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Áreas entre funciones 2 Bachillerato EBAU: integrales, recintos y ejercicios resueltos

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Áreas entre funciones en 2 Bachillerato: integrales, rectas, parábolas, recintos y ejercicios tipo EBAU

Nivel: 2 Bachillerato, Matemáticas II y preparación EBAU.

El cálculo de áreas entre funciones es uno de esos ejercicios que parecen mecánicos hasta que el examen cambia un detalle: una parábola que queda por encima solo en un tramo, una recta que corta dos veces, una función que obliga a partir el área, o un recinto que no se ve claro si no haces un dibujo decente.

Este recurso está pensado para trabajar el tema como se debe trabajar en examen: puntos de corte, dibujo del recinto, función superior menos función inferior, integral definida, valor final positivo y revisión geométrica. No solo tiene que estar bien. Tiene que parecer bien cuando el corrector lo lea.

Idea central: el área entre dos funciones no se calcula “integrando lo primero que veo”. Se calcula entendiendo qué región se está midiendo.

Áreas entre funciones Integrales definidas Rectas y parábolas Recintos sombreados 2 Bachillerato EBAU Ejercicios resueltos

Este bloque es de los grandes en análisis. Si dominas áreas entre funciones, mejoras integrales, representación gráfica, puntos de corte y lectura geométrica. Es decir, no estás estudiando un tema aislado: estás conectando varias piezas de Matemáticas II.

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Índice del recurso

1. Qué significa calcular un área entre funciones

Cuando nos piden calcular el área encerrada entre dos funciones, nos están pidiendo medir una región del plano. Esa región suele estar limitada por las gráficas de dos funciones y, a veces, también por rectas verticales como \(x=0\), \(x=2\), \(x=a\) o \(x=b\).

La integral definida calcula área con signo. Si una función está por encima del eje \(x\), la integral sale positiva. Si está por debajo, sale negativa. Pero cuando hablamos de área geométrica, el resultado debe ser positivo.

Frase de clase: una integral puede salir negativa. Un área, no. Si te sale negativa, no has calculado el área; has calculado una integral con signo.

En el caso de dos funciones, la idea es restar la de abajo a la de arriba:

\[ \text{área}=\int_a^b \left(\text{función superior}-\text{función inferior}\right)\,dx \]

La dificultad real no suele estar en integrar. Suele estar en decidir bien los límites, saber qué función va arriba y ver si el recinto se parte en varios trozos.

2. Fórmula básica del área entre dos funciones

Si \(f(x)\) está por encima de \(g(x)\) en el intervalo \([a,b]\), el área encerrada entre ambas curvas es:

\[ A=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\,dx \]

Pero esa fórmula solo se puede usar directamente si \(f(x)\geq g(x)\) en todo el intervalo. Si se cruzan dentro del intervalo, hay que partir el área.

Ojo: no basta con poner los puntos de corte como límites. También hay que comprobar cuál de las dos funciones queda por encima en cada tramo.

Si \(f\) y \(g\) se cortan en \(x=a\) y \(x=b\), y entre esos valores \(f(x)\geq g(x)\), entonces:

\[ A=\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)\,dx \]

Si ocurre al revés, se cambia el orden:

\[ A=\int_a^b \left(g(x)-f(x)\right)\,dx \]

3. Método completo tipo examen

Este es el método que conviene escribir en examen. Ordenado, claro y con pinta de solución seria.

  1. Identificar las funciones. Escribe claramente \(f(x)\) y \(g(x)\).
  2. Calcular los puntos de corte. Se resuelve \(f(x)=g(x)\).
  3. Ordenar los límites. Si los cortes son \(x=a\) y \(x=b\), se escribe \(a
  4. Hacer un dibujo aproximado. No hace falta una obra de arte, pero sí un esquema que muestre el recinto.
  5. Determinar la función superior. Se puede probar un punto intermedio o mirar la forma de las gráficas.
  6. Plantear el área. Siempre superior menos inferior.
  7. Calcular la integral definida. Primitiva, sustitución de extremos y resta.
  8. Dar el resultado positivo. Si sale negativo, revisar el orden.
  9. Revisión final. El área debe tener sentido con el dibujo y con el tamaño del recinto.
Cómo debe verlo un corrector: cortes claros, dibujo o explicación del recinto, integral bien planteada, primitiva correcta y resultado final con unidades cuadradas si el contexto las pide.

