Álgebra 2 ESO ejercicios resueltos paso a paso lenguaje algebraico polinomios y problemas

Llamamos $x$ al número.

La suma es $x+5$. Como se pide el cuadrado de toda la suma, necesitamos paréntesis.

Ahora solo se eleva al cuadrado el número.

Si se pide una sola fracción, escribimos el doble con denominador 3.

Si los números son $x$ e $y$:

La suma de las dos mitades también representa la mitad de la suma, como se comprueba a continuación.

Aquí $x$ es un número entero. El salto entre dos enteros consecutivos es 1.

Tomamos $x\in \mathbb{Z}$. Así las expresiones representan números enteros de la paridad indicada.

Tomamos $x\in \mathbb{Z}$. Así las expresiones representan números enteros de la paridad indicada.

Para hablar de anterior y siguiente, tomamos $x$ entero.

Tomamos $x$ entero. El siguiente es $x+1$.

El área se obtiene multiplicando base por altura.

Ambas longitudes deben ser positivas. Basta exigir $x>2$. El valor de $x$ representa aquí una medida expresada en centímetros.

El perímetro es $(6x+8)$ cm. Para $x=1$, los lados miden 3 cm y 4 cm, y $P=14$ cm, como da la expresión.

$x\ge 0$ es la distancia en kilómetros y $P$ el precio en euros. Es un modelo simplificado, sin suplementos. Para 5 km resulta $P=9,50$ €.

El denominador no puede anularse. La expresión original exige $x\ne -1$; el valor $x=4$ está permitido.

Coeficiente:

Parte literal:

Grado:

$5x^2-3$ no es un monomio porque tiene dos términos. El número 9 sí es un monomio constante, de grado 0.

$\frac{3}{x}$ no es un monomio en $x$, ya que equivale a $3x^{-1}$. Tampoco lo es $2\sqrt{x}$, cuyo exponente es $\frac{1}{2}$. En un monomio, los exponentes de las letras deben ser enteros no negativos.

El grado es 7.

Una posible respuesta:

El grado es:

Términos con $a^2$:

Términos con $a$:

Resultado:

El mayor exponente es 5, por tanto el grado es 5.

El término independiente es:

Una posible respuesta es

Al mostrar todos los grados en orden queda

Sus coeficientes, del grado 4 al 0, son 2, 0, 0, −3 y 6. Añadir los términos de coeficiente cero no cambia el polinomio.

Tiene tres términos, por tanto es un trinomio.

Su grado es 2.

Dividimos coeficientes y restamos exponentes de la misma base.

Al multiplicar $3x^3$ por $6x^2$ recuperamos $18x^5$. La restricción procede del divisor original.

Se requiere $a\ne 0$ y $b\ne 0$. El coeficiente es negativo porque $\frac{-20}{5}=-4$. Las letras se simplifican por separado.

El cociente de fracciones se calcula multiplicando por el inverso de la segunda.

Obtenemos $\frac{3}{2}{x}^2$, con $x\ne 0$.

El divisor afecta a todos los términos.

Exigimos $x\ne 0$. Comprobación por distribución

Se divide cada sumando del numerador.

No es igual a $x+2$ para todo $x$. Por ejemplo, para $x=3$, la primera expresión vale 3 y la segunda 5. Solo coinciden cuando $x=0$.

El denominador común es 6. Las fracciones ya no tienen letras en el denominador, así que no aparece ninguna restricción sobre $x$.

No. Solo se pueden cancelar factores de todo el numerador y todo el denominador.

Para $x=3$, la expresión original vale 2. El resultado incorrecto 3 tampoco supera esta comprobación.

Este es un primer puente hacia 3.º ESO. Factorizamos antes de cancelar, usando la diferencia de cuadrados.

Para $x=5$, el valor es 8. Para $x=3$, la expresión original no existe, aunque $x+3$ sí pueda calcularse.

Los dos términos son múltiplos de 6.

Distribuyendo el 6 volvemos a la expresión inicial. Sacar factor común es aplicar la distributiva al revés.

El máximo factor numérico común es 5. La menor potencia de $x$ presente es $x^2$.

Los términos de dentro se obtienen dividiendo cada término original entre $5x^2$.

El 4 divide a 8 y a 12. En cada letra escogemos el menor exponente común. La distribución comprueba el resultado para cualesquiera $a,b$.

Al repartir $-3x$, el segundo término queda $+9x$. También es correcta la forma $3x(-2x+3)$.

Comprobamos los dos productos, $\frac{x}{2}\cdot x=\frac{x^2}{2}$ y $\frac{x}{2}\cdot 3=\frac{3x}{2}$.

Cada término se divide entre el factor extraído.

Falta $3x-2$. Aquí estamos escribiendo una identidad, no resolviendo una ecuación; no hay que dividir toda una igualdad entre una incógnita.

El segundo término también debe dejar un cociente dentro del paréntesis.

El factor de dentro es 1 porque $5x\cdot 1=5x$. La distributiva comprueba la identidad para cualquier $x$, también para $x=0$. La forma errónea pierde el término $5x$.

Los dos factores son enteros consecutivos. Uno de ellos es par, de modo que su producto es múltiplo de 2. La explicación vale también para cero y para enteros negativos; no depende de probar unos pocos ejemplos.

