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Ejercicios resueltos de Matemáticas 4 ESO primera evaluación radicales logaritmos ecuaciones e inecuaciones
Marlu Educativa · Matemáticas B · 4.º de ESO
Radicales, logaritmos y ecuaciones en 4.º ESO
Cuaderno de Matemáticas B para la primera evaluación, con inecuaciones y sistemas no lineales explicados paso a paso. Cada procedimiento se desarrolla y se comprueba; el orden puede cambiar de un centro a otro.
Autor: José María · Marlu Educativa · Revisión académica y editorial: 15 de agosto de 2026.
Cómo aprovechar el cuaderno
Lee primero la idea breve de cada bloque y tapa la solución cuando intentes un ejercicio. Si te atascas, descubre solo el siguiente paso y vuelve a continuar por tu cuenta. Así el desarrollo sirve de apoyo sin convertir la práctica en una lectura pasiva.
En este nivel suelen decidir el resultado tres controles sencillos: cuidar los signos, fijar el dominio antes de operar y comprobar al final las soluciones que puedan ser extrañas.
Lo que vas a trabajar
| Contenido | Qué hay que dominar | Error habitual |
|---|---|---|
| Radicales | Simplificar raíces, extraer factores, operar radicales semejantes | Sumar raíces no semejantes como si fueran términos semejantes |
| Racionalización | Eliminar raíces del denominador usando el factor adecuado | Multiplicar solo el denominador y no toda la fracción |
| Logaritmos | Pasar de forma logarítmica a forma exponencial y aplicar propiedades | Olvidar que el argumento del logaritmo debe ser positivo |
| Ecuaciones | Resolver exponenciales, logarítmicas, racionales, biacuadradas y polinómicas | No comprobar soluciones extrañas |
| Inecuaciones | Estudiar signos por intervalos | Cambiar mal el sentido de la desigualdad o dividir sin analizar signos |
| Sistemas no lineales | Sustituir, factorizar y comprobar pares de soluciones | Quedarse solo con una solución cuando hay dos o más |
1. Radicales y operaciones con raíces
Una raíz se simplifica buscando factores que sean potencias perfectas. Por ejemplo, en \(\sqrt{72}\) interesa ver que \(72=36\cdot 2\), porque \(\sqrt{36}=6\). Por tanto:
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2} \]
Ejercicio 1. Simplifica \(\sqrt{50}\)
Buscamos un cuadrado perfecto dentro de 50.
\[ 50=25\cdot 2 \]
Entonces:
\[ \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2} \]
Ejercicio 2. Simplifica \(\sqrt{108}\)
Descomponemos 108 buscando un cuadrado perfecto.
\[ 108=36\cdot 3 \]
Como \(\sqrt{36}=6\), queda:
\[ \sqrt{108}=6\sqrt{3} \]
Ejercicio 3. Simplifica \(\sqrt{192}\)
Conviene elegir el mayor cuadrado perfecto posible.
\[ 192=64\cdot 3 \]
Por tanto:
\[ \sqrt{192}=\sqrt{64\cdot 3}=8\sqrt{3} \]
Ejercicio 4. Opera \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}\)
Todos los radicales son semejantes porque tienen \(\sqrt{2}\).
\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3+5-1)\sqrt{2} \]
\[ (3+5-1)\sqrt{2}=7\sqrt{2} \]
Ejercicio 5. Opera \(\sqrt{75}+2\sqrt{12}-\sqrt{27}\)
Primero simplificamos cada radical.
\[ \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \]
\[ 2\sqrt{12}=2\sqrt{4\cdot 3}=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3} \]
Sustituimos:
\[ 5\sqrt{3}+4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=6\sqrt{3} \]
Ejercicio 6. Opera \(\sqrt{18}+\sqrt{50}-2\sqrt{8}\)
Simplificamos:
\[ \sqrt{18}=3\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{50}=5\sqrt{2} \]
\[ 2\sqrt{8}=2\sqrt{4\cdot 2}=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2} \]
Ahora operamos:
\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=4\sqrt{2} \]
Ejercicio 7. Multiplica \(\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}\)
Multiplicamos los radicandos.
\[ \sqrt{6}\cdot \sqrt{24}=\sqrt{144} \]
\[ \sqrt{144}=12 \]
Ejercicio 8. Multiplica \(2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{12}\)
Multiplicamos coeficientes y radicales.
\[ 2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{12}=10\sqrt{36} \]
\[ 10\sqrt{36}=10\cdot 6=60 \]
Ejercicio 9. Divide \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}\)
Usamos la propiedad del cociente de radicales.
\[ \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36} \]
\[ \sqrt{36}=6 \]
Ejercicio 10. Simplifica \(\sqrt{a^6b^4}\), suponiendo \(a\geq 0\) y \(b\geq 0\)
Como las variables son no negativas, podemos extraer las potencias pares directamente.
