Este recurso está elaborado por José María de Marlu Educativa para alumnos que quieren reforzar funciones en 4 ESO, preparar bien 1 Bachillerato o empezar a construir una base sólida para Matemáticas de Bachillerato y PAU.

En clase se ve muy a menudo que el alumno sabe representar una recta, pero se pierde cuando tiene que estudiar dominio, cortes, signo o crecimiento. Por eso este recurso está planteado como una ruta completa, desde lo básico hasta ejercicios más exigentes.

En las clases online de Marlu Educativa trabajamos este tipo de ejercicios sobre una pizarra digital compartida. En funciones es especialmente útil, porque podemos dibujar gráficas, corregir cortes, marcar intervalos y ver el razonamiento paso a paso.

Índice

Antes de estudiar funciones en 4 ESO y 1 Bachillerato conviene dominar tres bases: álgebra, ecuaciones y representación gráfica.

Si falla alguno de estos tres pilares, el estudio de funciones se vuelve muy mecánico y el alumno empieza a memorizar sin comprender.

Estudiar una función no es solo dibujarla. Estudiar una función significa responder a preguntas como estas:

• Para qué valores de \(x\) existe
• Dónde corta a los ejes
• Dónde es positiva o negativa
• Dónde crece o decrece
• Si tiene máximos o mínimos
• Qué forma tiene su gráfica
• Qué representa en un problema real

El dominio de una función es el conjunto de valores de \(x\) para los que la función tiene sentido.

En 4 ESO y 1 Bachillerato el dominio se vuelve muy importante porque aparecen fracciones, raíces y logaritmos.

El recorrido o imagen es el conjunto de valores que puede tomar \(y\).

En ESO suele leerse desde una gráfica o desde funciones sencillas. En Bachillerato se estudia con más profundidad, pero conviene empezar a entenderlo ya.

Los cortes con los ejes son puntos esenciales para representar una función.

Estudiar el signo de una función significa averiguar dónde la función es positiva, negativa o cero.

• \(f(x)>0\) cuando la gráfica está por encima del eje \(x\)
• \(f(x)<0\) cuando está por debajo del eje \(x\)
• \(f(x)=0\) en los cortes con el eje \(x\)

Una función es creciente cuando, al avanzar de izquierda a derecha, la gráfica sube.

Una función es decreciente cuando, al avanzar de izquierda a derecha, la gráfica baja.

Un máximo es un punto en el que la función alcanza un valor más alto que los valores cercanos. Un mínimo es un punto en el que alcanza un valor más bajo.

En 4 ESO y 1 Bachillerato se suelen estudiar máximos y mínimos mirando la gráfica, usando una tabla de valores o reconociendo la forma de una parábola.

Las funciones lineales y afines son rectas. Son fundamentales porque aparecen en problemas de precios, velocidades constantes, tarifas, proporcionalidad y geometría analítica.

Función lineal:

\[ f(x)=mx \]

Función afín:

\[ f(x)=mx+n \]

Una función cuadrática tiene la forma:

\[ f(x)=ax^2+bx+c \]

Su gráfica es una parábola.

• Si \(a>0\), abre hacia arriba y tiene mínimo
• Si \(a<0\), abre hacia abajo y tiene máximo
• El corte con el eje \(y\) es \(c\)
• Los cortes con el eje \(x\) se hallan resolviendo \(ax^2+bx+c=0\)

Una función racional es una fracción algebraica. En 4 ESO y 1 Bachillerato suelen aparecer funciones como:

\[ f(x)=\frac{1}{x} \] \[ f(x)=\frac{x+2}{x-1} \]

Lo primero siempre es estudiar el dominio, porque el denominador no puede ser cero.

En funciones con raíces cuadradas, el radicando debe ser mayor o igual que cero.

\[ \sqrt{A(x)} \]

solo existe en números reales cuando:

\[ A(x)\geq0 \]

En 4 ESO y 1 Bachillerato empiezan a aparecer funciones exponenciales y logarítmicas. No siempre se estudian a fondo al principio, pero conviene reconocer su forma.