4. Cómo dibujar y sombrear el recinto

En muchos ejercicios de áreas, el dibujo no es decorativo. Es lo que te permite no equivocarte de función superior. En el examen, un dibujo limpio transmite control.

x y a b recta parábola zona sombreada

La idea visual es esta: localizamos los cortes, vemos qué curva va arriba y sombreamos justo la región encerrada. Si el dibujo no coincide con la integral planteada, algo falla.

5. Cómo calcular puntos de corte

Los puntos de corte se calculan igualando las funciones:

\[ f(x)=g(x) \]

Si una función es una recta y otra una parábola, normalmente aparece una ecuación de segundo grado. Por ejemplo:

\[ f(x)=x^2,\quad g(x)=2x \]

Igualamos:

\[ x^2=2x \] \[ x^2-2x=0 \] \[ x(x-2)=0 \] \[ x=0,\quad x=2 \]

Los límites del área son \(0\) y \(2\). Después todavía falta decidir qué función está arriba.

6. Cómo saber qué función va arriba

Una vez calculados los cortes, se toma un punto intermedio y se comparan los valores de las funciones.

Con \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=2x\), los cortes son \(0\) y \(2\). Tomamos, por ejemplo, \(x=1\):

\[ f(1)=1^2=1 \] \[ g(1)=2\cdot1=2 \]

Como \(g(1)>f(1)\), en el intervalo \([0,2]\) la recta \(g(x)=2x\) está por encima de la parábola \(f(x)=x^2\).

\[ A=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx \]
Detalle de examen: escribir “probamos \(x=1\)” es perfectamente válido y deja claro por qué se resta en ese orden.

7. Cuándo hay que partir el área en varios tramos

Hay que partir el área cuando la función que va arriba cambia dentro del intervalo. Esto ocurre si las gráficas se cruzan en un punto interior del intervalo o si el recinto viene limitado por más de dos cortes.

La forma correcta es:

\[ A=\int_a^c (\text{superior}-\text{inferior})\,dx + \int_c^b (\text{superior}-\text{inferior})\,dx \]

donde \(c\) es el punto donde cambia el orden de las funciones.

Regla sencilla: si al probar puntos en dos intervalos distintos cambia la función superior, el área se parte.

8. Caso estrella: área entre una recta y una parábola

Es el caso más típico. Aparece muchísimo porque obliga a hacer cortes, interpretar el dibujo e integrar un polinomio sencillo.

Ejemplo base:

\[ y=x^2,\quad y=2x \]

Cortes:

\[ x^2=2x \Rightarrow x=0,\quad x=2 \]

En \(x=1\), la recta está por encima:

\[ 2x>x^2 \quad \text{en } (0,2) \]

Área:

\[ A=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx \] \[ A=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 \] \[ A=4-\frac83=\frac{12-8}{3}=\frac43 \]

Resultado: el área encerrada es \(\frac43\) unidades cuadradas.

9. Área entre dos parábolas

Con dos parábolas, el método no cambia. Lo delicado es que los puntos de corte pueden salir fraccionarios o que una parábola esté arriba solo en un tramo.

Ejemplo:

\[ f(x)=4-x^2,\quad g(x)=x^2 \]

Cortes:

\[ 4-x^2=x^2 \] \[ 2x^2=4 \] \[ x^2=2 \] \[ x=-\sqrt2,\quad x=\sqrt2 \]

En \(x=0\):

\[ f(0)=4,\quad g(0)=0 \]

Luego \(f\) está por encima.

\[ A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} \left((4-x^2)-x^2\right)\,dx \] \[ A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2} (4-2x^2)\,dx \]

Como la función \(4-2x^2\) es par, podemos hacer:

\[ A=2\int_0^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx \] \[ A=2\left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt2} \] \[ A=2\left(4\sqrt2-\frac{2(\sqrt2)^3}{3}\right) \]

Como \((\sqrt2)^3=2\sqrt2\):

\[ A=2\left(4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}\right) = 2\cdot\frac{8\sqrt2}{3} = \frac{16\sqrt2}{3} \]

Resultado: el área encerrada es \(\frac{16\sqrt2}{3}\) unidades cuadradas.