\[ \sqrt{a^6b^4}=\sqrt{a^6}\cdot \sqrt{b^4} \]
\[ \sqrt{a^6}=a^3,\qquad \sqrt{b^4}=b^2 \]
Ejercicio 11. Simplifica \(4\sqrt{45}-3\sqrt{20}+2\sqrt{80}\)
Reducimos cada raíz.
\[ 4\sqrt{45}=4\sqrt{9\cdot 5}=12\sqrt{5} \]
\[ 3\sqrt{20}=3\sqrt{4\cdot 5}=6\sqrt{5} \]
\[ 2\sqrt{80}=2\sqrt{16\cdot 5}=8\sqrt{5} \]
Ahora sustituimos con cuidado del signo:
\[ 12\sqrt{5}-6\sqrt{5}+8\sqrt{5}=14\sqrt{5} \]
Ejercicio 12. Simplifica \(\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{250}\)
En raíces cúbicas buscamos cubos perfectos.
\[ 54=27\cdot 2 \]
\[ \sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2} \]
\[ 250=125\cdot 2 \]
\[ \sqrt[3]{250}=5\sqrt[3]{2} \]
Sumamos radicales semejantes:
\[ 3\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}=8\sqrt[3]{2} \]
2. Racionalización de denominadores
Racionalizar consiste en quitar radicales del denominador. En 4.º de ESO suele aparecer de dos formas: con una sola raíz en el denominador o con una suma/resta que requiere usar el conjugado.
Ejercicio 13. Racionaliza \(\frac{5}{\sqrt{3}}\)
Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{3}\).
\[ \frac{5}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Ejercicio 14. Racionaliza \(\frac{7}{2\sqrt{5}}\)
Multiplicamos por \(\sqrt{5}\) arriba y abajo.
\[ \frac{7}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{2\cdot 5} \]
\[ \frac{7\sqrt{5}}{10} \]
Ejercicio 15. Racionaliza \(\frac{3}{\sqrt{6}-2}\)
El conjugado de \(\sqrt{6}-2\) es \(\sqrt{6}+2\).
\[ \frac{3}{\sqrt{6}-2}\cdot \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}+2} \]
El numerador queda:
\[ 3(\sqrt{6}+2)=3\sqrt{6}+6 \]
El denominador es una diferencia de cuadrados:
\[ (\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)=6-4=2 \]
Por tanto:
\[ \frac{3\sqrt{6}+6}{2} \]
Ejercicio 16. Racionaliza \(\frac{4}{3+\sqrt{5}}\)
Usamos el conjugado \(3-\sqrt{5}\).
\[ \frac{4}{3+\sqrt{5}}\cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} \]
Numerador:
\[ 4(3-\sqrt{5})=12-4\sqrt{5} \]
Denominador:
\[ (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5=4 \]
Entonces:
\[ \frac{12-4\sqrt{5}}{4}=3-\sqrt{5} \]
Ejercicio 17. Racionaliza \(\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)
Multiplicamos por el conjugado del denominador, que es \(2+\sqrt{3}\).
\[ \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \]
Numerador:
\[ (2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3} \]
Denominador:
\[ (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1 \]
Ejercicio 18. Racionaliza \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)
El conjugado de \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) es \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\).
\[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \]
Numerador:
\[ \sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{10}-\sqrt{6} \]
Denominador:
\[ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=5-3=2 \]
3. Logaritmos: definición y propiedades
El logaritmo responde a una pregunta muy concreta: a qué exponente hay que elevar la base para obtener un número.
\[ \log_a b=c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c=b \]
Condiciones
Para que \(\log_a b\) exista en números reales:
- \(a\gt 0\)
- \(a\neq 1\)
- \(b\gt 0\)
Propiedades principales
\[ \log_a(MN)=\log_a M+\log_a N \]
\[ \log_a\left(\frac{M}{N}\right)=\log_a M-\log_a N \]
\[ \log_a(M^k)=k\log_a M \]
Ejercicio 19. Calcula \(\log_2 32\)
Buscamos el exponente al que hay que elevar 2 para obtener 32.
\[ 2^5=32 \]
Por tanto:
\[ \log_2 32=5 \]
Ejercicio 20. Calcula \(\log_3 \frac{1}{27}\)
Escribimos \(\frac{1}{27}\) como potencia de 3.
\[ 27=3^3 \]
\[ \frac{1}{27}=3^{-3} \]
Por tanto:
\[ \log_3 \frac{1}{27}=-3 \]
Ejercicio 21. Expande \(\log_2(8x^3)\)
Aplicamos producto y potencia.
