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Caída libre y lanzamiento vertical en 4.º ESO: signos, método y problema
4.º ESO · Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Caída libre y lanzamiento vertical
Elige el eje, asigna los signos y traduce el movimiento a ecuaciones. Aquí puedes practicar caídas, lanzamientos, pasos por una altura y encuentros, con los cálculos ordenados y una comprobación física de cada resultado.
El núcleo empieza con un solo móvil y el convenio de signos. La ampliación introduce problemas inversos, encuentros y salidas retardadas. La dificultad es orientativa: sigue también el programa de tu centro. Todos los movimientos son verticales, con gravedad constante y sin resistencia del aire. Se usa \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\), salvo indicación distinta.
El modelo físico y sus límites
Durante el vuelo se considera únicamente el peso y se desprecia la resistencia del aire. Cerca de la superficie terrestre tomamos una aceleración constante de módulo \(g\). El mismo modelo sirve para soltar un cuerpo, lanzarlo hacia abajo o lanzarlo hacia arriba.
Se usa ese valor en este recurso, salvo indicación distinta. Si el enunciado fija \(g=10\ \mathrm{m/s^2}\), hay que respetarlo. «Se deja caer» significa que parte del reposo, \(v_0=0\); un lanzamiento tiene una velocidad inicial que debe identificarse.
Las ecuaciones describen el movimiento desde la salida hasta el primer impacto. No se prolongan por debajo del suelo ni permiten calcular un rebote sin datos adicionales. En la altura máxima, \(v=0\) un instante, pero la aceleración sigue dirigida hacia abajo.
Elegir el eje antes de sustituir
Marca el origen, el sentido positivo y el instante inicial. La velocidad lleva el signo del movimiento; el de la aceleración depende del eje y se mantiene durante todo el vuelo.
| Sentido positivo | Al subir | Al bajar | Aceleración |
|---|---|---|---|
| Hacia arriba | \(v>0\) | \(v<0\) | \(a=-g\) |
| Hacia abajo | \(v<0\) | \(v>0\) | \(a=+g\) |
La posición \(y\) se mide desde el origen elegido. El desplazamiento es \(\Delta y=y-y_0\); la rapidez es \(|v|\). Una velocidad negativa indica sentido, no una rapidez negativa. Si el suelo es el origen y el eje apunta hacia arriba, \(y\) coincide con la altura sobre el suelo.
Formulario de movimiento vertical
Las tres relaciones del MRUA
La tercera evita calcular el tiempo cuando solo se necesitan velocidades y desplazamiento. También es útil en problemas de 4.º ESO; la dificultad depende del planteamiento, no de usar una fórmula distinta.
Eje positivo hacia arriba
Para un lanzamiento inicial hacia arriba, \(v_0>0\):
Si vuelve a la altura de salida, sin obstáculos antes:
El tiempo doble de subida no se utiliza como tiempo de impacto cuando el suelo está a otra altura.
Impacto en el suelo
Con origen en el suelo, eje hacia arriba y altura inicial \(h_0>0\):
Se admite \(v_0\) positivo, nulo o negativo según el lanzamiento. Para una caída desde el reposo:
Unidades y control dimensional
Convierte a unidades compatibles antes de sustituir. En la ecuación de posición, \(v_0t\) y \(at^2\) deben dar metros; en la de velocidad, \(at\) debe dar \(\mathrm{m/s}\). Conserva cifras de guarda y redondea el resultado final.
Resolver y comprobar un problema
- Datos y dibujo. Sitúa el suelo, el punto de salida y la altura pedida; dibuja el eje.
- Modelo y reloj. Fija \(y_0\), \(v_0\), \(a\) y el origen temporal. Escribe las ecuaciones antes de introducir números.
- Condición física. Traduce la pregunta: altura máxima, \(v=0\); suelo, \(y=0\) si ese es el origen; encuentro, \(y_A=y_B\).
- Cálculo. Despeja la incógnita y conserva todas las raíces hasta interpretarlas.
- Validez. Comprueba que cada tiempo pertenece al movimiento descrito y es anterior al impacto que lo termina.
- Resultado y revisión. Escribe unidades y sentido. Sustituye en otra ecuación, compara ambas posiciones o utiliza una simetría válida.
Decisiones que cambian la solución
Dos pasos por una altura
Para \(v_0>0\), una altura entre la de salida y la máxima se alcanza dos veces: al subir y al bajar. En la altura máxima hay un solo instante; por encima no hay solución real. La altura inicial corresponde a \(t=0\) y al regreso. Una altura inferior a la inicial solo se alcanza después de la salida durante la bajada, si no hay un impacto previo.
Después de obtener los tiempos, calcula \(v(t)\): su signo distingue los dos sentidos. Si el radicando es negativo, esa altura no se alcanza en el modelo.
Recorrido y desplazamiento
Sin cambio de sentido, la distancia recorrida coincide con \(|\Delta y|\). Si el cuerpo sube y después baja, suma las distancias de ambos tramos. Para un instante posterior a la altura máxima y anterior al impacto:
Al regresar al punto de salida, el desplazamiento es cero y el recorrido es \(2(y_{\mathrm{max}}-y_0)\).
Dos cuerpos y una salida retardada
Usa el mismo eje y el mismo reloj para ambos. Si B sale en \(t=\tau\), su tiempo de vuelo es \(t-\tau\):
Esta expresión se aplica desde la salida de B hasta su primer impacto. Igualar \(y_A(t)=y_B(t)\) da candidatos: después se comprueban los intervalos físicos. Los términos de gravedad se cancelan en el movimiento relativo cuando ambos cuerpos están sometidos a la misma aceleración.
El último segundo de una caída
Si \(T\) es el instante de impacto y el movimiento no cambia de sentido, la distancia de los últimos \(\delta t\) segundos es:
Para el último segundo, \(\delta t=1\ \mathrm s\). No se sustituye simplemente \(t=1\) en la fórmula desde la salida.
Leer las gráficas sin cambiar el modelo
Con eje positivo hacia arriba, \(y(t)\) es una parábola cóncava hacia abajo, \(v(t)\) una recta de pendiente \(-g\) y \(a(t)\) una horizontal en \(-g\). La parábola posición-tiempo no es la trayectoria espacial: el cuerpo se mueve por una recta vertical.
| Representación | Lectura física |
|---|---|
| Pendiente de \(y(t)\) | Velocidad; se anula en la altura máxima. |
| Pendiente de \(v(t)\) | Aceleración constante. |
| Área algebraica bajo \(v(t)\) | Desplazamiento; las áreas de signos opuestos se restan. |
| Suma de áreas en valor absoluto bajo \(v(t)\) | Distancia recorrida. |
| Área algebraica bajo \(a(t)\) | Cambio de velocidad. |
Dos pasos por la misma altura tienen velocidades de igual módulo y signo contrario cuando solo actúa la gravedad constante y no hay impacto entre ambos. Esa simetría no se presupone si se incluye resistencia del aire.
Un tiempo positivo no es automáticamente admisible: puede corresponder a una prolongación matemática posterior al choque con el suelo. En dos móviles, el encuentro debe ocurrir después de ambas salidas y mientras los dos estén en vuelo.
Modelos resueltos: del eje a la comprobación
Los seis primeros trabajan un solo móvil. Los modelos 7–14 amplían el método a datos inversos, encuentros, retardos y gráficas. Conserva cifras de guarda durante las operaciones; los resultados se redondean al final. El vuelo termina en el primer impacto con el suelo: no prolongues las ecuaciones como si el objeto siguiera cayendo.