10. Casos más difíciles que conviene dominar

Para que este tema quede fuerte de verdad, hay que practicar más que recta contra parábola. En EBAU pueden aparecer variantes.

Área con eje \(x\)

Se calcula el área entre una función y el eje horizontal. Hay que vigilar si la función cambia de signo.

Área entre función y rectas verticales

El recinto no siempre se cierra con cortes entre funciones. A veces el intervalo lo da el enunciado.

Área partida

Si la función superior cambia, se separa en varias integrales.

Área con parámetro

Puede pedirse que un área valga cierto número y haya que hallar un parámetro.

Área con simetría

Si el integrando es par, se puede integrar de \(0\) a \(a\) y multiplicar por 2.

Área con logaritmos o exponenciales

No es lo primero, pero conviene verlo si se quiere preparar bien el bloque completo.

11. Errores frecuentes reales

No igualar las funciones

Sin puntos de corte no sabes realmente los límites del recinto.

Restar al revés

El área se plantea como superior menos inferior, no como “la primera menos la segunda”.

No hacer dibujo

El dibujo evita errores de orden, de tramos y de interpretación del recinto.

Olvidar partir el área

Si la función superior cambia, una sola integral no sirve.

Dar un área negativa

Una integral puede ser negativa. Un área geométrica debe ser positiva.

Integrar bien y plantear mal

Es el fallo más peligroso: las cuentas parecen correctas, pero el área no corresponde al recinto.

No ordenar los límites

Si los cortes son \(2\) y \(-1\), el intervalo es \([-1,2]\).

No revisar el resultado

El número final debe tener sentido con el tamaño del dibujo.

12. Ejercicios resueltos paso a paso

Vamos con ejercicios de verdad. La clave es que el planteamiento quede limpio. En examen, una solución con cortes, dibujo mental, función superior y área bien escrita da sensación de control.

Ejercicio 1. Área entre \(y=x^2\) y \(y=2x\)

Enunciado. Calcula el área encerrada entre:

\[ y=x^2,\quad y=2x \]

1. Cortes.

\[ x^2=2x \] \[ x^2-2x=0 \] \[ x(x-2)=0 \] \[ x=0,\quad x=2 \]

2. Función superior. Probamos \(x=1\):

\[ x^2=1,\quad 2x=2 \]

La recta \(y=2x\) queda por encima de la parábola \(y=x^2\).

3. Área.

\[ A=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx \] \[ A=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 \] \[ A=4-\frac83=\frac43 \]

Resultado: \(A=\frac43\) unidades cuadradas.

Ejercicio 2. Área entre \(y=4-x^2\) y el eje \(x\)

El eje \(x\) es la recta \(y=0\).

1. Cortes con el eje \(x\).

\[ 4-x^2=0 \] \[ x^2=4 \] \[ x=-2,\quad x=2 \]

Entre \(-2\) y \(2\), la parábola \(4-x^2\) está por encima del eje \(x\).

\[ A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx \]

Como \(4-x^2\) es par:

\[ A=2\int_0^2(4-x^2)\,dx \] \[ A=2\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2 \] \[ A=2\left(8-\frac83\right) = 2\cdot\frac{16}{3} = \frac{32}{3} \]

Resultado: \(A=\frac{32}{3}\) unidades cuadradas.

