Una cantidad que pasa de 75 a 81

Una persona pesaba 75 kg y, después de las vacaciones, pesa 81 kg. Calcula el porcentaje de aumento.

1. El aumento ha sido de 81 − 75 = 6 kg.
2. Comparamos el aumento con el valor inicial: 675 · 100 = 8 %

Dividir entre 81 daría una comparación con el valor final. La variación porcentual se calcula respecto al inicial.

Recuperar el precio anterior al descuento

Después de aplicar un descuento del 18 %, un lote cuesta 1640 €. ¿Cuál era su precio original?

1. Tras descontar el 18 %, se paga el 82 % del precio: 100 % − 18 % = 82 %.
2. Si llamamos x al precio original: 0,82x = 1640
3. Despejamos: x = 16400,82 = 2000

No se recupera el precio sumando el 18 % de 1640, porque 1640 ya es la cantidad rebajada.

Concentración de una aleación

Se mezclan 4 g de una aleación con un 80 % de oro y 6 g de otra con un 50 %. Calcula el porcentaje de oro de la mezcla.

1. Oro de la primera aleación: 4 · 0,80 = 3,2 g.
2. Oro de la segunda: 6 · 0,50 = 3 g.
3. Hay 6,2 g de oro en 10 g de mezcla.
4. 6,210 · 100 = 62 %

No puede hacerse la media simple de 80 y 50, porque las cantidades mezcladas no son iguales.

Alquiler según la superficie

El alquiler de un local de 92 m² es de 460 €. ¿Cuánto costaría otro de 150 m² si el precio por metro cuadrado fuese el mismo?

1. Precio por metro cuadrado: 460 €92 m² = 5 €·m⁻².
2. Para 150 m²: 150 · 5 = 750 €.

La relación es directa: al aumentar la superficie, aumenta el precio en la misma proporción.

Dos grifos llenando una bañera

Un grifo llena una bañera en 30 minutos y otro en 20 minutos. ¿Cuánto tardan si se abren a la vez?

1. En un minuto, el primero llena 130 de la bañera y el segundo 120.
2. Sumamos los ritmos: 130 + 120 = 2 + 360 = 112
3. Si en un minuto llenan 112, necesitan 12 minutos para llenarla entera.

No se promedian los tiempos. Lo que se suma es la parte de trabajo realizada por minuto.

Un premio repartido según la aportación

Tres personas aportan 20 €, 35 € y 45 € a un décimo premiado con 180 000 €. Reparte el premio de forma proporcional.

1. La aportación total es 20 + 35 + 45 = 100 €.
2. Las participaciones son, por tanto, 20 %, 35 % y 45 %.
3. Calculamos 180 000 · 0,20 = 36 000, 180 000 · 0,35 = 63 000 y 180 000 · 0,45 = 81 000.
4. Comprobación: 36 000 + 63 000 + 81 000 = 180 000.

Una inversión que sube, baja y vuelve a subir

Una inversión de 5000 € gana un 20 % el primer año, pierde un 10 % el segundo y gana un 5 % el tercero. ¿Cuál es su valor final?

1. Los factores son 1,20, 0,90 y 1,05.
2. C_final = 5000 · 1,20 · 0,90 · 1,05 = 5670

Un aumento del 20 %, una bajada del 10 % y un aumento del 5 % no equivalen a subir directamente un 15 %.

Intereses de un préstamo durante nueve meses

Se prestan 3200 € al 4,5 % anual durante nueve meses, con interés simple. Calcula los intereses y la cantidad que habrá que devolver.

1. Nueve meses son 912 = 0,75 años y 4,5 % = 0,045.
2. I = 3200 · 0,045 · 0,75 = 108
3. Total: 3200 + 108 = 3308 €.

Paréntesis y reducción de términos

Resuelve 3(x − 2) − 2(x + 1) = 7.

1. Quitamos paréntesis: 3x − 6 − 2x − 2 = 7.
2. Reducimos: x − 8 = 7.
3. Sumamos 8 en ambos miembros: x = 15.
4. Comprobación: 3 · 13 − 2 · 16 = 39 − 32 = 7.

Eliminar denominadores sin perder términos

Resuelve x3 + x − 22 = 5.

1. El mínimo común múltiplo de 3 y 2 es 6.
2. Multiplicamos toda la ecuación por 6: 2x + 3(x − 2) = 30.
3. 2x + 3x − 6 = 30, de donde 5x = 36.
4. x = 365 = 7,2.

El 6 multiplica a todos los términos, incluido el 5 del segundo miembro.

Una ecuación que se puede factorizar

Resuelve x² − 7x + 12 = 0.

1. Buscamos dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea −7: −3 y −4.
2. Factorizamos: (x − 3)(x − 4) = 0.
3. Un producto vale cero si alguno de sus factores vale cero.

Comprobar las soluciones después de elevar al cuadrado

Resuelve √(2x + 3) = x.

1. Como una raíz cuadrada no es negativa, debe cumplirse x ≥ 0.
2. Elevamos al cuadrado: 2x + 3 = x².
3. Ordenamos: x² − 2x − 3 = 0 = (x − 3)(x + 1).
4. Las candidatas son x = 3 y x = −1.
5. Comprobamos. √9 = 3 funciona. x = −1 no puede funcionar porque el segundo miembro sería negativo.

Entradas de dos precios

En una actividad se venden 34 entradas: las de adulto cuestan 12 € y las juveniles 8 €. La recaudación es 336 €. ¿Cuántas entradas de cada clase se vendieron?

1. Llamamos x a las entradas de adulto e y a las juveniles.
2. x + y = 34    y    12x + 8y = 336
3. De la primera, y = 34 − x.
4. Sustituimos: 12x + 8(34 − x) = 336.
5. 12x + 272 − 8x = 336, luego 4x = 64 y x = 16.
6. y = 34 − 16 = 18.

Tres incógnitas con relaciones sencillas

Resuelve el sistema x + y + z = 12, x − y = 2, y + z = 7.

1. De x − y = 2 obtenemos x = y + 2.
2. De y + z = 7 obtenemos z = 7 − y.
3. Sustituimos ambas expresiones en la primera: (y + 2) + y + (7 − y) = 12.
4. y + 9 = 12, luego y = 3.
5. x = 3 + 2 = 5 y z = 7 − 3 = 4.

Las tres ecuaciones se cumplen, así que el sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

Expresar la solución mediante un intervalo

Resuelve 3x − 5 ≤ 2x + 4 y expresa la solución como intervalo.

1. Restamos 2x: x − 5 ≤ 4.
2. Sumamos 5: x ≤ 9.
3. El 9 está incluido porque la desigualdad permite la igualdad.

Producto, resta e inversa de una matriz 2 × 2

Sean A = 21−13, B = 120−1 y C = 3121. Calcula AB − 2C y la inversa de C.

1. Multiplicamos filas de A por columnas de B: AB = 23−1−5.
2. 2C = 6242.
3. Restamos elemento a elemento: AB − 2C = −41−5−7.
4. El determinante de C es 3 · 1 − 1 · 2 = 1.
5. Intercambiamos los elementos de la diagonal principal y cambiamos el signo de los otros dos: C⁻¹ = 1−1−23.

Recta que pasa por dos puntos

Halla la ecuación de la recta que pasa por A(2, 5) y B(6, 13).

1. Calculamos la pendiente: m = 13 − 56 − 2 = 84 = 2
2. Utilizamos el punto A: y − 5 = 2(x − 2).
3. Desarrollamos: y − 5 = 2x − 4, por tanto y = 2x + 1.
4. Comprobación con B: 2 · 6 + 1 = 13.

Interpretar una tarifa de taxi

Un taxi cobra 3,50 € de bajada de bandera y 1,20 € por kilómetro. Escribe la función del coste, calcula un trayecto de 8 km y averigua cuántos kilómetros se recorrieron si se pagaron 20,30 €.

1. Si x es la distancia, C(x) = 3,50 + 1,20x.
2. Para 8 km: C(8) = 3,50 + 1,20 · 8 = 13,10 €.
3. Si C = 20,30: 3,50 + 1,20x = 20,30.
4. 1,20x = 16,80 y x = 14 km.

