qué cierra la región pedida y conservar únicamente los cortes que intervienen en ella.

¿Basta probar un punto para decidir la curva superior?

Si las dos funciones son continuas en el tramo y su diferencia no tiene ceros interiores, el signo es constante y un punto permite decidirlo. Antes hay que localizar todos los cortes pertinentes y separar singularidades y cambios de expresión.

¿Toda tangencia obliga a partir la integral?

No. Una tangencia puede mantener el mismo orden de las curvas. Se parte cuando cambia la frontera de la región, el signo de la diferencia o la expresión necesaria para calcular.

¿Cuándo resulta útil integrar respecto de y?

Cuando una franja horizontal recorre toda la región con una sola resta de curva derecha menos curva izquierda, mientras las franjas verticales exigirían separar varios tramos. Se presenta como ampliación de método, según la programación.

¿Estos simulacros son exámenes oficiales?

Son problemas de elaboración propia. El primero recupera técnicas ya entrenadas y el segundo exige aplicarlas a otros recintos. Las orientaciones y los criterios de la convocatoria se comprueban en las fuentes oficiales.

Fuentes y procedencia

Ejercicios, soluciones y figuras de elaboración propia de Marlu Educativa. Las áreas forman parte del cálculo integral de Matemáticas II. La profundidad de métodos y aplicaciones se concreta en cada programación y convocatoria.

El uso de franjas horizontales, ciertos parámetros y el diagnóstico de integrales no ordinarias se ofrecen como ampliación. No se presentan como exigencias idénticas de todas las PAU.

Blog

Método Marlu para medir un recinto

El área mide una separación, no una altura aislada

La integral con signo puede compensar zonas

Qué debe mostrar el dibujo

De dónde salen los límites y cómo decidir el orden

Recta y parábola

Dos parábolas

Cuándo es suficiente un punto de prueba

Separar solo donde cambia el planteamiento

20 modelos para afianzar el procedimiento

Modelo 1 · Una recta y una parábola

Modelo 2 · Área bajo una parábola positiva

Modelo 3 · Dos parábolas y una región simétrica

Modelo 4 · Cortes con una abscisa negativa

Modelo 5 · Tres tramos al cambiar el signo de la función

Modelo 6 · Una parábola situada bajo el eje

Modelo 7 · Una región estrecha entre recta y parábola

Modelo 8 · Cortes irracionales y cambio de origen

Modelo 9 · Dos curvas situadas bajo el eje

Modelo 10 · Dos recintos con cambio de orden

Modelo 11 · Exponencial sobre una horizontal

Modelo 12 · Logaritmo y eje horizontal

Modelo 13 · Una raíz y una recta entre sus cortes

Modelo 14 · Dos rectas y fronteras verticales

Modelo 15 · Parábola entre dos rectas verticales

Modelo 16 · Tres zonas que deben sumarse

Modelo 17 · Dos parábolas que encierran una región

Modelo 18 · Una cúbica con zonas a ambos lados del eje

Modelo 19 · Elegir el extremo para obtener un área dada

Modelo 20 · Área de una familia de rectas y parábolas

6 decisiones que cambian el planteamiento

Modelo 21 · Integrar respecto de la altura evita dividir el recinto

Modelo 22 · Un recinto cerrado por tres fronteras

Modelo 23 · Un contacto no obliga a cambiar el orden de las curvas

Modelo 24 · El parámetro desplaza el corte dentro o fuera del intervalo

Modelo 25 · Dos áreas iguales sin una gráfica simétrica

Modelo 26 · Una singularidad impide aplicar Barrow a todo el intervalo

4 lecturas para interpretar la zona sombreada

Lectura 1 · Área geométrica e integral con signo

Lectura 2 · Tres tramos entre dos curvas

Lectura 3 · Una tangencia y una frontera vertical

Lectura 4 · El área pedida depende del sombreado

15 prácticas para resolver por tu cuenta

Práctica 1 · La recta queda por encima de la parábola

Práctica 2 · Un recinto simétrico sobre el eje

Práctica 3 · Cortes negativos y positivos

Práctica 4 · Una diferencia cuadrática sencilla

Práctica 5 · Las rectas verticales fijan los límites

Práctica 6 · Restar las dos alturas antes de integrar

Práctica 7 · Dos curvas por debajo del eje

Práctica 8 · Dos recintos con distinto orden de las curvas

Práctica 9 · Tres tramos al cruzar el eje dos veces

Práctica 10 · Una raíz y una parábola en el cuadrado unidad

Práctica 11 · Dos parábolas con un solo recinto

Práctica 12 · La exponencial sobre una horizontal

Práctica 13 · El logaritmo y el extremo exponencial

Práctica 14 · La curva superior también puede ser negativa

Práctica 15 · Un área que determina el parámetro

Simulacro A · Resolver sin el modelo delante

Examen 1 · Un recinto entre recta y parábola

Examen 2 · Dos parábolas y dos cortes simétricos

Examen 3 · Tres zonas que deben sumarse

Examen 4 · Dos lóbulos entre una cúbica y una recta

Examen 5 · El parámetro modifica el recinto

Simulacro B · Medir otros recintos

Examen 6 · El cruce cambia la función superior

Examen 7 · Un intervalo simétrico no asegura áreas iguales

Examen 8 · Tres curvas delimitan una superficie

Examen 9 · Dos racionales con un corte interior

Examen 10 · Un límite desconocido y un cambio de signo

Errores que conviene localizar en tu solución

Hoja de seguimiento

Una ruta dentro del bloque de análisis

Preguntas frecuentes

Fuentes y procedencia