Ejercicio 3. Área entre \(y=4-x^2\) y \(y=x^2\)

1. Cortes.

\[ 4-x^2=x^2 \] \[ 2x^2=4 \] \[ x^2=2 \] \[ x=\pm\sqrt2 \]

2. Superior. En \(x=0\), \(4-x^2=4\) y \(x^2=0\). La función superior es \(4-x^2\).

\[ A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left((4-x^2)-x^2\right)\,dx \] \[ A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx \]

Por simetría:

\[ A=2\int_0^{\sqrt2}(4-2x^2)\,dx \] \[ A=2\left[4x-\frac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt2} \] \[ A=2\left(4\sqrt2-\frac{4\sqrt2}{3}\right) = \frac{16\sqrt2}{3} \]

Resultado: \(A=\frac{16\sqrt2}{3}\).

Ejercicio 4. Área entre \(y=x+2\) y \(y=x^2\)

1. Cortes.

\[ x+2=x^2 \] \[ x^2-x-2=0 \] \[ (x-2)(x+1)=0 \] \[ x=-1,\quad x=2 \]

2. Superior. Probamos \(x=0\):

\[ x+2=2,\quad x^2=0 \]

La recta está por encima.

\[ A=\int_{-1}^{2}\left((x+2)-x^2\right)\,dx \] \[ A=\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} \]

Evaluamos:

\[ F(2)=\frac{4}{2}+4-\frac{8}{3}=2+4-\frac83=\frac{10}{3} \] \[ F(-1)=\frac12-2+\frac13=\frac{3-12+2}{6}=-\frac76 \] \[ A=\frac{10}{3}-\left(-\frac76\right)=\frac{20}{6}+\frac76=\frac{27}{6}=\frac92 \]

Resultado: \(A=\frac92\) unidades cuadradas.

Ejercicio 5. Área entre \(y=x^2-1\) y el eje \(x\) en \([-2,2]\)

Este ejercicio es importante porque la función cambia de signo. No se puede hacer una sola integral y quedarse tan ancho.

1. Cortes con el eje.

\[ x^2-1=0 \] \[ x=-1,\quad x=1 \]

En \([-2,-1]\) y \([1,2]\), la función es positiva. En \([-1,1]\), la función es negativa.

\[ A=\int_{-2}^{-1}(x^2-1)\,dx+\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx+\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx \]

Por simetría:

\[ A=2\int_1^2(x^2-1)\,dx+2\int_0^1(1-x^2)\,dx \]

Calculamos:

\[ 2\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2 = 2\left(\frac83-2-\frac13+1\right) = 2\cdot\frac{4}{3} = \frac83 \] \[ 2\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 2\left(1-\frac13\right) = \frac43 \] \[ A=\frac83+\frac43=4 \]

Resultado: \(A=4\) unidades cuadradas.

Lección del ejercicio: si la función cruza el eje, el área se parte. Integrar directamente de \(-2\) a \(2\) daría área con signo, no área total.
Ejercicio 6. Área entre \(y=x^2-2x\) y \(y=0\)

1. Cortes con el eje.

\[ x^2-2x=0 \] \[ x(x-2)=0 \] \[ x=0,\quad x=2 \]

En \(x=1\):

\[ 1^2-2\cdot1=-1 \]

La parábola está por debajo del eje \(x\). Por tanto, el área es:

\[ A=\int_0^2(0-(x^2-2x))\,dx \] \[ A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx \] \[ A=\frac43 \]

Resultado: \(A=\frac43\).

Ejercicio 7. Área entre \(y=3x\) y \(y=x^2+2x\)

1. Cortes.

\[ 3x=x^2+2x \] \[ x^2-x=0 \] \[ x(x-1)=0 \] \[ x=0,\quad x=1 \]

2. Superior. En \(x=\frac12\):

\[ 3x=\frac32 \] \[ x^2+2x=\frac14+1=\frac54 \]

La recta \(3x\) está por encima.

\[ A=\int_0^1(3x-(x^2+2x))\,dx \] \[ A=\int_0^1(x-x^2)\,dx \] \[ A=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac12-\frac13=\frac16 \]

Resultado: \(A=\frac16\).

Ejercicio 8. Área entre \(y=6-x^2\) y \(y=x+2\)

1. Cortes.

\[ 6-x^2=x+2 \] \[ x^2+x-4=0 \]

Aplicamos fórmula:

\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{17}}{2} \]

2. Superior. En \(x=0\):

\[ 6-x^2=6,\quad x+2=2 \]

La parábola \(6-x^2\) está por encima.