Vértice y cortes con los ejes

Estudia el vértice y los puntos de corte con los ejes de f(x) = x² − 6x + 5.

1. La abscisa del vértice es x_v = −(−6)2 · 1 = 3.
2. f(3) = 9 − 18 + 5 = −4. El vértice es V(3, −4).
3. Cortes con el eje X: x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) = 0. Son (1, 0) y (5, 0).
4. Corte con el eje Y: f(0) = 5. Es (0, 5).

Como el coeficiente de x² es positivo, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.

Producción y beneficio

El beneficio de una pequeña empresa viene dado por B(x) = x(80 − x), donde x es el número de unidades. ¿Para qué producciones se obtienen 1500 €? ¿Cuál es el beneficio máximo?

1. Para obtener 1500: x(80 − x) = 1500.
2. Ordenamos: x² − 80x + 1500 = 0.
3. El discriminante es 80² − 4 · 1500 = 400 y √400 = 20.
4. x = 80 ± 202, luego x = 30 o x = 50.
5. El máximo está en x = −b2a = 40. B(40) = 40 · 40 = 1600.

Valores prohibidos en una función racional

Determina el dominio de f(x) = x + 1x² − 9.

1. Una fracción no está definida cuando su denominador vale cero.
2. x² − 9 = 0, por lo que (x − 3)(x + 3) = 0.
3. Los valores prohibidos son x = 3 y x = −3.

Una función definida por tramos

Estudia la continuidad en x = 2 de la función que vale x² − 1 si x < 2 y 3x − 3 si x ≥ 2.

1. Límite por la izquierda: 2² − 1 = 3.
2. Límite por la derecha: 3 · 2 − 3 = 3.
3. Valor de la función: como x = 2 pertenece al segundo tramo, f(2) = 3.
4. Los dos límites y el valor coinciden.

Depreciación anual de un equipo

Un equipo cuesta 1200 € y pierde cada año el 15 % de su valor. ¿Cuánto valdrá después de tres años?

1. Conserva cada año el 85 % de su valor, por lo que el factor es 0,85.
2. V(3) = 1200 · 0,85³ = 736,95

La pérdida se aplica cada año al valor que queda, no siempre a los 1200 € iniciales.

Calcular la escala de un mapa

Dos pueblos están separados 9,6 cm en un mapa y 2,4 km en la realidad. Calcula la escala.

1. Expresamos ambas distancias en centímetros: 2,4 km = 240 000 cm.
2. La razón es 9,6 : 240 000.
3. Dividimos ambos términos entre 9,6: 1 : 25 000.

Un centímetro del mapa representa 25 000 cm reales, es decir, 250 m.

Baldosas para una habitación

Una habitación rectangular mide 6,4 m por 4,8 m. Se colocarán baldosas cuadradas de 40 cm de lado y se comprará un 8 % adicional por cortes y roturas. ¿Cuántas baldosas deben comprarse?

1. Área de la habitación: 6,4 · 4,8 = 30,72 m².
2. Cada baldosa mide 0,40 m de lado y ocupa 0,40² = 0,16 m².
3. Sin desperdicio: 30,72 ÷ 0,16 = 192 baldosas.
4. Con un 8 % adicional: 192 · 1,08 = 207,36.
5. No pueden comprarse fracciones de baldosa, así que se redondea hacia arriba.

Capacidad de un depósito cilíndrico

Un depósito cilíndrico tiene 1,2 m de radio y 2,5 m de altura. Calcula su capacidad aproximada en litros.

1. Volumen del cilindro: V = πr²h.
2. V = π · 1,2² · 2,5 = 3,6π ≈ 11,31 m³.
3. Como 1 m³ = 1000 L: 11,31 · 1000 ≈ 11 310 L.

Una escalera de emergencia

Una escalera mide 10 m y forma 40° con el suelo. Calcula la altura alcanzada y la distancia horizontal a la pared. Usa sen 40° = 0,643 y cos 40° = 0,766.

1. La escalera es la hipotenusa.
2. Altura: h = 10 · sen 40° = 10 · 0,643 = 6,43 m.
3. Distancia horizontal: d = 10 · cos 40° = 10 · 0,766 = 7,66 m.

Altura de una nube entre dos observadores

Dos observadores están separados 2 km. Una nube situada entre ambos se ve con ángulos de elevación de 30° y 60°. Calcula la altura de la nube.

1. Llamamos x a la distancia horizontal desde el primer observador hasta la vertical de la nube. Desde el segundo será 2 − x.
2. Con tan 30° = 1√3 y tan 60° = √3, se obtiene h = x√3 y h = (2 − x)√3.
3. Igualamos: x√3 = (2 − x)√3.
4. Multiplicamos por √3: x = 3(2 − x), luego 4x = 6 y x = 1,5 km.
5. h = 1,5√3 ≈ 0,866 km.

Resumir una lista de datos

Calcula la media, la mediana y la moda de 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7 y 9.

1. La suma es 50 y hay 8 datos: media = 508 = 6,25.
2. Al haber 8 datos, la mediana es la media del cuarto y el quinto: 6 + 72 = 6,5.
3. El valor que más se repite es 7.

Una nota con apartados de distinto peso

Una prueba valora cálculo un 25 %, álgebra un 35 % y problemas un 40 %. Una persona obtiene 6,4, 7,2 y 8,1, respectivamente. Calcula la nota final.

1. Multiplicamos cada nota por su peso.
2. 0,25 · 6,4 + 0,35 · 7,2 + 0,40 · 8,1
3. 1,60 + 2,52 + 3,24 = 7,36.

Extraer dos objetos sin reemplazamiento

Hay 7 frascos: 4 verdes y 3 transparentes. Se extraen dos sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que al menos uno sea verde.

1. Es más rápido calcular el suceso contrario: que los dos sean transparentes.
2. P(dos transparentes) = 37 · 26 = 17
3. P(al menos uno verde) = 1 − 17 = 67.

Baloncesto en una clase

El 65 % de una clase son chicos y el 35 % chicas. Practica baloncesto el 30 % de los chicos y el 25 % de las chicas. Calcula la probabilidad de elegir a alguien que practique baloncesto y la de elegir a una chica que lo practique.

1. Chico y baloncesto: 0,65 · 0,30 = 0,195.
2. Chica y baloncesto: 0,35 · 0,25 = 0,0875.
3. Baloncesto: 0,195 + 0,0875 = 0,2825.

Una receta y el tipo de consulta

El 60 % de las consultas de un centro son de medicina general y el 40 % de especialista. Se receta medicación en el 35 % de las primeras y en el 20 % de las segundas. Si una consulta termina con receta, ¿qué probabilidad hay de que haya sido de medicina general?

1. General y receta: 0,60 · 0,35 = 0,21.
2. Especialista y receta: 0,40 · 0,20 = 0,08.
3. Probabilidad total de receta: 0,21 + 0,08 = 0,29.
4. P(general | receta) = 0,210,29 ≈ 0,7241

La condición “sabiendo que terminó con receta” cambia el grupo de referencia: ahora solo miramos las consultas con receta.

Preferencias de ciclos formativos

En una encuesta, 15 personas prefieren Administración y Finanzas, 9 Desarrollo de Aplicaciones Web, 18 Educación Infantil y 8 Marketing y Publicidad. Determina la moda y su porcentaje.

1. Total: 15 + 9 + 18 + 8 = 50 personas.
2. La frecuencia más alta es 18, correspondiente a Educación Infantil.
3. Porcentaje: 1850 · 100 = 36 %.

Operaciones con potencias de diez

Calcula 3,6 · 10⁵ · 2,5 · 10⁻³9 · 10 y expresa el resultado en notación científica.

Datos e incógnita. Hay dos coeficientes decimales y dos potencias de diez en el numerador. Se pide simplificar toda la expresión sin convertir prematuramente cada cantidad a forma decimal.

Idea clave. Se agrupan por separado los coeficientes y las potencias de la misma base. Al dividir potencias de diez se restan sus exponentes.

1. Reordenamos los factores sin cambiar su valor: 3,6 · 2,59 · 10⁵⁻³⁻¹
2. El producto de los coeficientes del numerador es 3,6 · 2,5 = 9.
3. La parte numérica queda 99 = 1.
4. El exponente neto es 5 − 3 − 1 = 1. Por tanto, la potencia resultante es 10¹.
5. Unimos ambas partes: 1 · 10¹ = 10.