Base de 4.º ESO: un móvil y un eje
Base de 4.º ESO
Modelo 1. Piedra que se deja caer desde 45 m
Se deja caer una piedra desde una altura de \(45\ \mathrm m\). Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad de impacto. Desprecia la resistencia del aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Datos y eje. \(h=45\ \mathrm m\), \(v_0=0\), \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). Origen en la suelta y sentido positivo hacia abajo. Se buscan el tiempo y la velocidad al llegar al suelo.
La raíz negativa no describe un tiempo transcurrido desde la suelta.
La velocidad positiva apunta hacia abajo, según el eje elegido.
Comprobación. \(v^2=2gh=2\cdot9{,}8\cdot45=882\ \mathrm{m^2/s^2}\). Su raíz positiva coincide con la rapidez calculada. El producto \(gt\) tiene unidades de \(\mathrm{m/s}\).
Base de 4.º ESO
Modelo 2. Pelota lanzada hacia abajo desde 60 m
Desde la azotea de un edificio de \(60\ \mathrm m\) se lanza una pelota verticalmente hacia abajo con velocidad inicial de \(5{,}0\ \mathrm{m/s}\). Calcula el tiempo de caída y la velocidad con la que llega al suelo. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Datos y eje. \(h=60\ \mathrm m\), \(v_0=+5{,}0\ \mathrm{m/s}\), \(a=+9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). Origen en la azotea y sentido positivo hacia abajo.
Se acepta \(t_+\), porque el movimiento comienza en \(t=0\).
Llega al suelo hacia abajo. Se ha conservado \(t_+\) sin redondear al calcular la velocidad.
Revisión. \(v^2=v_0^2+2gh=25+1176=1201\ \mathrm{m^2/s^2}\), igual que en el resultado anterior.
Base de 4.º ESO
Modelo 3. Lanzamiento desde el suelo a 19,6 m/s
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con velocidad inicial de \(19{,}6\ \mathrm{m/s}\). Calcula el tiempo de subida, la altura máxima, el tiempo total de vuelo y la velocidad al regresar al punto de lanzamiento. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Modelo y datos. Suelo \(y=0\), eje hacia arriba, \(v_0=+19{,}6\ \mathrm{m/s}\) y \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
En el punto más alto se anula la velocidad, pero la aceleración continúa dirigida hacia abajo.
\(t=0\) es el lanzamiento; la segunda raíz es el regreso. La rapidez de regreso coincide con la inicial y el signo negativo indica bajada.
Comprobación. \(t_{\mathrm{vuelo}}=2t_{\mathrm s}\), porque ambas posiciones están a la misma altura. También \(v_0^2/(2g)=19{,}6\ \mathrm m\).
Base de 4.º ESO
Modelo 4. Pelota lanzada hacia arriba desde un balcón
Desde un balcón situado a \(25\ \mathrm m\) del suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de \(14\ \mathrm{m/s}\). Calcula la altura máxima sobre el suelo, el tiempo hasta llegar al suelo y la velocidad de impacto. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Datos y referencia. Suelo \(y=0\), eje hacia arriba, \(y_0=25\ \mathrm m\), \(v_0=+14\ \mathrm{m/s}\) y \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
La altura máxima sobre el suelo incluye los \(25\ \mathrm m\) del balcón. Para el impacto se impone \(y=0\).
Solo \(t_+\) pertenece al vuelo descrito; el impacto es hacia abajo.
Comprobación. \(v_{\mathrm f}^2=14^2+2(-9{,}8)(0-25)=686\ \mathrm{m^2/s^2}\). El tiempo de vuelo no es el doble del de subida, porque termina a otra altura.
Base de 4.º ESO
Modelo 5. Paso por la misma altura durante la subida y la bajada
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo con velocidad inicial de \(20\ \mathrm{m/s}\). Calcula en qué instantes pasa por una altura de \(15\ \mathrm m\) y qué velocidad lleva en cada paso. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Datos y eje. \(y_0=0\), \(v_0=+20\ \mathrm{m/s}\), \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\), positivo hacia arriba. Se busca el paso por \(y=15\ \mathrm m\).
Las dos raíces positivas se conservan: la altura está por debajo del máximo y se alcanza al subir y al bajar.
Comprobación. \(v^2=20^2-2\cdot9{,}8\cdot15=106\ \mathrm{m^2/s^2}\). Se obtiene la misma rapidez en ambos pasos; el signo distingue el sentido.
Base de 4.º ESO
Modelo 6. Velocidad inicial y altura de un edificio
Desde lo alto de un edificio se lanza una pelota verticalmente hacia abajo. Tarda \(4{,}0\ \mathrm s\) en llegar al suelo y lo hace con velocidad de \(50\ \mathrm{m/s}\) hacia abajo. Calcula la velocidad inicial y la altura del edificio. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Datos y eje. \(t=4{,}0\ \mathrm s\), \(v=+50\ \mathrm{m/s}\), \(a=+9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). Origen en el lanzamiento y sentido positivo hacia abajo. Las incógnitas son \(v_0\) y \(h\).
El signo de \(v_0\) confirma que la pelota fue lanzada hacia abajo.
Revisión independiente. Al ser la aceleración constante, \(h=(v_0+v)t/2=(10{,}8+50)\cdot4/2=121{,}6\ \mathrm m\). Velocidad media por tiempo da una longitud, como exige el problema.
Ampliación: problemas inversos, encuentros y retardos
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Modelo 7. Una pelota cae y otra se lanza desde el suelo
Desde una altura de \(80\ \mathrm m\) se deja caer una pelota. En el mismo instante se lanza otra verticalmente hacia arriba desde el suelo con velocidad inicial de \(30\ \mathrm{m/s}\). Calcula cuándo y a qué altura se encuentran. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Un solo eje y reloj. Suelo \(y=0\), sentido positivo hacia arriba. A se suelta desde \(80\ \mathrm m\); B sale simultáneamente del suelo a \(+30\ \mathrm{m/s}\). Ambas tienen \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Los términos gravitatorios se cancelan al igualar las posiciones porque las aceleraciones son iguales. El tiempo exacto se conserva al calcular la altura.
Validez física. A llegaría al suelo a los \(4{,}04\ \mathrm s\) y B regresaría a los \(6{,}12\ \mathrm s\). El encuentro ocurre antes de ambos impactos. Al sustituir \(t_{\mathrm e}=80/30\) en las dos ecuaciones se obtiene la misma altura.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Modelo 8. Segunda pelota lanzada un segundo después
Desde una azotea de \(45\ \mathrm m\) se deja caer una pelota. Un segundo después se lanza desde el suelo otra pelota verticalmente hacia arriba a \(20\ \mathrm{m/s}\). Calcula cuándo se encuentran, medido desde que se suelta la primera, y a qué altura. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Eje y tiempo. Suelo \(y=0\), positivo hacia arriba. A sale en \(t=0\) desde \(45\ \mathrm m\), con \(v_{A0}=0\). B sale del suelo en \(t=1\ \mathrm s\) a \(+20\ \mathrm{m/s}\). Ambas tienen \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
El reloj se inicia al soltar A. Para B han transcurrido \(t-1\) segundos, de modo que su ecuación solo se utiliza para \(t\ge1\ \mathrm s\).
El encuentro se mide desde la suelta de A; el segundo tiempo es el vuelo de B. Para hallar la altura se conserva el cociente exacto de \(t_{\mathrm e}\).