3. Área.

\[ A=\int_{\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}} \left((6-x^2)-(x+2)\right)\,dx \] \[ A=\int_{\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}^{\frac{-1+\sqrt{17}}{2}} (4-x-x^2)\,dx \]

Este resultado se puede dejar planteado si el ejercicio pide planteamiento, pero si pide calcular, se evalúa la primitiva:

\[ F(x)=4x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \]

El cálculo exacto es más largo. Una forma elegante es completar cuadrado:

\[ 4-x-x^2=\frac{17}{4}-\left(x+\frac12\right)^2 \]

Con \(u=x+\frac12\), los límites pasan a \(-\frac{\sqrt{17}}{2}\) y \(\frac{\sqrt{17}}{2}\):

\[ A=\int_{-\frac{\sqrt{17}}{2}}^{\frac{\sqrt{17}}{2}} \left(\frac{17}{4}-u^2\right)\,du \] \[ A=2\int_0^{\frac{\sqrt{17}}{2}} \left(\frac{17}{4}-u^2\right)\,du \] \[ A=2\left[\frac{17}{4}u-\frac{u^3}{3}\right]_0^{\frac{\sqrt{17}}{2}} \] \[ A=2\left(\frac{17\sqrt{17}}{8}-\frac{17\sqrt{17}}{24}\right) = 2\cdot\frac{34\sqrt{17}}{24} = \frac{17\sqrt{17}}{6} \]

Resultado: \(A=\frac{17\sqrt{17}}{6}\).

Ejercicio 9. Área entre dos curvas que obligan a pensar el orden

Calcula el área encerrada entre:

\[ y=x^2-4x,\quad y=-x \]

1. Cortes.

\[ x^2-4x=-x \] \[ x^2-3x=0 \] \[ x(x-3)=0 \] \[ x=0,\quad x=3 \]

2. Superior. En \(x=1\):

\[ x^2-4x=1-4=-3 \] \[ -x=-1 \]

La recta \(y=-x\) está por encima.

\[ A=\int_0^3\left((-x)-(x^2-4x)\right)\,dx \] \[ A=\int_0^3(-x^2+3x)\,dx \] \[ A=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_0^3 = -9+\frac{27}{2} = \frac92 \]

Resultado: \(A=\frac92\).

Ejercicio 10. Área limitada por \(y=x^3\), \(y=x\) en \([-1,1]\)

Este es un caso muy bueno porque las funciones se cruzan dentro del intervalo.

1. Cortes.

\[ x^3=x \] \[ x^3-x=0 \] \[ x(x^2-1)=0 \] \[ x=-1,\quad x=0,\quad x=1 \]

Hay que partir en \([-1,0]\) y \([0,1]\).

En \(x=-\frac12\):

\[ x^3=-\frac18,\quad x=-\frac12 \]

Arriba está \(x^3\).

En \(x=\frac12\):

\[ x=\frac12,\quad x^3=\frac18 \]

Arriba está \(x\).

\[ A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_0^1(x-x^3)\,dx \]

Por simetría:

\[ A=2\int_0^1(x-x^3)\,dx \] \[ A=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\left(\frac12-\frac14\right) = \frac12 \]

Resultado: \(A=\frac12\).

Ejercicio 11. Área entre \(y=e^x\) y \(y=1\) en \([0,1]\)

En \([0,1]\), \(e^x\geq1\), por tanto:

\[ A=\int_0^1(e^x-1)\,dx \] \[ A=\left[e^x-x\right]_0^1 \] \[ A=(e-1)-(1-0)=e-2 \]

Resultado: \(A=e-2\).

Ejercicio 12. Área entre \(y=\ln x\) y el eje \(x\) en \([1,e]\)

En \([1,e]\), \(\ln x\geq0\). Por tanto:

\[ A=\int_1^e \ln x\,dx \]

Usamos integración por partes:

\[ \int \ln x\,dx=x\ln x-x \]

Entonces:

\[ A=\left[x\ln x-x\right]_1^e \] \[ A=(e\cdot1-e)-(1\cdot0-1) \] \[ A=0-(-1)=1 \]

Resultado: \(A=1\).