Revisión. De forma decimal, 3,6 · 10⁵ = 360 000 y 2,5 · 10⁻³ = 0,0025. Su producto es 900 y el denominador es 90. El cociente vuelve a ser 10.

Operación combinada sin perder el orden

Calcula 34 − [23 − (12 · 56)].

Datos e incógnita. La expresión contiene paréntesis, corchetes, un producto y varias restas. Se busca una fracción irreducible.

Idea clave. Se respeta la jerarquía de operaciones. Primero se resuelve el producto del paréntesis, después el corchete y finalmente la resta exterior.

1. Producto interior: 12 · 56 = 512
2. Para restar dentro del corchete, expresamos 23 con denominador 12: 23 = 812.
3. Resolvemos el corchete: 812 − 512 = 312 = 14
4. La expresión completa queda 34 − 14.
5. Como los denominadores coinciden, restamos los numeradores: 3 − 14 = 24 = 12

Revisión. El valor del corchete es positivo y menor que 34. Por tanto, el resultado debe ser positivo y menor que 34. La fracción 12 cumple ambas condiciones.

Recuperar el precio anterior

Tras subir un 12 %, una matrícula cuesta 873,60 €. ¿Cuál era su precio antes de la subida?

Datos e incógnita. Precio final 873,60 €. Aumento 12 %. La incógnita x es el precio inicial.

Idea clave. El precio final representa el 112 % del inicial. No hay que restar el 12 % de 873,60 €, porque ese porcentaje se calculó sobre una base anterior desconocida.

1. Transformamos el porcentaje final en factor multiplicativo: 112 % = 1,12.
2. Planteamos la relación entre ambos precios: 1,12x = 873,60
3. Despejamos la cantidad inicial: x = 873,601,12
4. Efectuamos el cociente: x = 780.
5. Calculamos la subida para comprobarla: 780 · 0,12 = 93,60 €.

Revisión. 780 € + 93,60 € = 873,60 €. La comprobación reproduce exactamente el precio final y confirma que se ha usado como base el precio inicial.

Dos rebajas no se suman

Un equipo de 640 € recibe un descuento del 15 % y después otro del 10 %. Calcula el precio final y la rebaja efectiva respecto al precio inicial.

Datos e incógnita. Precio inicial 640 €. Primer descuento 15 %. Segundo descuento 10 %. Se piden el precio final y el porcentaje total rebajado.

Idea clave. Los descuentos se aplican de forma sucesiva sobre bases diferentes. Sus factores son 0,85 y 0,90, por lo que deben multiplicarse.

1. Después del primer descuento queda el 85 % del precio: 640 · 0,85 = 544 €.
2. El segundo descuento actúa sobre 544 €, no sobre 640 €: 544 · 0,90 = 489,60 €.
3. También puede hacerse en una sola expresión: 640 · 0,85 · 0,90 = 489,60
4. La rebaja en euros es 640 − 489,60 = 150,40 €.
5. Comparamos esa rebaja con el precio inicial: 150,40640 · 100 = 23,5 %

Revisión. El factor total es 0,85 · 0,90 = 0,765. Se conserva el 76,5 % del precio y, por tanto, se descuenta el 23,5 %. No se obtiene un 25 % porque el segundo descuento se calcula sobre un precio ya rebajado.

Organización de una cuadrilla

Seis trabajadores tardan 15 días en terminar una obra. ¿Cuánto tardarían diez trabajadores si todos mantienen el mismo ritmo?

Datos e incógnita. Primera cuadrilla 6 trabajadores. Tiempo inicial 15 días. Segunda cuadrilla 10 trabajadores. La incógnita d es el nuevo tiempo.

Idea clave. Para una cantidad fija de trabajo, al aumentar el número de trabajadores disminuye el tiempo. El producto trabajadores · días permanece constante.

1. Medimos la obra en jornadas de una persona: 6 · 15 = 90 jornadas.
2. Planteamos la igualdad de trabajo: 6 · 15 = 10d
3. Despejamos: d = 6 · 1510
4. Calculamos: d = 9010 = 9 días.

Revisión. La primera organización aporta 6 · 15 = 90 jornadas y la segunda 10 · 9 = 90 jornadas. Además, tiene sentido que diez personas empleen menos tiempo que seis.

Un viaje de ida y vuelta

Un vehículo recorre 120 km a 80 km·h⁻¹ y regresa por la misma ruta a 60 km·h⁻¹. Calcula la velocidad media del viaje completo.

Datos e incógnita. Cada trayecto mide 120 km. Las velocidades son 80 km·h⁻¹ y 60 km·h⁻¹. Se pide la razón entre la distancia total y el tiempo total.

Idea clave. La velocidad media no es la media aritmética de las dos velocidades. Primero deben sumarse las distancias y los tiempos reales de cada tramo.

1. Tiempo de ida: t_ida = 120 km80 km·h⁻¹ = 1,5 h
2. Tiempo de vuelta: t_vuelta = 120 km60 km·h⁻¹ = 2 h
3. Distancia total: 120 + 120 = 240 km.
4. Tiempo total: 1,5 + 2 = 3,5 h.
5. Velocidad media: v_m = 240 km3,5 h ≈ 68,57 km·h⁻¹

Revisión. El resultado está entre 60 y 80 km·h⁻¹ y queda más cerca de 60 porque el vehículo circula durante más tiempo a la velocidad menor.

Adaptar una receta

Una receta para cinco personas necesita 600 g de harina. ¿Cuánta harina hace falta para ocho personas si se mantienen las mismas proporciones?

Datos e incógnita. Cinco personas necesitan 600 g. La incógnita h es la harina necesaria para ocho personas.

Idea clave. La cantidad de harina es directamente proporcional al número de personas. Al multiplicar el número de comensales por un factor, la harina se multiplica por el mismo factor.

1. Calculamos la harina correspondiente a una persona: 600 g5 = 120 g
2. Multiplicamos la cantidad individual por ocho: 120 · 8 = 960 g.
3. De forma equivalente, el factor de ampliación es 85 = 1,6.
4. Aplicando el factor a la receta original: 600 · 1,6 = 960 g.

Revisión. Ocho personas son más que cinco, por lo que la cantidad debe superar 600 g. Además, 960 g repartidos entre ocho personas dan 120 g por persona, la misma proporción que al principio.

Aumentar una concentración

Hay 10 L de una disolución al 30 %. ¿Cuántos litros de sustancia pura deben añadirse para obtener una concentración final del 50 %?

Datos e incógnita. Volumen inicial 10 L. Concentración inicial 30 %. Concentración final 50 %. La incógnita x representa los litros de sustancia pura añadidos.

Idea clave. Al añadir sustancia pura aumentan a la vez la cantidad de sustancia y el volumen total. La concentración final es la razón entre ambas cantidades finales.

1. Sustancia presente al comienzo: 10 · 0,30 = 3 L.
2. Después de añadir x litros puros habrá 3 + x litros de sustancia.
3. El volumen total será 10 + x litros.
4. Planteamos la concentración final: 3 + x10 + x = 0,50
5. Multiplicamos por 10 + x: 3 + x = 0,50(10 + x).
6. Desarrollamos y resolvemos: 3 + x = 5 + 0,50x, luego 0,50x = 2 y x = 4.

Revisión. Al final hay 3 + 4 = 7 L de sustancia en 10 + 4 = 14 L de mezcla. La fracción 714 equivale a 0,50, exactamente el 50 %.

Depósito durante quince meses

Se depositan 4500 € al 4,2 % anual durante 15 meses con interés simple. Calcula los intereses generados y el capital final.

Datos e incógnita. Capital inicial C = 4500 €. Tipo anual r = 4,2 % = 0,042. Tiempo 15 meses. Se piden el interés I y el capital final.

Idea clave. En el interés simple, los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial. El tiempo debe expresarse en años para ser coherente con un tipo anual.

1. Convertimos los meses en años: t = 1512 = 54 = 1,25 años
2. Aplicamos el modelo I = C · r · t.
3. Sustituimos: I = 4500 · 0,042 · 1,25.
4. Interés de un año: 4500 · 0,042 = 189 €. Para 1,25 años: 189 · 1,25 = 236,25 €.
5. Capital final: 4500 + 236,25 = 4736,25 €.