\[ \log_2(8x^3)=\log_2 8+\log_2(x^3) \]
\[ \log_2 8=3 \]
\[ \log_2(x^3)=3\log_2 x \]
Ejercicio 22. Condensa \(\log x+\log 5-\log 2\)
Los dos primeros logaritmos se unen como producto.
\[ \log x+\log 5=\log(5x) \]
Después restar un logaritmo equivale a dividir.
\[ \log(5x)-\log 2=\log\left(\frac{5x}{2}\right) \]
Ejercicio 23. Expande \(\log_3\left(\frac{x^2}{9y}\right)\)
Antes de usar propiedades, fijamos el dominio de la expresión original:
\[\frac{x^2}{9y}>0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 0,\ y>0\]
Aplicamos la propiedad del cociente:
\[\log_3\left(\frac{x^2}{9y}\right)=\log_3(x^2)-\log_3(9y)\]
Como \(x\) puede ser positivo o negativo, \(\log_3(x^2)=2\log_3|x|\). Además, \(\log_3(9y)=2+\log_3 y\).
\[\log_3\left(\frac{x^2}{9y}\right)=2\log_3|x|-2-\log_3 y\]
Ejercicio 24. Calcula \(\log_5 125+\log_2 16-\log_{10}100\)
Calculamos cada logaritmo por separado.
\[ \log_5 125=3 \]
\[ \log_2 16=4 \]
\[ \log_{10}100=2 \]
Entonces:
\[ 3+4-2=5 \]
4. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
En una ecuación exponencial conviene intentar escribir ambos lados como potencias de la misma base. En una ecuación logarítmica hay que cuidar siempre el dominio y comprobar al final.
Ejercicio 25. Resuelve \(2^{x+1}=32\)
Escribimos 32 como potencia de 2.
\[ 32=2^5 \]
Entonces:
\[ 2^{x+1}=2^5 \]
Igualamos exponentes:
\[ x+1=5 \]
\[ x=4 \]
Ejercicio 26. Resuelve \(3^{2x-1}=81\)
Pasamos 81 a potencia de 3.
\[ 81=3^4 \]
\[ 3^{2x-1}=3^4 \]
\[ 2x-1=4 \]
\[ 2x=5 \]
\[ x=\frac{5}{2} \]
Ejercicio 27. Resuelve \(5^{x}= \frac{1}{25}\)
Escribimos \(\frac{1}{25}\) como potencia de 5.
\[ 25=5^2 \]
\[ \frac{1}{25}=5^{-2} \]
Por tanto:
\[ 5^x=5^{-2} \]
\[ x=-2 \]
Ejercicio 28. Resuelve \(4^x=2^{x+3}\)
Expresamos \(4^x\) como potencia de 2.
\[ 4^x=(2^2)^x=2^{2x} \]
Entonces:
\[ 2^{2x}=2^{x+3} \]
\[ 2x=x+3 \]
\[ x=3 \]
Ejercicio 29. Resuelve \(9^x-3^{x+1}=54\)
Escribimos \(9^x\) como \((3^2)^x=3^{2x}\).
Hacemos el cambio:
\[ t=3^x \]
Entonces:
\[ 3^{2x}=t^2,\qquad 3^{x+1}=3\cdot 3^x=3t \]
La ecuación queda:
\[ t^2-3t=54 \]
\[ t^2-3t-54=0 \]
Factorizamos:
\[ (t-9)(t+6)=0 \]
\[ t=9 \quad \text{o} \quad t=-6 \]
Como \(t=3^x\) siempre es positivo, descartamos \(t=-6\).
\[ 3^x=9=3^2 \]
\[ x=2 \]
Ejercicio 30. Resuelve \(\log_2 x=5\)
Pasamos a forma exponencial.
\[ \log_2 x=5 \quad \Longleftrightarrow \quad 2^5=x \]
\[ x=32 \]
Comprobamos dominio: \(x\gt 0\). Se cumple.
Ejercicio 31. Resuelve \(\log_3(x-1)=2\)
Primero dominio:
\[ x-1\gt 0 \Rightarrow x\gt 1 \]
Pasamos a forma exponencial:
\[ x-1=3^2 \]
\[ x-1=9 \]
\[ x=10 \]
Comprobamos \(10\gt 1\). Es válida.
Ejercicio 32. Resuelve \(\log(x+3)+\log(x-1)=\log 12\)
Dominio:
\[ x+3\gt 0 \Rightarrow x\gt -3 \]
\[ x-1\gt 0 \Rightarrow x\gt 1 \]
Dominio conjunto: \(x\gt 1\).
Aplicamos propiedad del producto:
\[ \log((x+3)(x-1))=\log 12 \]
Igualamos argumentos:
\[ (x+3)(x-1)=12 \]
\[ x^2+2x-3=12 \]
\[ x^2+2x-15=0 \]
Factorizamos:
\[ (x+5)(x-3)=0 \]
\[ x=-5 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Por dominio, solo vale \(x=3\).