Comprobación. \(1\ \mathrm s<t_{\mathrm e}<3{,}03\ \mathrm s\), instante en que A tocaría el suelo; B no regresa hasta \(t=5{,}08\ \mathrm s\). Las dos posiciones coinciden por encima del suelo.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Modelo 9. Velocidad inicial conocida la velocidad a 30 m
Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo lleva todavía una velocidad de \(5{,}0\ \mathrm{m/s}\) hacia arriba cuando se encuentra a \(30\ \mathrm m\). Calcula la velocidad inicial, el tiempo empleado en alcanzar esa posición durante la subida y la altura máxima. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Eje hacia arriba y origen en el suelo. \(y=30\ \mathrm m\), \(v=+5{,}0\ \mathrm{m/s}\), \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). El sentido de lanzamiento exige \(v_0>0\).
Sin conocer el tiempo, relacionamos primero las velocidades con el desplazamiento.
Revisión. En ese instante todavía asciende. Le quedan \(5^2/(2g)\approx1{,}28\ \mathrm m\) hasta la cima, y \(30+1{,}28\approx31{,}3\ \mathrm m\).
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Modelo 10. Lanzamiento desde 12 m con vuelo de 6,5 s
Desde una plataforma situada a \(12\ \mathrm m\) del suelo se lanza una pelota verticalmente hacia arriba. La pelota tarda \(6{,}50\ \mathrm s\) en llegar al suelo. Calcula la velocidad inicial, la altura máxima y la velocidad de impacto. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Con el suelo como origen y el eje hacia arriba, \(y_0=12\ \mathrm m\), \(t_{\mathrm f}=6{,}50\ \mathrm s\) y \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
El valor interno es \(v_0=30{,}003846\ldots\ \mathrm{m/s}\). Se conserva para los cálculos siguientes.
La altura máxima se mide sobre el suelo y la velocidad de impacto apunta hacia abajo.
Comprobación. \(v_{\mathrm f}^2=v_0^2+2(-9{,}8)(-12)=v_0^2+235{,}2\ \mathrm{m^2/s^2}\), coherente con una rapidez final mayor.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Modelo 11. Dos instantes con rapidez de 12 m/s
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con velocidad inicial de \(24\ \mathrm{m/s}\). Determina los dos instantes en los que su rapidez es \(12\ \mathrm{m/s}\) y la altura a la que se encuentra en ambos casos. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Eje hacia arriba, origen en el suelo, \(v_0=+24\ \mathrm{m/s}\), \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). Rapidez \(12\ \mathrm{m/s}\) permite dos velocidades: \(+12\) al subir y \(-12\) al bajar.
La misma altura corresponde a ambos sentidos. Elevar \(v\) al cuadrado conserva la rapidez, pero no informa del sentido.
Revisión. Los instantes son simétricos respecto a la cima: \((t_1+t_2)/2=24/9{,}8\). Al sustituirlos en \(y(t)=24t-4{,}9t^2\) se obtiene la altura común.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Modelo 12. Movimiento descrito por \(v(t)=18-9{,}8t\)
La velocidad de una pelota viene dada por \(v(t)=18-9{,}8t\), con unidades del Sistema Internacional. La pelota parte del suelo. Calcula la velocidad y la posición a los \(3{,}0\ \mathrm s\), el instante en que alcanza la altura máxima y dicha altura. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Las magnitudes están en SI. Suelo \(y_0=0\) y eje hacia arriba. De \(v(t)=18-9{,}8t\) se identifican \(v_0=18\ \mathrm{m/s}\) y \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
A los \(3{,}0\ \mathrm s\) está por encima del suelo y ya desciende. El vuelo termina en \(t=36/9{,}8\approx3{,}67\ \mathrm s\), por lo que ese instante pertenece al movimiento.
Comprobación gráfica. La pendiente de \(v(t)\) es \(-g\). El área algebraica bajo la recta entre \(0\) y \(3\ \mathrm s\) da el desplazamiento:
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Modelo 13. Velocidad inicial conocida la altura y el impacto
Desde una altura de \(70\ \mathrm m\) se lanza una piedra verticalmente hacia abajo. Llega al suelo con rapidez de \(40\ \mathrm{m/s}\). Calcula la velocidad inicial y el tiempo de caída. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
El origen está en el lanzamiento y el eje apunta hacia abajo. \(\Delta y=+70\ \mathrm m\), \(v=+40\ \mathrm{m/s}\), \(a=+9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
La raíz positiva corresponde al lanzamiento hacia abajo indicado en el enunciado.
Comprobación. Con los valores sin redondear, \(v_0t+4{,}9t^2=70\ \mathrm m\). Además \(v_0<40\ \mathrm{m/s}\), pues la gravedad aumenta la rapidez en la bajada.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Modelo 14. Dos pelotas lanzadas desde el mismo punto
Desde el suelo se lanza una pelota A verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de \(25\ \mathrm{m/s}\). Dos segundos después se lanza desde el mismo punto una pelota B a \(35\ \mathrm{m/s}\). Calcula cuándo y a qué altura se encuentran, medido el tiempo desde el primer lanzamiento, y determina la velocidad de cada pelota en ese instante. Desprecia el aire y toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Ver solución y comprobación
Un solo reloj, iniciado al lanzar A, y eje hacia arriba con el suelo como origen. \(v_{A0}=25\ \mathrm{m/s}\), \(v_{B0}=35\ \mathrm{m/s}\), retardo \(2\ \mathrm s\) y aceleración \(-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Se conserva \(t_{\mathrm e}=112/37\) en el cálculo de las velocidades. B solo lleva moviéndose \(t_{\mathrm e}-2\) segundos.
A está bajando y B subiendo.
Validez y revisión. \(2\ \mathrm s<t_{\mathrm e}<5{,}10\ \mathrm s\), regreso de A; B regresaría en \(t=9{,}14\ \mathrm s\). El encuentro está en el aire. Al sustituir el tiempo exacto, \(y_A=y_B\); la diferencia de velocidades es \(v_B-v_A=29{,}6\ \mathrm{m/s}\), coherente con la ecuación relativa.
Interpretación física y reto de examen
Estos modelos reúnen dos comprobaciones del resultado y un problema inverso de mayor dificultad. Los retos tipo examen aparecen con un fondo marrón suave.
Base de 4.º ESO
Modelo 15. Recorrido y desplazamiento después de cambiar de sentido
Desde un balcón situado a \(12\ \mathrm m\) del suelo se lanza una pelota hacia arriba a \(20\ \mathrm{m/s}\). Toma \(g=10\ \mathrm{m/s^2}\), desprecia el aire y estudia el instante \(t=3\ \mathrm s\). Calcula la posición, la velocidad, el desplazamiento desde el balcón y la distancia total recorrida.
Ver solución y comprobación
Origen en el suelo y eje positivo hacia arriba: \(y_0=12\ \mathrm m\), \(v_0=+20\ \mathrm{m/s}\), \(a=-10\ \mathrm{m/s^2}\).
Ya ha cambiado de sentido: ha subido del balcón a la cima y ha bajado hasta \(27\ \mathrm m\). El desplazamiento conserva signo; el recorrido suma las longitudes de ambos tramos.
A los \(3\ \mathrm s\) está a \(27\ \mathrm m\) del suelo y baja a \(10\ \mathrm{m/s}\). Se ha desplazado \(15\ \mathrm m\) hacia arriba respecto al balcón, pero ha recorrido \(25\ \mathrm m\).