Ejercicio 13. Área entre \(y=\sqrt{x}\) y \(y=x\) en \([0,1]\)

En \([0,1]\), se cumple \(\sqrt{x}\geq x\).

\[ A=\int_0^1(\sqrt{x}-x)\,dx \] \[ A=\int_0^1(x^{1/2}-x)\,dx \] \[ A=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 \] \[ A=\frac23-\frac12=\frac16 \]

Resultado: \(A=\frac16\).

Ejercicio 14. Área con rectas verticales \(x=0\) y \(x=3\)

Calcula el área entre \(y=6-x\), \(y=x\), \(x=0\) y \(x=3\).

Las funciones se cruzan cuando:

\[ 6-x=x \Rightarrow x=3 \]

En \([0,3]\), \(6-x\) está por encima de \(x\).

\[ A=\int_0^3((6-x)-x)\,dx \] \[ A=\int_0^3(6-2x)\,dx \] \[ A=\left[6x-x^2\right]_0^3 \] \[ A=18-9=9 \]

Resultado: \(A=9\).

Ejercicio 15. Área entre \(y=x^2\), \(y=0\), \(x=1\) y \(x=3\)

La función \(x^2\) está por encima del eje \(x\) en \([1,3]\).

\[ A=\int_1^3 x^2\,dx \] \[ A=\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 \] \[ A=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3} \]

Resultado: \(A=\frac{26}{3}\).

Ejercicio 16. Área entre \(y=x^2-4\) y el eje \(x\) en \([-3,3]\)

1. Cortes.

\[ x^2-4=0 \Rightarrow x=-2,\quad x=2 \]

En \([-3,-2]\) y \([2,3]\), la función es positiva. En \([-2,2]\), es negativa.

\[ A=\int_{-3}^{-2}(x^2-4)\,dx+\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx+\int_2^3(x^2-4)\,dx \]

Por simetría:

\[ A=2\int_2^3(x^2-4)\,dx+\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx \]

Calculamos:

\[ 2\left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_2^3 = 2\left(9-12-\frac83+8\right) = 2\cdot\frac73 = \frac{14}{3} \] \[ \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3} \] \[ A=\frac{14}{3}+\frac{32}{3}=\frac{46}{3} \]

Resultado: \(A=\frac{46}{3}\).

Ejercicio 17. Área entre \(y=x^2\) y \(y=4x-x^2\)

1. Cortes.

\[ x^2=4x-x^2 \] \[ 2x^2-4x=0 \] \[ 2x(x-2)=0 \] \[ x=0,\quad x=2 \]

En \(x=1\):

\[ x^2=1,\quad 4x-x^2=3 \]

Superior: \(4x-x^2\).

\[ A=\int_0^2((4x-x^2)-x^2)\,dx \] \[ A=\int_0^2(4x-2x^2)\,dx \] \[ A=\left[2x^2-\frac{2x^3}{3}\right]_0^2 = 8-\frac{16}{3} = \frac83 \]

Resultado: \(A=\frac83\).

Ejercicio 18. Área entre \(y=x^3\) y \(y=0\) en \([-1,2]\)

La función \(x^3\) cambia de signo en \(x=0\), así que el área se parte.

\[ A=\int_{-1}^{0}(-x^3)\,dx+\int_0^2 x^3\,dx \] \[ A=\left[-\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{0}+\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 \] \[ A=\frac14+4=\frac{17}{4} \]

Resultado: \(A=\frac{17}{4}\).

Ejercicio 19. Área con parámetro sencillo

Halla \(a>0\) para que el área bajo \(y=x\) entre \(0\) y \(a\) sea 8.

\[ A=\int_0^a x\,dx \] \[ A=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^a=\frac{a^2}{2} \]

Imponemos:

\[ \frac{a^2}{2}=8 \] \[ a^2=16 \] \[ a=4 \]

Resultado: \(a=4\).