Ejercicio 33. Resuelve \(\log_2(x+6)-\log_2 x=2\)
Dominio:
\[ x+6\gt 0,\quad x\gt 0 \]
Dominio conjunto: \(x\gt 0\).
Aplicamos propiedad del cociente:
\[ \log_2\left(\frac{x+6}{x}\right)=2 \]
Pasamos a forma exponencial:
\[ \frac{x+6}{x}=2^2=4 \]
\[ x+6=4x \]
\[ 6=3x \]
\[ x=2 \]
Comprobamos dominio: \(2\gt 0\). Válida.
Ejercicio 34. Resuelve \(2\log x=\log 25\)
Dominio: \(x\gt 0\).
Usamos la propiedad de potencia:
\[ 2\log x=\log(x^2) \]
Entonces:
\[ \log(x^2)=\log 25 \]
\[ x^2=25 \]
\[ x=5 \quad \text{o} \quad x=-5 \]
Por dominio, solo vale \(x=5\).
5. Ruffini, factorización y ecuaciones polinómicas
Ruffini sirve para dividir un polinomio entre \(x-a\). En 4.º de ESO se usa mucho para factorizar polinomios y resolver ecuaciones de grado mayor que dos. El objetivo es convertir una ecuación complicada en factores sencillos.
Ejercicio 35. Resuelve \(x^2-5x+6=0\)
Buscamos dos números que multipliquen 6 y sumen -5.
Son -2 y -3.
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Igualamos cada factor a cero:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Ejercicio 36. Resuelve \(x^3-6x^2+11x-6=0\)
Probamos raíces enteras divisoras de 6: \(\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\).
Probamos \(x=1\):
\[ 1-6+11-6=0 \]
Luego \(x=1\) es raíz y el polinomio tiene factor \(x-1\).
Aplicamos Ruffini con coeficientes \(1,-6,11,-6\):
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6) \]
Factorizamos el segundo factor:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Por tanto:
\[ (x-1)(x-2)(x-3)=0 \]
Ejercicio 37. Resuelve \(x^3-4x^2-x+4=0\)
Agrupamos términos:
\[ x^3-4x^2-x+4=x^2(x-4)-1(x-4) \]
Sacamos factor común:
\[ (x-4)(x^2-1)=0 \]
Usamos diferencia de cuadrados:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]
Entonces:
\[ (x-4)(x-1)(x+1)=0 \]
Ejercicio 38. Resuelve \(x^4-13x^2+36=0\)
Es una ecuación biacuadrada. Hacemos el cambio:
\[ t=x^2 \]
La ecuación queda:
\[ t^2-13t+36=0 \]
Factorizamos:
\[ (t-9)(t-4)=0 \]
\[ t=9 \quad \text{o} \quad t=4 \]
Volvemos a \(x\):
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3 \]
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2 \]
Ejercicio 39. Resuelve \(x^4-5x^2+4=0\)
Hacemos \(t=x^2\).
\[ t^2-5t+4=0 \]
\[ (t-1)(t-4)=0 \]
\[ t=1 \quad \text{o} \quad t=4 \]
Volvemos a la variable inicial:
\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1 \]
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2 \]
Ejercicio 40. Resuelve \(x^4-16=0\)
Podemos verlo como diferencia de cuadrados:
\[ x^4-16=(x^2)^2-4^2 \]
\[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4) \]
En números reales, \(x^2+4=0\) no tiene solución.
Resolvemos:
\[ x^2-4=0 \]
\[ x^2=4 \]
\[ x=\pm 2 \]
Ejercicio 41. Factoriza \(x^3+2x^2-5x-6\)
Probamos raíces enteras divisoras de 6. Probamos \(x=2\):
\[ 8+8-10-6=0 \]
Luego \(x=2\) es raíz y aparece el factor \(x-2\).
Dividiendo por Ruffini:
\[ x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3) \]
Factorizamos:
\[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3) \]
Ejercicio 42. Resuelve \(2x^3-3x^2-8x+12=0\)
Probamos raíces racionales sencillas. Para \(x=2\):
\[ 2\cdot 8-3\cdot 4-8\cdot 2+12=16-12-16+12=0 \]
Luego \(x=2\) es raíz.
Dividimos entre \(x-2\):
\[ 2x^3-3x^2-8x+12=(x-2)(2x^2+x-6) \]
Resolvemos el segundo factor:
\[ 2x^2+x-6=0 \]
\[ x=\frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{4}=\frac{-1\pm 7}{4} \]
\[ x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \]
\[ x=\frac{-8}{4}=-2 \]
6. Ecuaciones racionales
En una ecuación racional aparecen fracciones con \(x\) en el denominador. Antes de resolver hay que excluir los valores que anulan denominadores. Al final se comprueba porque pueden aparecer soluciones no válidas.