Comprobación: las áreas bajo \(v(t)\) son \(+20\ \mathrm m\) durante la subida y \(-5\ \mathrm m\) durante la bajada; su suma da \(15\ \mathrm m\), mientras que los módulos suman \(25\ \mathrm m\). El impacto ocurre en \(t=(20+\sqrt{640})/10\approx4{,}53\ \mathrm s\), después del instante estudiado.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Modelo 16. Una igualdad de posiciones que ocurre después del impacto
Desde \(20\ \mathrm m\) de altura se deja caer una pelota A. En ese mismo instante se lanza B desde el suelo hacia arriba a \(5\ \mathrm{m/s}\). Con \(g=10\ \mathrm{m/s^2}\) y sin aire, decide si se encuentran en el aire. El estudio de cada pelota termina en su primer contacto con el suelo; no se consideran rebotes.
Ver solución y comprobación
Usamos el suelo como origen, sentido positivo hacia arriba y un solo reloj.
La igualdad algebraica de posiciones da un candidato:
Ese punto queda por debajo del suelo. Antes de aceptarlo, delimitamos la validez de ambas ecuaciones de vuelo.
En B, \(t_B=0\) es la salida y \(t_B=1\ \mathrm s\) el regreso al suelo. El tramo común de vuelo termina a \(1\ \mathrm s\), antes de \(t=4\ \mathrm s\).
No se encuentran en el aire. La única raíz de la igualdad prolonga matemáticamente las parábolas después de los impactos y no representa el movimiento descrito.
Comprobación: cuando B regresa, \(y_B(1)=0\) y \(y_A(1)=15\ \mathrm m\). La separación sigue siendo positiva en todo el intervalo físico común.
Reto tipo examen · Elaboración propia
Modelo 17. Reconstruir un lanzamiento a partir de dos sensores
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo. El sensor A está a \(10{,}00\ \mathrm m\) y el sensor B a \(16{,}25\ \mathrm m\). Durante la subida, transcurren \(0{,}50\ \mathrm s\) entre el paso por A y el paso por B. Desprecia el aire y toma \(g=10{,}0\ \mathrm{m/s^2}\).
Calcula la velocidad inicial, los cuatro instantes de paso por los sensores, la altura máxima y el tiempo hasta regresar al suelo. Compara el tiempo entre sensores al subir y al bajar. Mide todos los instantes desde el lanzamiento.
Ver solución y comprobación
Referencia. Suelo \(y=0\) y eje positivo hacia arriba. La aceleración es \(a=-10{,}0\ \mathrm{m/s^2}\); se estudia el vuelo anterior al primer regreso al suelo.
Entre sensores. Para hallar la velocidad de paso por A se utiliza el intervalo local de \(0{,}50\ \mathrm s\), no el tiempo desde el lanzamiento.
Cuatro pasos. El lanzamiento hacia arriba exige \(v_0>0\). De \(v=v_0-10t\) se despeja \(t=(v_0-v)/10\). En la bajada, las velocidades por A y B son \(-15\) y \(-10\ \mathrm{m/s}\). Se conserva \(\sqrt{425}\) en todos los cálculos.
| Sensor | Subida | Bajada |
|---|---|---|
| A | \(\frac{\sqrt{425}-15}{10}\approx0{,}562\ \mathrm s\) | \(\frac{\sqrt{425}+15}{10}\approx3{,}562\ \mathrm s\) |
| B | \(\frac{\sqrt{425}-10}{10}\approx1{,}062\ \mathrm s\) | \(\frac{\sqrt{425}+10}{10}\approx3{,}062\ \mathrm s\) |
Los intervalos coinciden: al bajar se recorren las mismas alturas con las mismas rapideces y sentidos opuestos.
Comprobación. Sustituyendo los cuatro tiempos exactos en \(y(t)\) se obtienen \(10{,}00\) y \(16{,}25\ \mathrm m\). Además, \(t_{A\uparrow}+t_{A\downarrow}=t_{B\uparrow}+t_{B\downarrow}=T\): los pasos son simétricos respecto a \(t_{\max}=T/2\), y todos ocurren antes de tocar el suelo.
30 ejercicios de dificultad creciente
Empieza por la base, continúa con la consolidación y pasa después a la ampliación y a los cinco retos tipo examen. Intenta resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Dibuja el eje y comprueba también los tiempos de salida e impacto. Los niveles orientan la práctica; no sustituyen el programa de tu centro.
Base: reconocer el movimiento
Base de 4.º ESO
Práctica 1. Caída desde 20 m
Se deja caer una pelota desde una ventana situada a \(20\ \mathrm m\) del suelo. Calcula el tiempo de caída y la velocidad de impacto.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=20{,}0\ \mathrm{m}\), \(v_0=0\ \mathrm{m/s}\).
La raíz temporal negativa queda fuera del movimiento iniciado en \(t=0\). Tarda \(2{,}02\ \mathrm{s}\) y llega con rapidez \(19{,}8\ \mathrm{m/s}\) hacia abajo.
Comprobación con cifras de guarda: \(y(t_\mathrm{suelo})=0\) y \(v_\mathrm{impacto}^2=v_0^2-2g(0-y_0)=392\ \mathrm{m^2/s^2}\). El signo negativo de la velocidad indica que llega bajando.
Base de 4.º ESO
Práctica 2. Lanzamiento hacia abajo desde 35 m
Desde una terraza de \(35\ \mathrm m\) se lanza una pelota hacia abajo a \(4{,}0\ \mathrm{m/s}\). Calcula el tiempo hasta el suelo y la velocidad final.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=35{,}0\ \mathrm{m}\), \(v_0=-4{,}00\ \mathrm{m/s}\).
Comprobación con cifras de guarda: \(y(t_\mathrm{suelo})=0\) y \(v_\mathrm{impacto}^2=v_0^2-2g(0-y_0)=702\ \mathrm{m^2/s^2}\). El signo negativo de la velocidad indica que llega bajando.
Base de 4.º ESO
Práctica 3. Lanzamiento hacia arriba a 14,7 m/s
Una pelota sale desde el suelo con velocidad inicial de \(14{,}7\ \mathrm{m/s}\). Calcula el tiempo de subida, la altura máxima, el tiempo total y la velocidad al regresar.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=0\ \mathrm{m}\), \(v_0=14{,}7\ \mathrm{m/s}\).
La solución \(t=0\) corresponde a la salida. Al volver a la misma altura, tarda lo mismo en subir que en bajar y recupera la rapidez inicial, con sentido contrario.
Base de 4.º ESO
Práctica 4. Tiempo de caída conocido
Un objeto se deja caer desde el reposo y tarda \(3{,}50\ \mathrm s\) en llegar al suelo. Calcula la altura inicial y la velocidad de impacto.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba; \(v_0=0\), \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\) y \(T=3{,}50\ \mathrm s\).
Comprobación: el desplazamiento es \(-H\). La velocidad media es \((0-34{,}3)/2=-17{,}15\ \mathrm{m/s}\); multiplicada por \(3{,}50\ \mathrm s\), da \(-60{,}025\ \mathrm m\).
Base de 4.º ESO
Práctica 5. Estado del movimiento a los 2 s
Una piedra se deja caer desde una altura de \(100\ \mathrm m\). Calcula su desplazamiento, su altura sobre el suelo y su velocidad después de \(2{,}0\ \mathrm s\). Decide si ya ha llegado al suelo.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=100\ \mathrm{m}\), \(v_0=0\ \mathrm{m/s}\).