Cuadrado del primero, más doble producto, más cuadrado del segundo.

Para $x=2$, las dos formas valen 25.

El término central lleva signo menos. El último es positivo porque estamos elevando al cuadrado el número 5.

El doble producto es $2\cdot (2x)\cdot 3=12x$. El cuadrado del primer término es $(2x{)}^2=4x^2$, no $2x^2$.

Si $a=b=1$, la expresión original es $1^2=1$, y la desarrollada da $9-12+4=1$.

La suma por la diferencia de los mismos términos produce una diferencia de cuadrados.

Los términos $-7x$ y $+7x$ se cancelan al desarrollar.

Se eleva al cuadrado el término completo $4x$.

Los extremos son $x^2$ y $4^2$. Comprobamos el término central, $2\cdot x\cdot 4=8x$.

Los extremos se escriben como $(3x{)}^2$ y $4^2$. El doble producto con signo negativo es $-24x$.

El menos afecta al segundo desarrollo entero.

Para $x=0$, ambas formas valen 0, como primera comprobación.

La identidad transforma el cálculo en operaciones sencillas. El término central explica por qué no basta con restar 1 a ${100}^2$.

La hermana tiene $x+4$ años. El padre, $3(x+4)$ años.

Si $x=10$, las edades son 10, 14 y 42 años, que suman 66 años. La fórmula da $5\cdot 10+16=66$.

El número es $10a+b$. El invertido es $10b+a$.

La diferencia es múltiplo de 9. Para que ambos sean de dos cifras, $a,b$ deben ser enteros entre 1 y 9; si se permite un cero inicial en el invertido, $b$ puede ser 0.

Los gastos se suman una sola vez. Para entradas de 8 €, $C=3\cdot 8+2=26$ €. En este modelo $x\ge 0$.

Para $p=50$, se pagan 40 €. Se conserva el 80 % del precio, no se restan 20 € a cualquier chaqueta.

El impuesto se calcula sobre el precio ya rebajado.

Para $p=100$ €, el resultado es 108,90 €. No se obtiene sumando los porcentajes como si ambos se aplicaran a la misma base.

Si no se supera el presupuesto, $n$ es un entero entre 0 y 7. Para $n=5$, el coste es 15 € y el cambio 5 €.

$t$ se mide en minutos y $V$ en litros. El modelo es válido para $0\le t\le 40$. En 40 min se vacía; después la expresión daría volúmenes negativos, que no describen el depósito.

Para 3 h, la diferencia es 2 €, así que A cuesta 2 € más. Para 7 h, es −2 €, y A cuesta 2 € menos. A las 5 h cuestan lo mismo. El modelo permite fracciones de hora y supone $h\ge 0$, sin otros cargos.

Hay $n$ mesas y $3n$ sillas.

$n$ es un entero no negativo. Para 2 mesas hay 8 muebles y 32 patas.

Después del primero, cada cuadrado añade tres palillos.

Para 1, 2 y 3 cuadrados se necesitan 4, 7 y 10 palillos. Es una regla para números enteros positivos.

Como $n+1$ es entero, la suma es tres veces un entero. Además, dividirla entre 3 da el número central.

La primera igualdad es una identidad por la distributiva.

La segunda no lo es. Para $x=3$, sus valores son 9 y 6. Aunque coincidan para $x=0$ y $x=2$, eso no las convierte en expresiones equivalentes.

Para $x=1$, mide 6 cm por 3 cm. Su perímetro es 18 cm y su área, 18 cm². Que los números coincidan no significa que sean la misma magnitud.

El aumento incluye dos bandas de área $3x$ y un cuadrado de área 9. Para $x=4$, el aumento es $49-16=33$ cm².

El rectángulo tiene siempre 16 m² menos. El perímetro de ambos es $4x$ m, pero eso no obliga a que sus áreas sean iguales.

Para $x=3$, la base es 10 cm y la altura 3 cm. El área es 15 cm², igual a $3^2+2\cdot 3$.

El lado exterior mide $(x+2)$ cm, porque se añade 1 cm por cada extremo.

Trabajamos con $x>0$.

Si $x=5$, el marco ocupa $49-25=24$ cm².

Para $x=3$, la caja mide 3 cm por 4 cm por 2 cm y contiene 24 cm³. La expresión da $18+6=24$.

Las unidades se dividen, cm² entre cm da cm. Multiplicar la altura por la base recupera el área.

No. La expresión $4x$ olvida un cuadrado de 2 cm de lado, de área 4 cm². Para $x=1$, el área restante es $9-1=8$ cm², no 4 cm².

Para $x=2$, el original da $9-12+5=2$, y la expresión final también.

Podemos quitar primero el corchete interior.

El segundo menos cambia los signos de todo $x+5$.

No hay restricciones, ya que los denominadores son constantes distintas de cero.

El coeficiente de $x$ es $k+2$. Debe valer cero.

Sustituyendo, $-2x+2x=0$, y queda $3x^2-5$.

Para $x=0$, solo queda $c$, así que $c=3$.

Sí. Para $x=0$ vale −1. Se anula para $x=\frac{1}{2}$ y es negativo para $x<\frac{1}{2}$. La cancelación de los términos cuadrados no obliga a que el resultado sea positivo.