Ejercicio 20. Área entre \(y=ax\) y \(y=x^2\) entre sus cortes

Sea \(a>0\). Calcula el área encerrada entre:

\[ y=ax,\quad y=x^2 \]

1. Cortes.

\[ ax=x^2 \] \[ x(a-x)=0 \] \[ x=0,\quad x=a \]

En \((0,a)\), la recta \(ax\) queda por encima de \(x^2\).

\[ A=\int_0^a(ax-x^2)\,dx \] \[ A=\left[\frac{ax^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^a \] \[ A=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{3} = \frac{a^3}{6} \]

Resultado: \(A=\frac{a^3}{6}\).

Este ejercicio es muy útil: resume recta-parábola, parámetro y área en una sola expresión limpia.

13. Ejercicios para practicar

Haz primero el dibujo mental y los cortes. Después ya integras. Si lo haces al revés, el ejercicio te domina él a ti.

Nivel 1. Rectas, parábolas y eje \(x\)

  1. Calcula el área entre \(y=x^2\) y \(y=3x\).
  2. Calcula el área entre \(y=9-x^2\) y el eje \(x\).
  3. Calcula el área entre \(y=x+1\) y \(y=x^2-1\).
  4. Calcula el área entre \(y=2x\) y \(y=x^2+x\).
  5. Calcula el área limitada por \(y=x^2\), el eje \(x\), \(x=1\) y \(x=4\).

Nivel 2. Recintos con más lectura

  1. Calcula el área entre \(y=4-x^2\) y \(y=2-x\).
  2. Calcula el área entre \(y=x^2-4x\) y \(y=-2x\).
  3. Calcula el área entre \(y=x^3\) y \(y=x\) en \([-1,1]\).
  4. Calcula el área entre \(y=x^2-1\) y el eje \(x\) en \([-2,2]\).
  5. Calcula el área entre \(y=\sqrt{x}\) y \(y=x^2\) en \([0,1]\).

Nivel 3. Tipo EBAU

  1. Calcula el área encerrada entre \(y=x^2\) y \(y=4x-x^2\).
  2. Calcula el área limitada por \(y=e^x\), \(y=1\), \(x=0\) y \(x=2\).
  3. Calcula el área entre \(y=\ln x\), el eje \(x\), \(x=1\) y \(x=e^2\).
  4. Calcula el área encerrada entre \(y=x^2-2x\) y \(y=-x\).
  5. Halla \(a>0\) para que el área entre \(y=ax\) y \(y=x^2\) sea \(\frac{32}{3}\).

14. Simulacro tipo EBAU

Tiempo recomendado: 70 minutos.

Instrucción: en cada ejercicio deben aparecer puntos de corte, dibujo o descripción del recinto, función superior, integral planteada y resultado final positivo.

  1. Calcula el área encerrada entre: \[ y=x^2,\quad y=2x \]
  2. Calcula el área entre: \[ y=4-x^2,\quad y=x^2 \]
  3. Calcula el área limitada por: \[ y=x^2-1,\quad y=0,\quad x=-2,\quad x=2 \]
  4. Calcula el área encerrada entre: \[ y=x^3,\quad y=x \]
  5. Sea \(a>0\). Calcula el área encerrada entre \(y=ax\) y \(y=x^2\). Después halla \(a\) para que dicha área valga \(\frac{9}{2}\).

Criterio de corrección

Parte Puntuación Qué se valora
Puntos de corte 2 puntos Igualar funciones y resolver correctamente
Dibujo o descripción del recinto 1,5 puntos Saber qué zona se está calculando
Función superior e inferior 2 puntos Restar en el orden correcto
Integral planteada 1,5 puntos Límites correctos y separación en tramos si hace falta
Cálculo de la integral 2 puntos Primitiva y evaluación correcta
Resultado y revisión 1 punto Área positiva y coherente con el dibujo

Diagnóstico rápido si fallas áreas

Te sale negativa. Has restado al revés o has calculado integral con signo. Revisa función superior menos función inferior.