Ha descendido \(19{,}6\ \mathrm m\), pero conserva \(80{,}4\ \mathrm m\) de altura. No ha llegado al suelo.
Comprobación: altura inicial más desplazamiento \(=100-19{,}6=80{,}4\ \mathrm m\).
Base de 4.º ESO
Práctica 6. Posición y velocidad en dos instantes
Una pelota se lanza hacia arriba desde el suelo a \(16\ \mathrm{m/s}\). Calcula posición y velocidad a los \(1{,}0\ \mathrm s\) y a los \(2{,}5\ \mathrm s\). Interpreta el signo de cada velocidad.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=0\ \mathrm{m}\), \(v_0=16{,}0\ \mathrm{m/s}\).
A \(1\ \mathrm s\) sube; a \(2{,}5\ \mathrm s\) baja. La cima se alcanza en \(16/9{,}8\approx1{,}63\ \mathrm s\), entre ambos instantes.
El impacto ocurre en \(T=32/9{,}8\approx3{,}27\ \mathrm s\), de modo que ambas posiciones pertenecen al vuelo real.
Consolidación: combinar datos e interpretar
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 7. Caída desde 78,4 m
Una piedra se suelta desde un puente de \(78{,}4\ \mathrm m\). Determina cuánto tarda en llegar al agua, con qué rapidez llega y qué distancia ha recorrido durante el último segundo.
Ver solución y comprobación
Nivel del agua en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=78{,}4\ \mathrm{m}\), \(v_0=0\ \mathrm{m/s}\).
El último segundo es el intervalo de \(t=3\ \mathrm s\) a \(t=4\ \mathrm s\).
Comprobación: en ese segundo la rapidez pasa de \(29{,}4\) a \(39{,}2\ \mathrm{m/s}\). Su valor medio es \(34{,}3\ \mathrm{m/s}\), que en un segundo da \(34{,}3\ \mathrm m\).
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 8. Lanzamiento hacia abajo desde 80 m
Se lanza una piedra verticalmente hacia abajo a \(12\ \mathrm{m/s}\) desde una altura de \(80\ \mathrm m\). Calcula su posición y velocidad a los \(2{,}0\ \mathrm s\) y determina cuánto tiempo tarda en llegar al suelo.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=80{,}0\ \mathrm{m}\), \(v_0=-12{,}0\ \mathrm{m/s}\).
A los \(2\ \mathrm s\) todavía está a \(36{,}4\ \mathrm m\) del suelo y baja. La otra raíz es negativa. Comprobación: \(2<T\), y la ecuación de posición da \(y(T)=0\).
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 9. Lanzamiento hacia arriba a 25 m/s
Desde el suelo se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a \(25\ \mathrm{m/s}\). Calcula su posición y velocidad a los \(1{,}0\ \mathrm s\), \(2{,}0\ \mathrm s\), \(3{,}0\ \mathrm s\) y \(5{,}0\ \mathrm s\). Indica en qué instantes sube y en cuáles baja.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=0\ \mathrm{m}\), \(v_0=25{,}0\ \mathrm{m/s}\).
| \(t\) | \(y\) | \(v\) | Estado |
|---|---|---|---|
| \(1{,}00\ \mathrm{s}\) | \(20{,}1\ \mathrm{m}\) | \(15{,}2\ \mathrm{m/s}\) | Sube |
| \(2{,}00\ \mathrm{s}\) | \(30{,}4\ \mathrm{m}\) | \(5{,}40\ \mathrm{m/s}\) | Sube |
| \(3{,}00\ \mathrm{s}\) | \(30{,}9\ \mathrm{m}\) | \(-4{,}40\ \mathrm{m/s}\) | Baja |
| \(5{,}00\ \mathrm{s}\) | \(2{,}50\ \mathrm{m}\) | \(-24{,}0\ \mathrm{m/s}\) | Baja |
Todos los instantes pedidos son anteriores al impacto. Antes de \(t_\mathrm{máx}\), \(v>0\); después, \(v<0\). A los \(5\ \mathrm s\) todavía está \(2{,}50\ \mathrm m\) por encima del suelo.
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 10. Pelota desde un balcón
Desde un balcón situado a \(18\ \mathrm m\) se lanza una pelota hacia arriba a \(10\ \mathrm{m/s}\). Calcula la altura máxima, el tiempo hasta el suelo y la rapidez de impacto.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=18{,}0\ \mathrm{m}\), \(v_0=10{,}0\ \mathrm{m/s}\).
La altura máxima está medida desde el suelo. La rapidez de impacto es \(21{,}3\ \mathrm{m/s}\).
Comprobación con cifras de guarda: \(y(t_\mathrm{suelo})=0\) y \(v_\mathrm{impacto}^2=v_0^2-2g(0-y_0)=452{,}8\ \mathrm{m^2/s^2}\). El signo negativo de la velocidad indica que llega bajando.
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 11. Piedra lanzada hacia abajo
Desde un edificio de \(40\ \mathrm m\) se lanza una piedra hacia abajo a \(8{,}0\ \mathrm{m/s}\). Calcula el tiempo de vuelo y la distancia recorrida durante el último segundo.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=40{,}0\ \mathrm{m}\), \(v_0=-8{,}00\ \mathrm{m/s}\).
El último segundo empieza en \(T-1\), no en \(t=1\). Como todo el movimiento es descendente, la distancia en ese tramo es la pérdida de altura.
Comprobación mediante rapidez media en ese segundo: \(d=8+9{,}8T-4{,}9\), que da el mismo valor. Se utiliza \(T\) sin redondear.
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 12. Altura máxima conocida
Una pelota lanzada desde el suelo alcanza una altura máxima de \(22\ \mathrm m\). Calcula la velocidad inicial, el tiempo de subida y el tiempo total de vuelo.
Ver solución y comprobación
Eje positivo hacia arriba, salida en \(y_0=0\), \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). En la altura máxima \(y=22\ \mathrm m\) y \(v=0\).
Se toma \(u>0\) porque el lanzamiento es ascendente. Comprobación: \(y(t_\mathrm{subida})=u^2/(2g)=22\ \mathrm m\); el tiempo total se duplica porque vuelve al origen.
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 13. Dos pasos por 10 m
Una pelota se lanza hacia arriba desde el suelo con \(v_0=18\ \mathrm{m/s}\). Calcula los instantes en los que pasa por \(10\ \mathrm m\) y su velocidad en cada uno.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=0\ \mathrm{m}\), \(v_0=18{,}0\ \mathrm{m/s}\).
Los dos tiempos son positivos y anteriores al regreso al suelo. El primero corresponde a la subida y el segundo a la bajada.
La comprobación da igual rapidez y sentidos opuestos en los dos pasos.
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 14. Lanzamiento desde 30 m
Desde una azotea de \(30\ \mathrm m\) se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a \(12\ \mathrm{m/s}\). Calcula cuánto tarda en pasar de nuevo por la azotea, cuánto tarda en llegar al suelo y con qué velocidad impacta.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=30{,}0\ \mathrm{m}\), \(v_0=12{,}0\ \mathrm{m/s}\).
Se excluye \(t=0\), que es el lanzamiento; se pide el paso posterior.
Comprobación: \(v(t_\mathrm{azotea})=-12\ \mathrm{m/s}\), igual rapidez que al salir. Además, \(v(T)^2=12^2+2\cdot9{,}8\cdot30=732\ \mathrm{m^2/s^2}\).