Interpretar una gráfica significa explicar qué ocurre en una situación real mirando la forma de la curva. En muchos exámenes no basta con calcular: hay que decir dónde crece, dónde baja, cuándo se detiene, cuándo alcanza un máximo o qué significado tiene un corte con los ejes.

Estos problemas mezclan interpretación, álgebra y representación gráfica. Son muy parecidos a los que suelen aparecer en controles de 4 ESO y en el inicio de 1 Bachillerato.

Ejercicios propuestos

1. Halla el dominio de \(f(x)=\frac{2x+1}{x-5}\)
2. Halla el dominio de \(f(x)=\sqrt{x+7}\)
3. Halla el dominio de \(f(x)=\sqrt{4-x}\)
4. Calcula los cortes con los ejes de \(f(x)=3x-9\)
5. Calcula los cortes con los ejes de \(f(x)=x^2-6x+8\)
6. Estudia el signo de \(f(x)=x-2\)
7. Estudia el signo de \(f(x)=x^2-16\)
8. Calcula el vértice de \(f(x)=x^2-8x+7\)
9. Indica si \(f(x)=-2x+5\) es creciente o decreciente
10. Halla la pendiente de la recta que pasa por \(A(1,3)\) y \(B(5,11)\)
11. Halla la ecuación de la recta de pendiente 4 que pasa por \((0,-2)\)
12. Halla el dominio de \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}\)
13. Calcula el dominio de \(f(x)=\log(x+6)\)
14. Una tarifa cobra 12 € fijos y 0,08 € por minuto. Escribe la función
15. Una pelota sigue \(h(t)=-t^2+10t\). Halla la altura máxima

Soluciones del simulacro

1

\[ D=\mathbb{R}-\{5\} \]

2

\[ x+7\geq0 \] \[ D=[-7,+\infty) \]

3

\[ 4-x\geq0 \] \[ x\leq4 \] \[ D=(-\infty,4] \]

4

Corte con \(y\):

\[ f(0)=-9 \] \[ (0,-9) \]

Corte con \(x\):

\[ 3x-9=0 \] \[ x=3 \] \[ (3,0) \]

5

\[ f(0)=8 \] \[ (0,8) \] \[ x^2-6x+8=0 \] \[ (x-2)(x-4)=0 \] \[ (2,0),\quad (4,0) \]

6

\[ x-2=0 \] \[ x=2 \] \[ f(x)<0\ en\ (-\infty,2) \] \[ f(x)>0\ en\ (2,+\infty) \]

7

\[ x^2-16=0 \] \[ x=-4,\quad x=4 \] \[ f(x)>0\ en\ (-\infty,-4)\cup(4,+\infty) \] \[ f(x)<0\ en\ (-4,4) \]

8

\[ x_v=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=4 \] \[ f(4)=16-32+7=-9 \] \[ V=(4,-9) \]

9

Es decreciente porque su pendiente es negativa.

10

\[ m=\frac{11-3}{5-1}=2 \]

11

\[ y=4x-2 \]

12

\[ x+2>0 \] \[ D=(-2,+\infty) \]

13

\[ x+6>0 \] \[ D=(-6,+\infty) \]

14

\[ f(x)=0,08x+12 \]

15

\[ t_v=\frac{-10}{2\cdot(-1)}=5 \] \[ h(5)=-25+50=25 \]

La altura máxima es 25.

Para estudiar funciones con seguridad, el orden ideal es este:

1. Repasar álgebra básica y ecuaciones
2. Dominar rectas y pendientes
3. Entender dominio y recorrido
4. Trabajar cortes con los ejes
5. Estudiar parábolas y vértices
6. Introducir racionales, raíces, exponenciales y logaritmos
7. Practicar interpretación de gráficas reales
8. Conectar con geometría analítica y Bachillerato

Si se sigue este orden, el alumno deja de ver las funciones como un conjunto de fórmulas sueltas y empieza a entenderlas como una herramienta para describir situaciones.

Este recurso queda situado como puente entre funciones de ESO y el estudio más avanzado de Bachillerato. Para reforzar bien el camino, conviene enlazarlo con álgebra, ecuaciones, sistemas, geometría analítica y preparación PAU.