Revisión. Quince meses son algo más de un año, por lo que el interés debe ser algo mayor que 189 €. Los 236,25 € obtenidos son coherentes.

Capitalización anual

Calcula el valor de 6000 € colocados al 2,5 % anual compuesto durante tres años y determina el interés total ganado.

Datos e incógnita. Capital inicial 6000 €. Tipo anual 2,5 %. Tiempo 3 años. Los intereses de cada año se incorporan al capital del siguiente.

Idea clave. Cada año se conserva el 100 % del capital anterior y se añade un 2,5 %. Por tanto, el factor anual es 1,025 y se aplica tres veces.

1. Modelo de capitalización: C₃ = 6000 · (1 + 0,025)³
2. Simplificamos el factor: C₃ = 6000 · 1,025³.
3. Después del primer año: 6000 · 1,025 = 6150 €.
4. Después del segundo: 6150 · 1,025 = 6303,75 €.
5. Después del tercero: 6303,75 · 1,025 = 6461,34375 €.
6. Redondeamos a céntimos y calculamos la ganancia: 6461,34 − 6000 = 461,34 €.

Revisión. Con interés simple se obtendrían 6000 · 0,025 · 3 = 450 €. El interés compuesto debe dar una cantidad ligeramente mayor, como ocurre con 461,34 €.

Orden correcto de las operaciones

Un producto marcado a 1250 € tiene un descuento del 12 % y después se aplica un IVA del 21 %. Calcula el importe final y la variación porcentual respecto al precio marcado.

Datos e incógnita. Precio marcado 1250 €. Descuento 12 %. IVA 21 %. Se piden el pago final y la variación neta.

Idea clave. Primero se calcula el precio rebajado y sobre esa nueva base se aplica el impuesto. Los factores sucesivos son 0,88 y 1,21.

1. Importe del descuento: 1250 · 0,12 = 150 €.
2. Precio después del descuento: 1250 − 150 = 1100 €.
3. IVA sobre el precio rebajado: 1100 · 0,21 = 231 €.
4. Importe final: 1100 + 231 = 1331 €.
5. La diferencia respecto al precio marcado es 1331 − 1250 = 81 €.
6. Variación porcentual: 811250 · 100 = 6,48 %

Revisión. El factor total es 0,88 · 1,21 = 1,0648. Aplicado a 1250 € produce 1331 €. El descuento y el IVA no se compensan porque actúan sobre bases distintas.

Cuántas unidades hay que vender

Una actividad tiene 2400 € de costes fijos, un coste variable de 18 € por unidad y un precio de venta de 30 € por unidad. ¿A partir de cuántas unidades deja de haber pérdidas?

Datos e incógnita. Coste fijo 2400 €. Coste variable unitario 18 €. Precio unitario 30 €. La incógnita x es el número de unidades vendidas.

Idea clave. En el punto de equilibrio los ingresos y los costes son iguales. Por debajo hay pérdidas y por encima hay beneficio.

1. Ingresos por x unidades: I(x) = 30x.
2. Costes totales: C(x) = 2400 + 18x.
3. Igualamos ambas funciones: 30x = 2400 + 18x
4. Restamos 18x en ambos miembros: 12x = 2400.
5. Despejamos: x = 240012 = 200
6. Con 200 unidades, I(200) = 6000 € y C(200) = 2400 + 3600 = 6000 €.

Revisión. Cada unidad aporta 30 − 18 = 12 € para cubrir el coste fijo. Se necesitan exactamente 240012 = 200 aportaciones.

Dos distancias posibles

Resuelve |2x − 5| = 9.

Datos e incógnita. Se busca todo número real x cuya expresión 2x − 5 esté a una distancia de 9 unidades respecto de cero.

Idea clave. Si |A| = 9, entonces A puede valer 9 o −9. Por eso una ecuación de valor absoluto de este tipo se desdobla en dos ecuaciones lineales.

1. Primer caso: 2x − 5 = 9.
2. Sumamos 5 en ambos miembros: 2x = 14. Después dividimos entre 2 y obtenemos x = 7.
3. Segundo caso: 2x − 5 = −9.
4. Sumamos 5: 2x = −4. Al dividir entre 2 resulta x = −2.
5. El conjunto de candidatas es {−2, 7}.

Revisión. Para x = 7 se obtiene |14 − 5| = |9| = 9. Para x = −2 se obtiene |−4 − 5| = |−9| = 9. Ambas soluciones son válidas.

Denominadores y valores prohibidos

Resuelve 2x − 1 + 1x + 1 = 3x² − 1.

Datos e incógnita. La incógnita aparece en tres denominadores. Antes de operar hay que determinar qué valores de x anulan alguno de ellos.

Idea clave. Se factoriza x² − 1 = (x − 1)(x + 1) y se multiplica toda la ecuación por ese denominador común. Los valores prohibidos nunca pueden recuperarse como soluciones.

1. Restricciones: x − 1 ≠ 0 y x + 1 ≠ 0. Por tanto, x ≠ 1 y x ≠ −1.
2. El mínimo denominador común es (x − 1)(x + 1).
3. Multiplicamos todos los términos por él: 2(x + 1) + (x − 1) = 3
4. Quitamos paréntesis: 2x + 2 + x − 1 = 3.
5. Reducimos términos: 3x + 1 = 3, luego 3x = 2.
6. Despejamos: x = 23

Revisión. La solución no coincide con 1 ni con −1, de modo que pertenece al dominio. Al sustituirla, el primer miembro y el segundo miembro toman el mismo valor.

Dimensiones de un rectángulo

Un rectángulo mide 3 m más de largo que de ancho y tiene un área de 54 m². Calcula sus dimensiones.

Datos e incógnita. Área 54 m². Diferencia entre largo y ancho 3 m. Llamamos x al ancho.

Idea clave. El largo se expresa en función del ancho y se utiliza la fórmula área = largo · ancho. La solución algebraica negativa se descartará por el significado geométrico.

1. Ancho = x y largo = x + 3.
2. Planteamos el área: x(x + 3) = 54.
3. Desarrollamos y pasamos todo al primer miembro: x² + 3x − 54 = 0.
4. Buscamos dos números cuyo producto sea −54 y cuya suma sea 3. Son 9 y −6.
5. Factorizamos: (x + 9)(x − 6) = 0.
6. Las raíces son x = −9 y x = 6. Solo x = 6 puede representar una longitud.
7. El largo es 6 + 3 = 9 m.

Revisión. La diferencia es 9 − 6 = 3 m y el área es 6 · 9 = 54 m². Se cumplen las dos condiciones del enunciado.

Combinar dos precios

Se quieren obtener 20 kg de una mezcla a 4,20 €·kg⁻¹ utilizando productos de 3,60 €·kg⁻¹ y 5,10 €·kg⁻¹. ¿Cuántos kilogramos deben emplearse de cada producto?

Datos e incógnita. Masa total 20 kg. Coste objetivo 4,20 € por kilogramo. Sean x los kilogramos del producto barato e y los del caro.

Idea clave. Se conservan dos magnitudes. La primera ecuación expresa la masa total y la segunda el coste total de la mezcla.

1. Ecuación de masas: x + y = 20.
2. El coste total deseado es 20 · 4,20 = 84 €.
3. Ecuación de costes: 3,60x + 5,10y = 84.
4. De la primera ecuación despejamos x = 20 − y.
5. Sustituimos: 3,60(20 − y) + 5,10y = 84.
6. Desarrollamos: 72 − 3,60y + 5,10y = 84, luego 1,50y = 12.
7. Obtenemos y = 8 kg y x = 20 − 8 = 12 kg.

Revisión. La masa es 12 + 8 = 20 kg. El coste es 12 · 3,60 + 8 · 5,10 = 43,20 + 40,80 = 84 €, que corresponde a 4,20 € por kilogramo.

Reparto con relaciones

Tres cantidades suman 100. La primera duplica la segunda y la tercera supera en 10 unidades a la segunda. Halla las tres cantidades.

Datos e incógnita. Sean x, y, z las cantidades en el orden citado. Se conoce su suma y dos relaciones entre ellas.