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 15. Piedra que cae durante 4,2 s
Una piedra se deja caer desde una torre y tarda \(4{,}20\ \mathrm s\) en llegar al suelo. Calcula la altura de la torre, la velocidad de impacto y la distancia recorrida durante los dos últimos segundos.
Ver solución y comprobación
Eje positivo hacia arriba y suelo en \(y=0\). Se suelta desde el reposo y \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Los dos últimos segundos van de \(2{,}20\) a \(4{,}20\ \mathrm s\).
Comprobación: la rapidez media de ese tramo es \((21{,}56+41{,}16)/2=31{,}36\ \mathrm{m/s}\). En \(2\ \mathrm s\) recorre \(62{,}72\ \mathrm m\).
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 16. Datos de impacto
Una pelota se lanza verticalmente hacia abajo desde un edificio. Tarda \(5{,}0\ \mathrm s\) en llegar al suelo y lo hace a \(55\ \mathrm{m/s}\). Calcula la velocidad inicial y la altura del edificio.
Ver solución y comprobación
Eje positivo hacia arriba, suelo en \(y=0\). El impacto es \(v_f=-55\ \mathrm{m/s}\), el vuelo dura \(5{,}0\ \mathrm s\) y \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
La velocidad inicial es \(6{,}00\ \mathrm{m/s}\) hacia abajo. Comprobación: \(v_f^2=v_0^2+2gH=36+2989=3025\ \mathrm{m^2/s^2}=55^2\ \mathrm{m^2/s^2}\).
Consolidación de 4.º ESO
Práctica 17. Construcción de gráficas
Una pelota se lanza desde el suelo a \(22\ \mathrm{m/s}\). Utiliza \(g=10\ \mathrm{m/s^2}\). Obtén las ecuaciones \(y(t)\), \(v(t)\) y \(a(t)\), calcula el tiempo total y representa cualitativamente las tres gráficas indicando sus puntos más importantes.
Ver solución y comprobación
Eje positivo hacia arriba, salida en \(y_0=0\) y \(g=10\ \mathrm{m/s^2}\), tal como pide el enunciado.
| \(t\) en s | \(y\) en m | \(v\) en m/s | \(a\) en m/s² |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 22 | −10 |
| 2,20 | 24,2 | 0 | −10 |
| 4,40 | 0 | −22 | −10 |
\(y(t)\) es una parábola cóncava hacia abajo, con vértice \((2{,}20\ \mathrm s,24{,}2\ \mathrm m)\). \(v(t)\) es una recta decreciente que cruza cero en la cima; \(a(t)\) es horizontal y negativa. Se representan solo entre \(0\) y \(4{,}40\ \mathrm s\).
Comprobación gráfica: las áreas positiva y negativa bajo \(v(t)\) son \(+24{,}2\) y \(-24{,}2\ \mathrm m\); el desplazamiento total es cero.
Ampliación: problemas inversos y encuentros
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Práctica 18. Encuentro entre dos pelotas
Se deja caer una pelota desde \(60\ \mathrm m\) y simultáneamente se lanza otra desde el suelo hacia arriba a \(25\ \mathrm{m/s}\). Determina cuándo y dónde se encuentran. Calcula la velocidad de ambas en ese instante.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba. Ambas pelotas tienen \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\) y comparten reloj.
A baja y B todavía sube. Sustituir \(t_e\) en las dos posiciones da la misma altura positiva. A aún no ha tocado suelo: \(t_e<\sqrt{60/4{,}9}\approx3{,}50\ \mathrm s\).
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Práctica 19. Velocidad a una altura determinada
Una pelota se lanza desde el suelo a \(25\ \mathrm{m/s}\). Calcula su velocidad cuando se encuentra a \(18\ \mathrm m\), tanto durante la subida como durante la bajada, y determina los instantes correspondientes.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=0\ \mathrm{m}\), \(v_0=25{,}0\ \mathrm{m/s}\).
Comprobación: los dos tiempos satisfacen \(18=25t-4{,}9t^2\). La cima está a \(625/19{,}6\approx31{,}9\ \mathrm m\), por encima de \(18\ \mathrm m\), y ambos pasos son posibles.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Práctica 20. Problema inverso en la subida
A \(40\ \mathrm m\) sobre el punto de lanzamiento, una pelota todavía sube a \(10\ \mathrm{m/s}\). Calcula la velocidad inicial, el tiempo empleado en llegar a esa altura y la altura máxima.
Ver solución y comprobación
Origen en el punto de lanzamiento y eje positivo hacia arriba. En el paso dado, \(y=40\ \mathrm m\), \(v=+10\ \mathrm{m/s}\) y \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Comprobación: desde ese punto todavía sube \(10^2/(2g)\approx5{,}10\ \mathrm m\). Sumado a \(40\ \mathrm m\), coincide con la altura máxima calculada.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Práctica 21. Tiempo total desde una plataforma
Desde una plataforma situada a \(20\ \mathrm m\) se lanza una pelota hacia arriba. Tarda exactamente \(5{,}00\ \mathrm s\) en llegar al suelo. Calcula \(v_0\), la altura máxima sobre el suelo y la velocidad de impacto.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba; \(y_0=20\ \mathrm m\), \(T=5{,}00\ \mathrm s\) y \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Comprobación: \(v_f^2=20{,}5^2+2\cdot9{,}8\cdot20=812{,}25\ \mathrm{m^2/s^2}=28{,}5^2\ \mathrm{m^2/s^2}\). La altura máxima se mide desde el suelo.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Práctica 22. Impacto desde 100 m
Desde una altura de \(100\ \mathrm m\) se lanza un objeto verticalmente hacia abajo y llega al suelo a \(50\ \mathrm{m/s}\). Calcula la velocidad inicial y el tiempo de vuelo mediante dos procedimientos diferentes.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\) y eje positivo hacia arriba. \(y_0=100\ \mathrm m\), \(v_f=-50\ \mathrm{m/s}\), \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). El lanzamiento hacia abajo obliga a \(v_0<0\).
Primer procedimiento: ecuación sin tiempo y después velocidad.
Segundo procedimiento: eliminar la velocidad inicial.
La raíz menor da \(T\approx2{,}73\ \mathrm{s}\) y \(v_0<0\), como exige el enunciado. La mayor, \(T\approx7{,}47\ \mathrm{s}\), exigiría \(v_0>0\): correspondería a un lanzamiento hacia arriba y se descarta por ese motivo, aunque su tiempo sea positivo.
Comprobación: con la raíz elegida, ambas ecuaciones dan \(y(T)=0\) y \(v(T)=-50\ \mathrm{m/s}\).
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Práctica 23. Una altura conocida en un instante
Una pelota lanzada desde el suelo se encuentra a \(20\ \mathrm m\) cuando han transcurrido \(1{,}20\ \mathrm s\). Calcula la velocidad inicial, el otro instante en el que pasa por \(20\ \mathrm m\), la velocidad en ambos pasos y la altura máxima.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=0\) y \(y(1{,}20\ \mathrm s)=20\ \mathrm m\). La velocidad inicial es desconocida.
La velocidad inicial se obtiene del dato, antes de usar su valor en las demás preguntas.