Ejercicio 43. Resuelve \(\frac{x+1}{x-2}=3\)
Dominio:
\[ x-2\neq 0 \Rightarrow x\neq 2 \]
Multiplicamos por \(x-2\):
\[ x+1=3(x-2) \]
\[ x+1=3x-6 \]
\[ 7=2x \]
\[ x=\frac{7}{2} \]
Como \(\frac{7}{2}\neq 2\), la solución es válida.
Ejercicio 44. Resuelve \(\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=5\)
Dominio: \(x\neq 0\).
Sumamos fracciones:
\[ \frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x} \]
Entonces:
\[ \frac{5}{x}=5 \]
Multiplicamos por \(x\):
\[ 5=5x \]
\[ x=1 \]
Ejercicio 45. Resuelve \(\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=1\)
Dominio:
\[ x\neq 1,\quad x\neq -1 \]
Multiplicamos por \((x-1)(x+1)\):
\[ x+1+2(x-1)=(x-1)(x+1) \]
Desarrollamos:
\[ x+1+2x-2=x^2-1 \]
\[ 3x-1=x^2-1 \]
\[ x^2-3x=0 \]
\[ x(x-3)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Ambas cumplen el dominio.
Ejercicio 46. Resuelve \(\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}=1\)
Dominio:
\[ x\neq 2,\quad x\neq -2 \]
Multiplicamos por \((x-2)(x+2)\):
\[ x(x+2)-2(x-2)=(x-2)(x+2) \]
\[ x^2+2x-2x+4=x^2-4 \]
\[ x^2+4=x^2-4 \]
\[ 4=-4 \]
Esto es imposible. No hay solución.
Ejercicio 47. Resuelve \(\frac{3}{x}=\frac{x}{12}\)
Dominio: \(x\neq 0\).
Multiplicamos en cruz:
\[ 3\cdot 12=x\cdot x \]
\[ 36=x^2 \]
\[ x=\pm 6 \]
Ambos valores son distintos de cero, luego ambos son válidos.
Ejercicio 48. Resuelve \(\frac{x+2}{x-3}=\frac{x-1}{x+3}\)
Dominio:
\[ x\neq 3,\quad x\neq -3 \]
Multiplicamos en cruz:
\[ (x+2)(x+3)=(x-1)(x-3) \]
Desarrollamos:
\[ x^2+5x+6=x^2-4x+3 \]
Cancelamos \(x^2\):
\[ 5x+6=-4x+3 \]
\[ 9x=-3 \]
\[ x=-\frac{1}{3} \]
Es válido porque no anula ningún denominador.
7. Inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales
Resolver una inecuación no es solo despejar. Cuando hay productos, cocientes o expresiones cuadráticas, hay que estudiar signos por intervalos.
Ejercicio 49. Resuelve \(3x-5\leq 10\)
Sumamos 5 en ambos lados.
\[ 3x\leq 15 \]
Dividimos entre 3. Como 3 es positivo, no cambia el sentido.
\[ x\leq 5 \]
Ejercicio 50. Resuelve \(-2x+7\gt 1\)
Restamos 7:
\[ -2x\gt -6 \]
Dividimos entre \(-2\). Al dividir por un número negativo, cambia el sentido.
\[ x\lt 3 \]
Ejercicio 51. Resuelve \(x^2-5x+6\gt 0\)
Factorizamos:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Puntos críticos: \(x=2\) y \(x=3\).
Estudiamos intervalos:
\[ (-\infty,2),\quad (2,3),\quad (3,\infty) \]
El producto \((x-2)(x-3)\) es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas.
Como se pide \(>0\), no incluimos las raíces.
Ejercicio 52. Resuelve \(x^2-4\leq 0\)
Factorizamos:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2) \]
Raíces: \(x=-2\), \(x=2\).
La parábola abre hacia arriba, por tanto es negativa o cero entre las raíces.
Ejercicio 53. Resuelve \(\frac{x-1}{x+2}\geq 0\)
Puntos críticos:
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
\(x=-2\) no puede incluirse porque anula el denominador. \(x=1\) sí puede incluirse porque hace cero el numerador.
Estudiamos signos en:
\[ (-\infty,-2),\quad (-2,1),\quad (1,\infty) \]
En \((-\infty,-2)\), numerador negativo y denominador negativo, cociente positivo.
En \((-2,1)\), numerador negativo y denominador positivo, cociente negativo.
En \((1,\infty)\), numerador positivo y denominador positivo, cociente positivo.
Ejercicio 54. Resuelve \(\frac{x+3}{x-4}\lt 0\)
Puntos críticos:
\[ x=-3,\quad x=4 \]
\(x=4\) no pertenece al dominio. \(x=-3\) hace cero la fracción, pero se pide estrictamente menor que cero, así que tampoco se incluye.