Idea clave. Las relaciones permiten escribir x y z en función de y. Así, el sistema de tres incógnitas se reduce a una sola ecuación.

1. Suma total: x + y + z = 100.
2. Primera relación: x = 2y.
3. Segunda relación: z = y + 10.
4. Sustituimos en la suma: 2y + y + (y + 10) = 100.
5. Reducimos: 4y + 10 = 100, luego 4y = 90.
6. Despejamos y = 22,5.
7. Calculamos las otras cantidades: x = 2 · 22,5 = 45 y z = 22,5 + 10 = 32,5.

Revisión. 45 + 22,5 + 32,5 = 100. Además, 45 es el doble de 22,5 y 32,5 supera a 22,5 en 10 unidades.

Compatibilidad según el valor de k

Estudia, según el valor de k, el sistema formado por x + y = 4 y 2x + 2y = k.

Datos e incógnita. El parámetro k solo aparece en el término independiente de la segunda ecuación. Se pide clasificar el sistema, no encontrar una única pareja concreta.

Idea clave. Los coeficientes de la segunda ecuación son exactamente el doble de los de la primera. La relación entre los términos independientes decidirá si ambas ecuaciones representan la misma recta o dos rectas paralelas.

1. Multiplicamos la primera ecuación por 2: 2x + 2y = 8.
2. Si k = 8, la segunda ecuación coincide con la anterior.
3. En ese caso, todas las parejas de la forma (x, 4 − x) satisfacen ambas ecuaciones. Hay infinitas soluciones.
4. Si k ≠ 8, las dos ecuaciones tienen el mismo primer miembro pero distintos términos independientes.
5. Geométricamente son rectas paralelas distintas. No existe ninguna pareja que cumpla ambas.
6. No puede aparecer una solución única para ningún valor de k, porque los coeficientes siempre son proporcionales.

Revisión. Restar dos veces la primera ecuación a la segunda produce 0 = k − 8. Esta igualdad solo es cierta cuando k = 8 y resume toda la clasificación.

Coste de una tarifa

Una tarifa incluye 15 € fijos y 0,08 € por minuto consumido. Escribe la función del coste y calcula cuántos minutos se consumieron si la factura fue de 35 €.

Datos e incógnita. Cuota fija 15 €. Precio variable 0,08 € por minuto. La variable m representa los minutos y C(m) el coste total.

Idea clave. Una función afín suma una parte fija y otra proporcional al consumo. El término independiente es 15 y la pendiente es 0,08.

1. Coste variable de m minutos: 0,08m.
2. Función completa: C(m) = 15 + 0,08m, con m ≥ 0.
3. Igualamos al importe conocido: 15 + 0,08m = 35.
4. Restamos la cuota fija: 0,08m = 20.
5. Despejamos: m = 200,08 = 250

Revisión. C(250) = 15 + 0,08 · 250 = 15 + 20 = 35 €. El resultado reproduce la factura.

Tarifa de aparcamiento

Un aparcamiento cobra 2 €·h⁻¹ hasta dos horas. A partir de ese momento cobra los 4 € iniciales más 1,20 € por cada hora adicional. Escribe C(t), calcula el coste de cinco horas y estudia la continuidad en t = 2.

Datos e incógnita. Primer tramo desde 0 hasta 2 horas. Segundo tramo para t mayor que 2. Se pide modelizar el coste, evaluarlo y comparar los dos tramos en el punto de unión.

Idea clave. La expresión cambia después de dos horas, pero el segundo tramo debe comenzar desde los 4 € ya acumulados.

1. Para 0 ≤ t ≤ 2, el coste es C(t) = 2t.
2. Para t > 2, se pagan 4 € por las dos primeras horas y 1,20(t − 2) por el exceso. Así, C(t) = 4 + 1,20(t − 2).
3. Como 5 > 2, usamos el segundo tramo: C(5) = 4 + 1,20(5 − 2).
4. C(5) = 4 + 1,20 · 3 = 7,60 €.
5. En t = 2, el primer tramo vale 2 · 2 = 4 €.
6. Al aproximarnos a 2 por el segundo tramo obtenemos 4 + 1,20(2 − 2) = 4 €. Ambos valores coinciden.

Revisión. No aparece ningún salto en la tarifa. Justo antes y justo después de dos horas el coste se aproxima a 4 €.

Reconstruir una función por sus ceros

Una parábola corta el eje X en x = 2 y x = 6 y pasa por el punto (0, 12). Halla su ecuación, su eje de simetría y su vértice.

Datos e incógnita. Las raíces son 2 y 6. Además, f(0) = 12. Se busca el coeficiente principal y los elementos básicos de la gráfica.

Idea clave. Una función cuadrática con raíces r₁ y r₂ puede escribirse como f(x) = a(x − r₁)(x − r₂).

1. Usamos las raíces: f(x) = a(x − 2)(x − 6).
2. Imponemos el punto conocido: 12 = a(0 − 2)(0 − 6).
3. Entonces 12 = 12a y, por tanto, a = 1.
4. La función es f(x) = (x − 2)(x − 6) = x² − 8x + 12.
5. El eje de simetría está en el punto medio de las raíces: x = 2 + 62 = 4
6. Ordenada del vértice: f(4) = 16 − 32 + 12 = −4.

Revisión. f(2) = 0, f(6) = 0 y f(0) = 12. Como el coeficiente de x² es positivo, el vértice es un mínimo, coherente con su ordenada −4.

Aumento repetido de una población

Una población de 640 individuos crece un 25 % en cada periodo. ¿Cuántos individuos habrá después de tres periodos?

Datos e incógnita. Población inicial 640. Aumento por periodo 25 %. Número de periodos 3.

Idea clave. En cada periodo se multiplica por 1,25. El crecimiento es compuesto porque cada aumento se calcula sobre la población ya aumentada.

1. Factor de crecimiento: 1 + 0,25 = 1,25.
2. Modelo: P(n) = 640 · 1,25ⁿ.
3. Para n = 3: P(3) = 640 · 1,25³.
4. Calculamos 1,25² = 1,5625 y 1,25³ = 1,953125.
5. P(3) = 640 · 1,953125 = 1250.

Revisión. Periodo a periodo se obtienen 800, 1000 y 1250 individuos. Esta secuencia confirma el resultado y muestra por qué no basta con sumar un 75 % al valor inicial.

Raíz y denominador a la vez

Determina el dominio de f(x) = √(5 − 2x)x + 1.

Datos e incógnita. La variable aparece dentro de una raíz cuadrada y en un denominador. Deben cumplirse simultáneamente las dos restricciones.

Idea clave. El radicando de una raíz cuadrada real debe ser mayor o igual que cero y el denominador debe ser distinto de cero.

1. Condición de la raíz: 5 − 2x ≥ 0.
2. Restamos 5: −2x ≥ −5.
3. Dividimos entre −2 y cambiamos el sentido de la desigualdad: x ≤ 52.
4. Condición del denominador: x + 1 ≠ 0, luego x ≠ −1.
5. Partimos el intervalo x ≤ 52 en el punto excluido −1.

Revisión. El extremo x = 52 se admite porque hace cero el radicando, y √0 existe. El valor x = −1 se excluye porque anula el denominador.

Deshacer una función afín

Halla la función inversa de f(x) = 3x − 7 y comprueba el resultado mediante una composición.

Datos e incógnita. La función multiplica por 3 y después resta 7. La inversa debe deshacer esas operaciones en orden contrario.

Idea clave. Se escribe y = f(x), se intercambian las variables y se despeja la nueva y. Después se comprueba que la composición devuelve x.

1. Partimos de y = 3x − 7.
2. Intercambiamos x e y: x = 3y − 7.
3. Sumamos 7: x + 7 = 3y.
4. Dividimos entre 3: y = x + 73
5. Por tanto, f⁻¹(x) = x + 73.
6. Componemos: f(f⁻¹(x)) = 3 · x + 73 − 7 = x + 7 − 7 = x

Revisión. La composición produce la identidad. Además, la función original y su inversa tienen dominio y recorrido iguales a todos los números reales.

Superficie de una habitación en L

Una habitación se obtiene de un rectángulo de 10 m por 8 m al retirar una esquina rectangular de 4 m por 3 m. Calcula la superficie útil y el coste de colocar un suelo a 22 € por metro cuadrado.