El dato de \(1{,}20\ \mathrm s\) corresponde a la subida y el segundo paso a la bajada. Comprobación: los tiempos están a igual distancia de \(u/g\), y las velocidades son opuestas.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Práctica 24. Lanzamiento desde 50 m
Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde \(50\ \mathrm m\) y tarda \(6{,}00\ \mathrm s\) en llegar al suelo. Calcula la velocidad inicial, la altura máxima y el instante en el que vuelve a pasar por el punto de lanzamiento.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba; \(y_0=50\ \mathrm m\), \(T=6{,}00\ \mathrm s\), \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
Se escoge el regreso posterior a \(t=0\). Comprobación: \(t_\mathrm{regreso}<6\ \mathrm s\), \(y(t_\mathrm{regreso})=50\ \mathrm m\) y \(v(t_\mathrm{regreso})=-u\).
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato
Práctica 25. Movimiento dado mediante una recta v-t
La gráfica velocidad-tiempo de una pelota es una recta que parte de \(v_0=23{,}5\ \mathrm{m/s}\) y tiene pendiente \(-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). La posición inicial es \(y_0=15\ \mathrm m\). Obtén \(v(t)\) e \(y(t)\), la altura máxima, el tiempo hasta el suelo y la velocidad de impacto.
Ver solución y comprobación
Eje positivo hacia arriba. La ordenada inicial de la recta es \(v_0=23{,}5\ \mathrm{m/s}\), su pendiente es \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\) y \(y_0=15\ \mathrm m\).
Se descarta la otra raíz, negativa. Comprobación gráfica: el área algebraica bajo \(v(t)\) hasta el impacto es \(\tfrac12[v_0+v(T)]T=-15\ \mathrm m\), el desplazamiento hasta el suelo.
Retos tipo examen: justificar cada decisión
Reto tipo examen · Elaboración propia
Práctica 26. Dos lanzamientos separados 1,5 s
Desde el suelo se lanza una pelota A hacia arriba a \(22\ \mathrm{m/s}\). \(1{,}50\ \mathrm s\) después se lanza B desde el mismo punto a \(30\ \mathrm{m/s}\). Determina si se encuentran en el aire y, en caso afirmativo, calcula el instante, la altura y las velocidades.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba; \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). El reloj empieza al salir A; B lleva \(t-1{,}50\) segundos de vuelo, por lo que su ecuación solo vale para \(t\ge1{,}50\ \mathrm s\).
El encuentro está en el aire: \(t_e>1{,}50\ \mathrm s\), \(y_e>0\), \(t_e<44/9{,}8\) y \(t_e-1{,}50<60/9{,}8\). Sustituir en ambas posiciones da la misma altura. A baja y B sube.
Reto tipo examen · Elaboración propia
Práctica 27. Persecución vertical hacia abajo
Desde una torre se deja caer una pelota A. Un segundo después se lanza desde el mismo punto una pelota B hacia abajo a \(15\ \mathrm{m/s}\). Calcula cuándo alcanza B a A, qué distancia han descendido y la velocidad de cada una. Comprueba que la torre debe tener altura suficiente.
Ver solución y comprobación
Origen en la torre, eje positivo hacia arriba y \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). El reloj comienza al soltar A. Para B, \(t\ge1\ \mathrm s\).
Ambas bajan y B es más rápida. Para que el alcance ocurra antes de tocar suelo, la altura de la torre debe cumplir \(H>d\), con \(d=4{,}9(10{,}1/5{,}2)^2\ \mathrm m\approx18{,}5\ \mathrm m\); si \(H=d\), coincidirían justo al llegar al suelo.
Comprobación con cifras de guarda: \(y_A(t_e)=y_B(t_e)=-d\) y el tiempo propio de B es \(t_e-1>0\).
Reto tipo examen · Elaboración propia
Práctica 28. Encuentro con salida retardada
Desde \(90\ \mathrm m\) se deja caer una pelota. \(0{,}80\ \mathrm s\) después se lanza otra desde el suelo hacia arriba a \(32\ \mathrm{m/s}\). Calcula el instante y la altura del encuentro, usando como origen temporal la salida de la primera.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba; \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). El reloj empieza al soltar A y la ecuación de B solo vale desde \(t=0{,}80\ \mathrm s\).
Comprobación: \(t_e>0{,}80\ \mathrm s\), \(y_e>0\) y al sustituir \(t_e-0{,}80\) en la posición de B se obtiene la misma altura. Además \(t_e<\sqrt{90/4{,}9}\approx4{,}29\ \mathrm s\), anterior al impacto de A.
Reto tipo examen · Elaboración propia
Práctica 29. Paso por una ventana
Una piedra que cae desde el reposo tarda \(0{,}080\ \mathrm s\) en atravesar una ventana de \(2{,}00\ \mathrm m\) de altura. Calcula la velocidad al llegar al borde superior de la ventana, el tiempo transcurrido desde que se soltó y la distancia entre el punto de suelta y el borde superior.
Ver solución y comprobación
Eje positivo hacia abajo y origen en la suelta. La piedra parte del reposo y \(a=+9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\). Sea \(u>0\) la velocidad al llegar al borde superior de la ventana.
Comprobación: la velocidad en el borde inferior es \(u+g\Delta t=25{,}392\ \mathrm{m/s}\). La velocidad media en la ventana vale \(25{,}0\ \mathrm{m/s}\), y \(25{,}0\cdot0{,}080=2{,}00\ \mathrm m\).
Reto tipo examen · Elaboración propia
Práctica 30. Problema integrador de simetría
Una pelota lanzada hacia arriba pasa por un punto situado \(20\ \mathrm m\) por encima del lanzamiento con rapidez de \(8{,}0\ \mathrm{m/s}\). Calcula la velocidad inicial, los dos instantes de paso, la altura máxima, el tiempo total de vuelo si regresa al origen y explica la relación entre las velocidades de ambos pasos.
Ver solución y comprobación
Origen en el punto de lanzamiento y eje positivo hacia arriba. En \(y=20\ \mathrm m\), la rapidez es \(8{,}0\ \mathrm{m/s}\), de modo que hay dos velocidades posibles: \(+8{,}0\) y \(-8{,}0\ \mathrm{m/s}\).
En la subida \(v=+8{,}0\ \mathrm{m/s}\); en la bajada \(v=-8{,}0\ \mathrm{m/s}\). La misma altura impone igual rapidez, no igual velocidad.
Comprobación: \(t_1+t_2=T\) y \(y(t_1)=y(t_2)=20\ \mathrm m\). Los dos tiempos quedan dentro del vuelo.
Simulacro de caída libre y lanzamiento vertical
Modelo propio de práctica, sin atribución a una convocatoria oficial. Tiempo orientativo: 60 minutos. Calculadora científica. Puntuación total: 10 puntos. Se valora el planteamiento y el eje, las ecuaciones, el cálculo y la interpretación de signos y unidades.
Base de 4.º ESO · 1,5 puntos
Simulacro 1. Caída desde 52 m
Se deja caer una piedra desde \(52\ \mathrm m\). Calcula tiempo y velocidad de impacto. Representa el eje utilizado.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=52{,}0\ \mathrm{m}\), \(v_0=0\ \mathrm{m/s}\).
El tiempo negativo no pertenece al movimiento. La piedra tarda \(3{,}26\ \mathrm{s}\) y llega hacia abajo, con rapidez \(31{,}9\ \mathrm{m/s}\).
Comprobación con cifras de guarda: \(y(t_\mathrm{suelo})=0\) y \(v_\mathrm{impacto}^2=v_0^2-2g(0-y_0)=1019{,}2\ \mathrm{m^2/s^2}\). El signo negativo de la velocidad indica que llega bajando.