Intervalos:
\[ (-\infty,-3),\quad (-3,4),\quad (4,\infty) \]
Probamos signos. La fracción es negativa solo entre \(-3\) y \(4\).
Ejercicio 55. Resuelve \(\frac{x^2-9}{x-1}\geq 0\)
Factorizamos el numerador y anotamos los puntos críticos:
\[\frac{x^2-9}{x-1}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-1},\qquad x=-3,\ 1,\ 3\]
En \(x=1\) la fracción no existe. Los otros dos puntos sí pueden incluirse porque anulan el numerador.
La tabla de signos evita decidir de memoria:
\[\begin{array}{c|ccccccc} x&(-\infty,-3)&-3&(-3,1)&1&(1,3)&3&(3,\infty)\\ \hline \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-1}&-&0&+&\text{no existe}&-&0&+ \end{array}\]
Como se pide mayor o igual que cero, tomamos los intervalos positivos y los ceros del numerador.
Ejercicio 56. Resuelve \((x-2)(x+5)\leq 0\)
Puntos críticos:
\[ x=2,\quad x=-5 \]
Ordenamos:
\[ -5,\quad 2 \]
El producto de dos factores lineales es negativo entre las raíces y cero en las raíces.
8. Sistemas no lineales
Un sistema no lineal aparece cuando alguna ecuación no es de primer grado. En 4.º de ESO suelen salir sistemas con una recta y una parábola, con producto \(xy\), o con suma y producto de dos incógnitas.
Ejercicio 57. Resuelve el sistema \(\begin{cases} y=x+1 \\ y=x^2-1 \end{cases}\)
Como ambas expresiones son iguales a \(y\), igualamos:
\[ x+1=x^2-1 \]
\[ x^2-x-2=0 \]
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
\[ x=2 \quad \text{o} \quad x=-1 \]
Calculamos \(y\) usando \(y=x+1\).
Si \(x=2\):
\[ y=2+1=3 \]
Si \(x=-1\):
\[ y=-1+1=0 \]
Ejercicio 58. Resuelve \(\begin{cases} x+y=5 \\ xy=6 \end{cases}\)
Dos números que suman 5 y multiplican 6 son 2 y 3.
También podemos hacerlo por sustitución:
\[ y=5-x \]
Sustituimos en \(xy=6\):
\[ x(5-x)=6 \]
\[ 5x-x^2=6 \]
\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
\[ x=2 \quad \text{o} \quad x=3 \]
Si \(x=2\), \(y=3\). Si \(x=3\), \(y=2\).
Ejercicio 59. Resuelve \(\begin{cases} x^2+y^2=25 \\ y=3 \end{cases}\)
Sustituimos \(y=3\) en la primera ecuación.
\[ x^2+3^2=25 \]
\[ x^2+9=25 \]
\[ x^2=16 \]
\[ x=\pm 4 \]
Como \(y=3\), obtenemos dos puntos.
Ejercicio 60. Resuelve \(\begin{cases} y=x^2 \\ y=2x+3 \end{cases}\)
Igualamos:
\[ x^2=2x+3 \]
\[ x^2-2x-3=0 \]
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
\[ x=3 \quad \text{o} \quad x=-1 \]
Calculamos \(y\) usando \(y=x^2\).
Si \(x=3\):
\[ y=9 \]
Si \(x=-1\):
\[ y=1 \]
Ejercicio 61. Resuelve \(\begin{cases} x-y=1 \\ x^2+y^2=13 \end{cases}\)
De la primera ecuación:
\[ x=y+1 \]
Sustituimos:
\[ (y+1)^2+y^2=13 \]
\[ y^2+2y+1+y^2=13 \]
\[ 2y^2+2y-12=0 \]
Dividimos entre 2:
\[ y^2+y-6=0 \]
\[ (y+3)(y-2)=0 \]
\[ y=-3 \quad \text{o} \quad y=2 \]
Si \(y=-3\), entonces \(x=-2\).
Si \(y=2\), entonces \(x=3\).
Ejercicio 62. Resuelve \(\begin{cases} x+y=1 \\ x^2+y^2=5 \end{cases}\)
De \(x+y=1\):
\[ y=1-x \]
Sustituimos:
\[ x^2+(1-x)^2=5 \]
\[ x^2+1-2x+x^2=5 \]
\[ 2x^2-2x-4=0 \]
Dividimos entre 2:
\[ x^2-x-2=0 \]
\[ (x-2)(x+1)=0 \]
\[ x=2 \quad \text{o} \quad x=-1 \]
Si \(x=2\), \(y=-1\). Si \(x=-1\), \(y=2\).