Datos e incógnita. Rectángulo exterior de 10 m por 8 m. Zona retirada de 4 m por 3 m. Precio 22 €·m⁻².

Idea clave. Una figura en L puede calcularse como la diferencia entre un rectángulo grande y el rectángulo que falta.

1. Área del rectángulo exterior: A_grande = 10 · 8 = 80 m².
2. Área de la esquina retirada: A_hueco = 4 · 3 = 12 m².
3. Superficie útil: A = 80 − 12 = 68 m².
4. Coste del suelo: 68 · 22 = 1496 €.

Revisión. La superficie útil es menor que los 80 m² del rectángulo completo. Las unidades también son coherentes, porque m² · €·m⁻² = €.

Altura mediante sombras

Una persona de 1,80 m proyecta una sombra de 1,20 m. A la misma hora, un árbol proyecta una sombra de 8,40 m. Calcula la altura del árbol.

Datos e incógnita. Altura de referencia 1,80 m. Sombra de referencia 1,20 m. Sombra del árbol 8,40 m. La incógnita h es la altura del árbol.

Idea clave. Como los rayos solares tienen la misma inclinación, la persona y el árbol forman triángulos semejantes. La razón entre altura y sombra es constante.

1. Escribimos la proporción: 1,801,20 = h8,40
2. Multiplicamos en cruz: 1,20h = 1,80 · 8,40.
3. Calculamos el segundo miembro: 1,80 · 8,40 = 15,12.
4. Despejamos: h = 15,121,20 = 12,60 m

Revisión. La sombra del árbol es siete veces la de la persona, porque 8,40 = 7 · 1,20. Su altura también debe ser siete veces mayor: 7 · 1,80 = 12,60 m.

Depósito medio lleno

Un depósito cilíndrico de radio 1,5 m y altura 4 m está lleno hasta la mitad. Calcula el volumen de líquido en metros cúbicos y en litros.

Datos e incógnita. Radio r = 1,5 m. Altura h = 4 m. Fracción ocupada un medio. Se pide el volumen con dos unidades.

Idea clave. Primero se calcula el volumen total del cilindro y después se toma la mitad. La conversión final utiliza 1 m³ = 1000 L.

1. Volumen total: V = πr²h.
2. Sustituimos: V = π · 1,5² · 4.
3. Como 1,5² = 2,25, resulta V = π · 2,25 · 4 = 9π m³.
4. Volumen ocupado: V_líquido = 9π2 = 4,5π m³
5. Con π ≈ 3,1416: 4,5π ≈ 14,1372 m³.
6. En litros: 14,1372 · 1000 ≈ 14 137 L.

Revisión. El cilindro completo contiene 9π ≈ 28,27 m³. La mitad es aproximadamente 14,14 m³, como se ha obtenido.

Volumen y superficie

Calcula el volumen y el área de una esfera de radio 6 cm. Da los resultados exactos y aproximados.

Datos e incógnita. Radio r = 6 cm. Se piden una magnitud cúbica, el volumen, y una magnitud cuadrática, el área.

Idea clave. Se aplican V = 43πr³ y A = 4πr². Conviene conservar π hasta el último paso.

1. Cubo del radio: 6³ = 216 cm³.
2. Volumen: V = 43 · π · 216 = 288π cm³
3. Valor aproximado: V ≈ 288 · 3,1416 = 904,78 cm³.
4. Cuadrado del radio: 6² = 36 cm².
5. Área: A = 4 · π · 36 = 144π cm².
6. Valor aproximado: A ≈ 144 · 3,1416 = 452,39 cm².

Revisión. El volumen lleva cm³ y el área cm². Intercambiar estas unidades revelaría inmediatamente un error de fórmula o de interpretación.

Longitud e inclinación de un cable

Un cable une un punto situado a 4,8 m de altura con otro punto del suelo separado horizontalmente 6,4 m. Calcula la longitud del cable y el ángulo que forma con el suelo.

Datos e incógnita. Cateto vertical 4,8 m. Cateto horizontal 6,4 m. La hipotenusa L es el cable y α es su inclinación.

Idea clave. La longitud se obtiene con Pitágoras. Para el ángulo respecto al suelo, el cateto opuesto es 4,8 y el contiguo 6,4.

1. Aplicamos Pitágoras: L² = 4,8² + 6,4².
2. Calculamos: 4,8² = 23,04 y 6,4² = 40,96.
3. Entonces L² = 64 y L = √64 = 8 m.
4. Para la inclinación: tan α = 4,86,4 = 0,75
5. Aplicamos la función inversa: α = arctan(0,75) ≈ 36,87°.

Revisión. La hipotenusa 8 m es mayor que cada cateto. Además, sen 36,87° ≈ 0,6 y 8 · 0,6 = 4,8 m, lo que recupera la altura.

Triángulo con dos lados y el ángulo comprendido

Dos lados de un triángulo miden 7 cm y 9 cm y forman entre sí un ángulo de 60°. Calcula el tercer lado y el área.

Datos e incógnita. Lados a = 7 cm y b = 9 cm. Ángulo comprendido 60°. Se piden el lado opuesto c y el área.

Idea clave. Con dos lados y el ángulo comprendido se aplica el teorema del coseno para hallar el tercer lado y la fórmula trigonométrica del área.

1. Teorema del coseno: c² = 7² + 9² − 2 · 7 · 9 · cos 60°.
2. Como cos 60° = 0,5, resulta c² = 49 + 81 − 63 = 67.
3. Por tanto, c = √67 ≈ 8,19 cm.
4. Área: A = 12 · 7 · 9 · sen 60°
5. Como sen 60° = √32, el área exacta es 63√34 cm².
6. Numéricamente, A ≈ 27,28 cm².

Revisión. El lado hallado cumple la desigualdad triangular, porque 9 − 7 < 8,19 < 9 + 7. El área es menor que la de un rectángulo de lados 7 y 9.

Media, mediana y moda

Los valores 0, 1, 2 y 3 aparecen con frecuencias 4, 7, 6 y 3, respectivamente. Calcula la media, la mediana y la moda.

Datos e incógnita. Hay cuatro valores distintos con sus frecuencias. Se piden tres medidas de centralización.

Idea clave. La media utiliza una suma ponderada. La mediana depende de las posiciones centrales y la moda del valor con mayor frecuencia.

1. Número total de datos: n = 4 + 7 + 6 + 3 = 20.
2. Suma ponderada: 0 · 4 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 3 = 0 + 7 + 12 + 9 = 28.
3. Media: x = 2820 = 1,4
4. Como n = 20, la mediana ocupa el promedio de los puestos 10 y 11.
5. Los puestos 1 a 4 son ceros y los puestos 5 a 11 son unos. Por tanto, los puestos 10 y 11 valen 1.
6. La frecuencia mayor es 7 y corresponde al valor 1, que es la moda.

Revisión. Las tres medidas están dentro del intervalo de los datos, entre 0 y 3. La media algo superior a 1 refleja el peso de los valores 2 y 3.

Varianza y desviación típica

Calcula la varianza poblacional y la desviación típica de los datos 2, 4, 4, 6 y 9.

Datos e incógnita. Hay cinco observaciones y se consideran la población completa. Se piden la varianza y su raíz cuadrada.

Idea clave. Se calcula primero la media, después los cuadrados de las desviaciones respecto de ella y finalmente su promedio.

1. Media: x = 2 + 4 + 4 + 6 + 95 = 255 = 5
2. Desviaciones: −3, −1, −1, 1 y 4.
3. Cuadrados: 9, 1, 1, 1 y 16.
4. Suma de cuadrados: 9 + 1 + 1 + 1 + 16 = 28.
5. Varianza poblacional: σ² = 285 = 5,6
6. Desviación típica: σ = √5,6 ≈ 2,37.

Revisión. La varianza no puede ser negativa. La desviación típica usa las mismas unidades que los datos y su tamaño es razonable para una lista comprendida entre 2 y 9.

Elegir un comité

¿Cuántos comités distintos de dos personas pueden formarse con ocho candidatos?

Datos e incógnita. Se eligen 2 personas de un conjunto de 8. No se asignan cargos y, por tanto, el orden de elección no importa.