Te falta un trozo de área. Seguramente la función cambia de signo o cambia la curva superior. Hay que partir el intervalo.

No sabes los límites. Igualar funciones es obligatorio. Sin cortes, el área está en el aire.

Las cuentas son correctas pero el resultado no tiene sentido. Mira el dibujo. A veces el planteamiento está mal aunque la integral esté bien hecha.

Te confundes con el eje \(x\). Recuerda que el eje \(x\) es \(y=0\). Si la función queda debajo, el área se calcula como \(0-f(x)\).

15. Qué estudiar antes y después

Este recurso debe quedar como una pieza fuerte del clúster de análisis de 2 Bachillerato. Áreas entre funciones no vive sola: necesita integrales, representación gráfica, puntos de corte y lectura de funciones.

Página madre EBAU

Debe enlazar desde Matemáticas II EBAU 2026 Castilla y León, porque ahí se recoge el bloque de análisis, funciones, derivadas e integrales.

Representación de funciones

Este recurso debe enlazar hacia representación de funciones 2 Bachillerato si existe ya en WordPress.

Integrales inmediatas

Antes de áreas, el alumno necesita dominar primitivas básicas. Si todavía no está publicado el recurso de integrales inmediatas, conviene crearlo como pieza previa.

Integración por partes

Para áreas con \(\ln x\) o productos, puede hacer falta integración por partes. Si existe el post, enlazarlo aquí.

Monotonía y curvatura

Cuando el recinto no es evidente, estudiar la forma de las funciones ayuda. Enlazar aquí al recurso de monotonía, extremos y curvatura si ya está publicado.

Recursos educativos

Debe incorporarse a recursos educativos, dentro de Matemáticas Bachillerato y PAU/EBAU.

Matemáticas online Bachillerato

Para captación nacional, el enlace principal de conversión debe ser Matemáticas online Bachillerato y PAU.

Clases online

También debe conectar con clases particulares online de Matemáticas, Física y Química, especialmente para alumnos que preparan EBAU desde fuera de Salamanca.

Clases de Matemáticas

Para navegación general, enlazar hacia clases de Matemáticas en Marlu Educativa.

Prematrícula

Para organizar clases presenciales en Salamanca u online, el cierre natural es prematrícula de Marlu Educativa.

Áreas entre funciones es uno de los grandes temas de análisis. Aquí se juntan cortes, dibujo, integrales y criterio. Cuando el alumno aprende a plantear bien el recinto, el ejercicio deja de depender de la suerte.

Clases online de Matemáticas Bachillerato y PAU Clases de Matemáticas Clases online Prematrícula

Recurso realizado por José María, Marlu Educativa. Material preparado para alumnos de 2 Bachillerato que necesitan dominar áreas entre funciones con integrales definidas, recintos, rectas, parábolas, funciones más difíciles y ejercicios tipo EBAU explicados paso a paso.

16. Preguntas frecuentes sobre áreas entre funciones

¿Cómo se calcula el área entre dos funciones?

Se calculan los puntos de corte, se determina qué función está por encima y se integra superior menos inferior entre los límites correspondientes.

¿Por qué el área debe salir positiva?

Porque el área geométrica mide superficie. Si una integral sale negativa, se ha calculado área con signo o se ha restado en el orden contrario.

¿Cuándo hay que partir el área?

Hay que partirla cuando la función superior cambia o cuando la función cruza el eje y se está calculando área total respecto al eje \(x\).

¿Qué hago si no sé qué función va arriba?

Después de calcular los puntos de corte, toma un punto intermedio y compara los valores de las funciones.

¿Es obligatorio hacer dibujo?

No siempre es obligatorio, pero es muy recomendable. En examen ayuda a plantear bien el área y transmite claridad al corrector.

¿Qué pasa si el ejercicio da rectas verticales como \(x=a\) y \(x=b\)?

Entonces esos valores suelen ser los límites de integración. Aun así, hay que comprobar qué función está por encima en ese intervalo.

¿Qué diferencia hay entre integral definida y área?

La integral definida puede tener signo. El área geométrica siempre es positiva y puede requerir partir el intervalo.

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