9. Simulacro de 60 minutos
Reserva una hora, intenta las diez cuestiones sin mirar y deja los últimos minutos para comprobar dominios, signos y soluciones. Cada ejercicio vale un punto.
Hoja para hacer sin mirar
- Resuelve \(\sqrt{x+5}=x-1\).
- Racionaliza \(\dfrac{6}{\sqrt7-1}\).
- Una cantidad se duplica cada 3 horas. ¿Cuándo será 32 veces la inicial?
- Resuelve \(\log_2(x-2)+\log_2x=3\).
- Resuelve \(x^4-10x^2+9=0\).
- Resuelve \(\dfrac{2x+1}{x-1}=4\).
- Resuelve \(\dfrac{x-4}{x+1}\leq0\).
- Un rectángulo tiene 18 cm de perímetro y 20 cm² de área. Halla sus lados.
- Resuelve \(x^3-7x+6=0\).
- Resuelve \(\log_3(2x+1)=2\).
Control final: anota restricciones antes de operar y comprueba los candidatos en el enunciado original.
Ver solución paso a paso del ejercicio 63
Ejercicio 63. Resuelve \(\sqrt{x+5}=x-1\)
La raíz es no negativa, así que el segundo miembro también debe serlo: \(x-1\geq 0\). Trabajamos con \(x\geq 1\).
Elevamos al cuadrado los dos miembros:
\[x+5=(x-1)^2=x^2-2x+1\]
\[x^2-3x-4=0\quad\Longrightarrow\quad(x-4)(x+1)=0\]
Los candidatos son \(x=4\) y \(x=-1\). El segundo queda fuera del dominio. Comprobamos el primero:
\[\sqrt{4+5}=3=4-1\]
Ver solución paso a paso del ejercicio 64
Ejercicio 64. Racionaliza \(\frac{6}{\sqrt{7}-1}\)
Multiplicamos por el conjugado \(\sqrt{7}+1\).
\[ \frac{6}{\sqrt{7}-1}\cdot \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}+1} \]
Numerador:
\[ 6(\sqrt{7}+1)=6\sqrt{7}+6 \]
Denominador:
\[ (\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)=7-1=6 \]
\[ \frac{6\sqrt{7}+6}{6}=\sqrt{7}+1 \]
Ver solución paso a paso del ejercicio 65
Ejercicio 65. Una cantidad se duplica cada 3 horas. ¿Cuándo será 32 veces la inicial?
Si \(t\) es el tiempo en horas, en cada bloque de 3 horas aparece una nueva duplicación:
\[\frac{Q(t)}{Q_0}=2^{t/3}\]
Pedimos que la cantidad sea 32 veces la inicial:
\[2^{t/3}=32=2^5\]
Igualamos exponentes:
\[\frac{t}{3}=5\quad\Longrightarrow\quad t=15\]
Ver solución paso a paso del ejercicio 66
Ejercicio 66. Resuelve \(\log_2(x-2)+\log_2 x=3\)
Dominio:
\[ x-2\gt 0 \Rightarrow x\gt 2 \]
\[ x\gt 0 \]
Dominio conjunto: \(x\gt 2\).
Aplicamos propiedad del producto:
\[ \log_2(x(x-2))=3 \]
Pasamos a forma exponencial:
\[ x(x-2)=2^3 \]
\[ x^2-2x=8 \]
\[ x^2-2x-8=0 \]
\[ (x-4)(x+2)=0 \]
\[ x=4 \quad \text{o} \quad x=-2 \]
Por dominio, solo vale \(x=4\).
Ver solución paso a paso del ejercicio 67
Ejercicio 67. Resuelve \(x^4-10x^2+9=0\)
Ecuación biacuadrada. Hacemos:
\[ t=x^2 \]
\[ t^2-10t+9=0 \]
\[ (t-1)(t-9)=0 \]
\[ t=1 \quad \text{o} \quad t=9 \]
Volvemos a \(x\):
\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1 \]
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3 \]
Ver solución paso a paso del ejercicio 68
Ejercicio 68. Resuelve \(\frac{2x+1}{x-1}=4\)
Dominio:
\[ x\neq 1 \]
Multiplicamos por \(x-1\):
\[ 2x+1=4(x-1) \]
\[ 2x+1=4x-4 \]
\[ 5=2x \]
\[ x=\frac{5}{2} \]
Es válido porque \(\frac{5}{2}\neq 1\).
Ver solución paso a paso del ejercicio 69
Ejercicio 69. Resuelve \(\frac{x-4}{x+1}\leq 0\)
Puntos críticos:
\[ x=4,\quad x=-1 \]
\(x=-1\) no se incluye porque anula denominador. \(x=4\) sí se incluye porque hace cero el numerador.