Idea clave. Se utilizan combinaciones. Contar primero elecciones ordenadas produce duplicados, porque cada pareja aparece en dos órdenes.

1. Para la primera persona hay 8 posibilidades y para la segunda quedan 7.
2. El producto 8 · 7 = 56 cuenta elecciones ordenadas.
3. Cada comité aparece dos veces, una por cada orden de sus integrantes.
4. Dividimos entre 2: C_8,2 = 8 · 72 · 1 = 562 = 28

Revisión. Otra comprobación consiste en sumar las posibles parejas del primer candidato al último: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.

Aprobados en dos asignaturas

En una clase de 30 estudiantes, 18 aprueban Matemáticas, 16 aprueban Inglés y 6 no aprueban ninguna. Calcula cuántos aprueban ambas, P(ambas) y P(Inglés | Matemáticas).

Datos e incógnita. Total 30. Matemáticas 18. Inglés 16. Ninguna 6. La intersección de ambos aprobados es desconocida.

Idea clave. Primero se calcula cuántos aprueban al menos una asignatura. Después se aplica inclusión y exclusión para evitar contar dos veces a quienes aprueban ambas.

1. Aprueban al menos una: 30 − 6 = 24.
2. Fórmula de la unión: n(M ∪ I) = n(M) + n(I) − n(M ∩ I).
3. Sustituimos: 24 = 18 + 16 − n(M ∩ I).
4. Despejamos: n(M ∩ I) = 34 − 24 = 10.
5. Probabilidad de ambas: P(M ∩ I) = 1030 = 13
6. Probabilidad condicionada: P(I | M) = 1018 = 59 ≈ 0,5556

Revisión. La distribución queda 8 solo Matemáticas, 6 solo Inglés, 10 ambas y 6 ninguna. La suma 8 + 6 + 10 + 6 recupera los 30 estudiantes.

Exactamente dos éxitos

En tres intentos independientes, la probabilidad de éxito en cada intento es 0,7. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos éxitos.

Datos e incógnita. Número de intentos n = 3. Probabilidad de éxito p = 0,7. Probabilidad de fallo q = 0,3. Se pide X = 2.

Idea clave. Hay varias posiciones posibles para el único fallo. Se multiplica la probabilidad de un orden concreto por el número de órdenes posibles.

1. Los órdenes favorables son éxito, éxito, fallo. También éxito, fallo, éxito y fallo, éxito, éxito.
2. Por tanto, hay C_3,2 = 3 disposiciones.
3. Cada disposición tiene probabilidad 0,7² · 0,3.
4. Aplicamos el modelo: P(X = 2) = 3 · 0,7² · 0,3.
5. Calculamos: 3 · 0,49 · 0,3 = 0,441.

Revisión. La probabilidad está entre 0 y 1. Sumando las probabilidades de 0, 1, 2 y 3 éxitos se obtiene 1, como exige una distribución completa.

Origen de una pieza defectuosa

La fábrica A produce el 60 % de las piezas y tiene un 1 % de defectos. La fábrica B produce el 40 % y tiene un 3 % de defectos. Si una pieza elegida resulta defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que proceda de B?

Datos e incógnita. P(A) = 0,60, P(B) = 0,40, P(D | A) = 0,01 y P(D | B) = 0,03. Se pide P(B | D).

Idea clave. Hay dos caminos para obtener una pieza defectuosa. Primero se calcula la probabilidad total de defecto y después se compara con el camino que procede de B.

1. Camino A y defecto: P(A ∩ D) = 0,60 · 0,01 = 0,006.
2. Camino B y defecto: P(B ∩ D) = 0,40 · 0,03 = 0,012.
3. Probabilidad total de defecto: P(D) = 0,006 + 0,012 = 0,018.
4. Aplicamos Bayes: P(B | D) = P(B ∩ D)P(D) = 0,0120,018
5. Simplificamos: 0,0120,018 = 1218 = 23.

Revisión. Aunque B fabrica menos piezas, genera 0,012 defectuosas por unidad total frente a 0,006 de A. Por eso aporta el doble de piezas defectuosas y concentra dos tercios de ellas.

Factorización completa

Factoriza P(x) = 2x³ − 3x² − 11x + 6 y halla todas sus raíces.

Datos e incógnita. Polinomio de grado 3 con coeficientes enteros. Se buscan un factor lineal inicial, el cociente cuadrático y las tres raíces.

Idea clave. Se prueban divisores del término independiente. Cuando P(a) = 0, el teorema del factor garantiza que x − a divide al polinomio.

1. Entre las raíces racionales posibles probamos x = 3.
2. P(3) = 2 · 3³ − 3 · 3² − 11 · 3 + 6 = 54 − 27 − 33 + 6 = 0.
3. Por tanto, x − 3 es un factor.
4. La división de P(x) entre x − 3 produce 2x² + 3x − 2.
5. Factorizamos el cociente: 2x² + 3x − 2 = (2x − 1)(x + 2).
6. La factorización completa es P(x) = (x − 3)(2x − 1)(x + 2).
7. Igualamos cada factor a cero y obtenemos x = 3, x = 12 y x = −2.

Revisión. El producto de los términos principales es x · 2x · x = 2x³ y el de los términos independientes es (−3)(−1)(2) = 6. Al desarrollar se recupera el polinomio original.

Ecuación con condición de dominio

Resuelve log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3.

Datos e incógnita. Los dos logaritmos tienen base 2 y argumentos dependientes de x. Se busca una solución que pertenezca al dominio.

Idea clave. La suma de logaritmos de la misma base es el logaritmo del producto. Antes de aplicar propiedades se imponen argumentos positivos.

1. Primera condición: x − 1 > 0, luego x > 1.
2. Segunda condición: x − 3 > 0, luego x > 3.
3. El dominio conjunto es x > 3.
4. Unimos los logaritmos: log₂[(x − 1)(x − 3)] = 3.
5. Pasamos a forma exponencial: (x − 1)(x − 3) = 2³ = 8.
6. Desarrollamos: x² − 4x + 3 = 8, luego x² − 4x − 5 = 0.
7. Factorizamos: (x − 5)(x + 1) = 0. Las candidatas son 5 y −1.
8. Solo x = 5 cumple x > 3.

Revisión. Al sustituir x = 5 se obtiene log₂4 + log₂2 = 2 + 1 = 3. La raíz −1 se descarta porque haría negativos los argumentos.

Escribir con la misma base

Resuelve 3^x+1 = 27^2x−1.

Datos e incógnita. Las bases son 3 y 27. Como 27 es una potencia de 3, ambos miembros pueden escribirse con la misma base.

Idea clave. Dos potencias de la misma base positiva, distinta de 1, son iguales únicamente cuando sus exponentes son iguales.

1. Escribimos 27 = 3³.
2. Transformamos el segundo miembro: 27^2x−1 = (3³)^2x−1.
3. Multiplicamos exponentes: (3³)^2x−1 = 3^3(2x−1) = 3^6x−3.
4. Igualamos exponentes: x + 1 = 6x − 3.
5. Sumamos 3 y restamos x: 4 = 5x.
6. Despejamos: x = 45 = 0,8

Revisión. Para x = 0,8, el exponente izquierdo es 1,8 y el exponente equivalente del derecho es 3(1,6 − 1) = 1,8. Los dos miembros coinciden.

Resolver un sistema matricial

Resuelve el sistema 2x + y = 7 y x − y = 2. Escríbelo primero en forma matricial.

Datos e incógnita. Dos ecuaciones lineales y dos incógnitas. Se buscan x e y.

Idea clave. La forma matricial ordena los coeficientes. Para el cálculo concreto, el método de reducción es más breve porque los coeficientes de y son opuestos.

1. Forma matricial: 211−1 xy = 72
2. Sumamos las dos ecuaciones: (2x + y) + (x − y) = 7 + 2.
3. Los términos y y −y se anulan, de modo que 3x = 9.
4. Despejamos x = 3.
5. Sustituimos en x − y = 2: 3 − y = 2.
6. Restamos 3 en ambos miembros: −y = −1, luego y = 1.

Revisión. 2 · 3 + 1 = 7 y 3 − 1 = 2. La pareja satisface simultáneamente las dos ecuaciones.