Base de 4.º ESO · 1,5 puntos
Simulacro 2. Lanzamiento desde el suelo
Una pelota se lanza hacia arriba desde el suelo a \(21\ \mathrm{m/s}\). Calcula altura máxima, tiempo total y velocidad de regreso.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=0\ \mathrm{m}\), \(v_0=21{,}0\ \mathrm{m/s}\).
Comprobación: el vuelo empieza y termina en la misma altura; por eso \(T=2t_\mathrm{máx}\), y la rapidez de regreso coincide con la de salida.
Base de 4.º ESO · 2 puntos
Simulacro 3. Vuelo desde un balcón
Desde un balcón de \(24\ \mathrm m\) se lanza una pelota hacia arriba a \(11\ \mathrm{m/s}\). Calcula el tiempo hasta el suelo y la velocidad de impacto.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y \(a=-9{,}80\ \mathrm{m/s^2}\). Datos: \(y_0=24{,}0\ \mathrm{m}\), \(v_0=11{,}0\ \mathrm{m/s}\).
Se descarta la raíz negativa. Comprobación independiente: \(v(T)=-\sqrt{11^2+2\cdot9{,}8\cdot24}=-\sqrt{591{,}4}\ \mathrm{m/s}\); coincide con la velocidad calculada.
Base de 4.º ESO · 2 puntos
Simulacro 4. Dos pasos por una altura
Una pelota lanzada hacia arriba desde el suelo pasa por \(16\ \mathrm m\) a los \(1{,}0\ \mathrm s\). Calcula la velocidad inicial, el segundo instante de paso y la velocidad en ambos instantes.
Ver solución y comprobación
Salida en \(y_0=0\), eje positivo hacia arriba y \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
El primer paso es ascendente y el segundo descendente. Comprobación: \(11{,}1^2=20{,}9^2-2\cdot9{,}8\cdot16\); además, ambas raíces de la posición son positivas.
Ampliación hacia 1.º de Bachillerato · 2 puntos
Simulacro 5. Encuentro simultáneo
Desde \(75\ \mathrm m\) se deja caer A y, simultáneamente, se lanza B desde el suelo a \(28\ \mathrm{m/s}\). Calcula el encuentro y las velocidades.
Ver solución y comprobación
Suelo en \(y=0\), eje positivo hacia arriba y reloj común. A se suelta desde \(75\ \mathrm m\); B sale del suelo a \(28\ \mathrm{m/s}\). En ambas, \(a=-9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\).
A baja y B sube. Las posiciones coinciden a una altura positiva, y \(t_e<\sqrt{75/4{,}9}\approx3{,}91\ \mathrm s\), antes de que A llegue al suelo.
Base de 4.º ESO · 1 punto
Simulacro 6. Velocidad y aceleración en la cima
Explica por qué en el punto más alto \(v=0\) pero \(a\neq0\). Dibuja cualitativamente \(v(t)\) y \(a(t)\).
Ver solución y comprobación
En un lanzamiento vertical ideal, después de soltar el objeto la aceleración es la gravedad. Con eje positivo hacia arriba:
La velocidad pasa de positiva a negativa: en el instante intermedio es cero. La aceleración mide cómo cambia esa velocidad y mantiene el mismo valor antes, durante y después de la cima.
La gráfica \(v(t)\) es una recta de pendiente \(-g\) que cruza el eje del tiempo en \(t_\mathrm{máx}\). La gráfica \(a(t)\) es una línea horizontal bajo cero; no tiene un salto ni se anula en la cima.
Comprobación dimensional: la pendiente de \(v(t)\) tiene unidades \((\mathrm{m/s})/\mathrm s=\mathrm{m/s^2}\), las de una aceleración.
Ejemplo para ilustrar la respuesta: lanzamiento desde el suelo a \(20\ \mathrm{m/s}\), con \(g=10\ \mathrm{m/s^2}\). El vuelo dura \(4\ \mathrm s\) y la cima se alcanza a los \(2\ \mathrm s\).
Errores que conviene revisar
- La gravedad no cambia de signo al empezar la bajada. El signo depende del eje elegido.
- En la altura máxima se anula la velocidad, no la aceleración.
- La altura sobre el suelo, el desplazamiento y el recorrido no son la misma magnitud.
- El doble del tiempo de subida solo da el vuelo total cuando se regresa a la altura de lanzamiento.
- Dos raíces positivas pueden ser dos pasos por una altura. Cada una debe pertenecer al movimiento descrito.
- En una salida retardada, el segundo móvil lleva un tiempo de movimiento \(t-\tau\), con \(t\ge\tau\).
- Igualar posiciones no basta: el encuentro debe ocurrir antes de que termine el vuelo de cualquiera de los cuerpos.
- Usa metros, segundos, \(\mathrm{m/s}\) y \(\mathrm{m/s^2}\), sin mezclar unidades ni redondear antes de tiempo.
Comprobación dimensional: \(at\) tiene unidades de velocidad, mientras que \(v_0t\) y \(at^2/2\) tienen unidades de longitud. Antes de entregar, sustituye el tiempo en otra ecuación y responde con unidad y sentido cuando corresponda.
Seguimiento de la práctica
Anota el ejercicio y el paso que has corregido. Repítelo después sin consultar la solución.
| Ejercicio | Primer intento | Corrección | Segundo intento | Error a evitar |
|---|---|---|---|---|
| ________ | ________ | ________ | ________ | ________ |
| ________ | ________ | ________ | ________ | ________ |
| ________ | ________ | ________ | ________ | ________ |
Preguntas frecuentes
¿Qué valor de la gravedad utilizo?
Respeta el valor del enunciado. Aquí se toma \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\), salvo que se indique \(10\ \mathrm{m/s^2}\) u otro valor. La aceleración apunta hacia abajo.
¿Los objetos pesados caen más deprisa?
Al soltarlos desde la misma altura y a la vez, caen con la misma aceleración si se desprecia el aire. En presencia de aire también intervienen la forma y otras características del objeto.
¿Por qué puede ser negativa una velocidad?
Porque el móvil se desplaza en sentido contrario al eje positivo. Su rapidez es \(|v|\) y no es negativa.
¿Por qué la aceleración no se anula arriba?
La gravedad sigue actuando en el punto más alto. En un lanzamiento hacia arriba se cumple \(v=0\) en ese instante, pero \(a=-g\) si el eje positivo apunta hacia arriba.
¿Siempre aparecen dos tiempos al pasar por una altura?
No. Para un lanzamiento ascendente hay dos pasos posteriores si la altura está entre la inicial y la máxima, y ambos pertenecen al vuelo. En la altura máxima hay un solo instante; por debajo de la altura inicial solo hay un paso posterior.
¿Cuándo coinciden el tiempo de subida y el de bajada?
Cuando se comparan dos pasos por la misma altura y se desprecia el aire. Desde un balcón hasta el suelo las alturas inicial y final son distintas.
¿Una igualdad de posiciones demuestra un encuentro?
Hay que comprobar también el tiempo de salida de cada cuerpo y que ambos sigan en el tramo de movimiento descrito. Un cruce de las parábolas después del impacto no es un encuentro en el aire.
Para continuar el estudio
Este monográfico resuelve el movimiento vertical bajo gravedad constante. Los tiros en dos dimensiones, el movimiento circular y el estudio general de la cinemática se trabajan en su recurso de Bachillerato.
Cómo organizar datos, despejar una relación y comprobar la dimensión antes de sustituir.
Cómo leer ejes, escalas, pendiente y área con unidades cuando la herramienta gráfica bloquea la interpretación del movimiento.
Para ampliar el estudio a MRU, MRUA, tiros y movimiento circular.