Intervalos:
\[ (-\infty,-1),\quad (-1,4),\quad (4,\infty) \]
Probando signos, la fracción es negativa entre \(-1\) y \(4\), y vale cero en \(4\).
Ver solución paso a paso del ejercicio 70
Ejercicio 70. Un rectángulo tiene 18 cm de perímetro y 20 cm² de área. Halla sus lados
Llamamos \(x\) e \(y\) a las longitudes de los lados, con \(x>0\) e \(y>0\).
\[2x+2y=18\quad\Longrightarrow\quad x+y=9,\qquad xy=20\]
De \(x+y=9\) obtenemos \(y=9-x\). Sustituimos en el área:
\[x(9-x)=20\quad\Longrightarrow\quad x^2-9x+20=0\]
\[(x-4)(x-5)=0\quad\Longrightarrow\quad x=4\ \text{o}\ x=5\]
Si \(x=4\), entonces \(y=5\); si \(x=5\), entonces \(y=4\). Los dos pares describen el mismo rectángulo.
Ver solución paso a paso del ejercicio 71
Ejercicio 71. Resuelve \(x^3-7x+6=0\)
Los candidatos enteros son los divisores de 6. Como \(P(1)=1-7+6=0\), \(x=1\) es raíz y podemos dividir entre \(x-1\).
Es importante escribir el coeficiente cero del término \(x^2\):
\[\begin{array}{r|rrrr} 1&1&0&-7&6\\ & &1&1&-6\\ \hline &1&1&-6&0 \end{array}\]
El cociente es \(x^2+x-6\), que se factoriza así:
\[x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)=(x-1)(x+3)(x-2)\]
Ver solución paso a paso del ejercicio 72
Ejercicio 72. Resuelve \(\log_3(2x+1)=2\)
Dominio:
\[ 2x+1\gt 0 \Rightarrow x\gt -\frac{1}{2} \]
Pasamos a forma exponencial:
\[ 2x+1=3^2 \]
\[ 2x+1=9 \]
\[ 2x=8 \]
\[ x=4 \]
Comprobación de dominio: \(4\gt -\frac{1}{2}\). Válida.
10. Errores frecuentes y control final
Errores con radicales
- Sumar \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) como si fuera \(\sqrt{5}\). Eso no es correcto.
- No simplificar antes de operar.
- Olvidar multiplicar numerador y denominador al racionalizar.
- Confundir \(\sqrt{a+b}\) con \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Errores con logaritmos
- Olvidar el dominio del argumento.
- Pensar que \(\log(a+b)=\log a+\log b\). Esa propiedad no existe.
- Pasar mal de forma logarítmica a forma exponencial.
- No comprobar soluciones al final.
Errores con ecuaciones
- No excluir denominadores nulos en ecuaciones racionales.
- Resolver una biacuadrada y quedarse en \(t\), sin volver a \(x\).
- Dar por hecho que \(x-a\) es factor sin comprobar antes que \(P(a)=0\).
- Perder soluciones negativas al resolver \(x^2=a\).
Errores con inecuaciones
- No cambiar el sentido al dividir por un número negativo.
- Incluir valores que anulan denominadores.
- No estudiar signos por intervalos en cocientes.
- Confundir intervalos abiertos y cerrados.
Hasta dónde llega este cuaderno
Este cuaderno reúne una ruta habitual de Matemáticas B al comienzo de 4.º de ESO. Llega hasta la resolución y comprobación de ecuaciones, inecuaciones y sistemas no lineales sencillos; el orden concreto puede cambiar de un centro a otro.
Para ver el recorrido completo del curso —funciones, geometría, trigonometría, estadística y probabilidad— continúa en Matemáticas B de 4.º de ESO.
Cuando toca afianzar la base antes de Bachillerato
Si este repaso está sirviendo para preparar el salto a Bachillerato, se puede trabajar la transición con ejercicios corregidos y seguimiento. Cuando encaja mejor una franja temprana, también hay una opción específica por la mañana.
Preguntas frecuentes
¿Qué se trabaja en este cuaderno de Matemáticas B de 4.º de ESO?
Radicales, racionalización, logaritmos, ecuaciones exponenciales, logarítmicas, polinómicas y racionales, inecuaciones y sistemas no lineales sencillos.
¿Coincide siempre con la primera evaluación?
No necesariamente. La distribución cambia de un centro a otro. El cuaderno sigue una secuencia frecuente y permite estudiar cada bloque de forma independiente.
¿Por qué se comprueban algunas soluciones?
Porque al elevar al cuadrado, trabajar con logaritmos o eliminar denominadores pueden aparecer candidatos que no cumplen el dominio o la ecuación original.
¿Cómo conviene usar el simulacro?
Primero se resuelven los diez enunciados sin abrir las soluciones. Después se compara cada desarrollo, se localiza el primer paso distinto y se repite el ejercicio sin mirar.