Rectángulo de área máxima

Entre todos los rectángulos de perímetro 40 m, determina las dimensiones del que tiene área máxima.

Datos e incógnita. Perímetro fijo 40 m. Lados x e y positivos. Se busca maximizar A = xy.

Idea clave. La condición del perímetro permite expresar un lado en función del otro. El área resultante es una parábola que abre hacia abajo, por lo que su vértice da el máximo.

1. Condición del perímetro: 2x + 2y = 40.
2. Dividimos entre 2: x + y = 20, luego y = 20 − x.
3. Área en función de x: A(x) = x(20 − x) = −x² + 20x.
4. El dominio geométrico es 0 < x < 20.
5. La abscisa del vértice es x_v = −202 · (−1) = 10
6. Entonces y = 20 − 10 = 10 m.
7. Área máxima: A(10) = 10 · 10 = 100 m².

Revisión. A(9) = A(11) = 99 m², menor que A(10). La simetría alrededor de x = 10 confirma que el vértice es el máximo.

Elegir el valor de un parámetro

Sea f(x) = x² − 4x − 2 si x ≠ 2 y f(2) = k. Halla k para que la función sea continua en x = 2.

Datos e incógnita. La expresión racional no está definida en x = 2, pero la función asigna allí el valor k. Se busca que ese valor complete el hueco.

Idea clave. Para que exista continuidad, el límite cuando x tiende a 2 debe existir y coincidir con f(2) = k.

1. Factorizamos el numerador: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
2. Para x ≠ 2 simplificamos: (x − 2)(x + 2)x − 2 = x + 2
3. Calculamos el límite usando la expresión simplificada: lim_x→2(x + 2) = 4.
4. La continuidad exige lim_x→2f(x) = f(2).
5. Por tanto, k = 4.

Revisión. Con k = 4, la función coincide en todos los puntos con la recta y = x + 2. El hueco que existía en x = 2 queda completado.

Subida y descuento tipo test

Un precio de 800 € sube un 10 % y después baja un 10 %. Decide si vuelve al precio inicial y calcula el valor final.

Datos e incógnita. Precio inicial 800 €. Aumento 10 %. Descenso posterior 10 %. Se pide el valor final y la variación neta.

Idea clave. La subida se aplica sobre 800 € y la bajada sobre el precio ya aumentado. Aunque los porcentajes tengan el mismo valor, las bases son distintas.

1. Factor de subida: 1,10. Precio tras la subida: 800 · 1,10 = 880 €.
2. Factor de bajada: 0,90. Precio final: 880 · 0,90 = 792 €.
3. En una sola operación: 800 · 1,10 · 0,90 = 800 · 0,99 = 792 €.
4. Variación en euros: 792 − 800 = −8 €.
5. Variación porcentual: −8800 · 100 = −1 %

Revisión. El factor conjunto es 0,99. Como es menor que 1, necesariamente debe existir una pequeña pérdida neta.

Probabilidad total y condicionada

El 55 % prepara la prueba online y el 45 % presencialmente. Aprueban el 80 % del primer grupo y el 70 % del segundo. Calcula P(aprueba) y P(online | aprueba).

Datos e incógnita. P(O) = 0,55, P(P) = 0,45, P(A | O) = 0,80 y P(A | P) = 0,70. Se piden la probabilidad total de aprobado y el origen condicionado de quienes aprueban.

Idea clave. El aprobado puede llegar por dos ramas excluyentes. Después se aplica probabilidad condicionada restringiendo el universo al grupo de aprobados.

1. Online y aprobado: P(O ∩ A) = 0,55 · 0,80 = 0,44.
2. Presencial y aprobado: P(P ∩ A) = 0,45 · 0,70 = 0,315.
3. Probabilidad total: P(A) = 0,44 + 0,315 = 0,755.
4. Aplicamos la condición: P(O | A) = P(O ∩ A)P(A)
5. Sustituimos: P(O | A) = 0,440,755 ≈ 0,5828.

Revisión. La tasa total 75,5 % está entre las tasas parciales 70 % y 80 %. La probabilidad condicionada es mayor que el 55 % inicial porque el grupo online tiene una tasa de aprobado superior.

Edades relacionadas por la media

Tres personas tienen una edad media de 70 años. La segunda tiene 12 años más que la primera y la tercera 6 años más que la segunda. Calcula las edades.

Datos e incógnita. Media 70 años para 3 personas. Diferencias de 12 y 6 años. Llamamos x a la edad de la primera.

Idea clave. La media permite conocer la suma total. Las otras edades se escriben en función de x.

1. Suma total de edades: 3 · 70 = 210 años.
2. Primera persona: x.
3. Segunda persona: x + 12.
4. Tercera persona: x + 12 + 6 = x + 18.
5. Planteamos: x + (x + 12) + (x + 18) = 210.
6. Reducimos: 3x + 30 = 210, luego 3x = 180 y x = 60.
7. Las otras edades son 60 + 12 = 72 y 60 + 18 = 78.

Revisión. La suma es 210 y su media es 2103 = 70. Las diferencias también son 12 y 6 años.

Tabla de contingencia e independencia

De 40 aspirantes, 22 son mujeres y 18 hombres. Aprueban 15 mujeres y 9 hombres. Calcula P(aprueba), P(mujer | aprueba) y decide si los sucesos ser mujer y aprobar son independientes.

Datos e incógnita. Total 40. Mujeres 22. Hombres 18. Aprobadas 15. Aprobados 9. Se piden dos probabilidades y una comprobación de independencia.

Idea clave. Se completa mentalmente la tabla de contingencia y se compara la probabilidad conjunta con el producto de las probabilidades marginales.

1. Total de aprobados: 15 + 9 = 24.
2. Probabilidad de aprobar: P(A) = 2440 = 0,60
3. Entre los 24 aprobados hay 15 mujeres: P(M | A) = 1524 = 0,625
4. Probabilidad conjunta observada: P(M ∩ A) = 1540 = 0,375.
5. Si fueran independientes debería cumplirse P(M ∩ A) = P(M) · P(A).
6. Producto de marginales: 2240 · 2440 = 0,55 · 0,60 = 0,33.
7. Como 0,375 ≠ 0,33, los sucesos no son independientes.

Revisión. También puede compararse P(A | M) = 1522 ≈ 0,6818 con P(A) = 0,60. Como cambian, conocer el sexo modifica la probabilidad de aprobado en estos datos.

Cortes de una recta y área

La recta f(x) = −2x + 8 forma con los ejes coordenados un triángulo. Halla sus vértices y el área encerrada.

Datos e incógnita. Ecuación de una recta con pendiente −2 y ordenada en el origen 8. Se buscan los dos cortes con los ejes, el origen y el área del triángulo.

Idea clave. Para cortar el eje Y se toma x = 0. Para cortar el eje X se toma y = 0. Las coordenadas obtenidas son la base y la altura del triángulo rectángulo.

1. Corte con el eje Y: x = 0, luego y = −2 · 0 + 8 = 8. Punto (0, 8).
2. Corte con el eje X: y = 0, luego −2x + 8 = 0.
3. Despejamos: −2x = −8 y x = 4. Punto (4, 0).
4. El tercer vértice es el origen O(0, 0).
5. La base mide 4 unidades y la altura 8 unidades.
6. Área: A = 4 · 82 = 16

Revisión. Los puntos (4, 0) y (0, 8) verifican y = −2x + 8. Como los catetos están sobre ejes perpendiculares, la fórmula del triángulo rectángulo es aplicable.

Potencias con exponentes fraccionarios

Para x > 0, simplifica x³² · x¹³x⁵⁶.

Datos e incógnita. Todas las potencias tienen la misma base positiva x. Se pide reducir la expresión a una sola potencia.

Idea clave. Al multiplicar potencias de igual base se suman exponentes y al dividir se resta el exponente del denominador.

1. El exponente total es 32 + 13 − 56.
2. El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 6 es 6.
3. Transformamos: 32 = 96 y 13 = 26.
4. Operamos: 96 + 26 − 56 = 66 = 1
5. La expresión queda x¹ = x.

Revisión. Para x = 64, los exponentes representan potencias reales bien definidas y el valor simplificado coincide con 64. La condición x > 0 evita ambigüedades con exponentes fraccionarios.