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Números racionales e irracionales en 3.º ESO: decimales y fracción generatriz

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Números racionales e irracionales de 3.º ESO con fracción generatriz
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Matemáticas · 3.º ESO · Números

Números racionales e irracionales en 3.º ESO: decimales y fracción generatriz

Una guía completa para entender cómo se relacionan las fracciones y los decimales, distinguir números racionales e irracionales, anticipar si una fracción produce un decimal exacto o periódico y calcular la fracción generatriz con un procedimiento razonado.

José María · Profesor de Matemáticas, Física y Química · Marlu Educativa Revisión completa · 22 de julio de 2026
24preguntas de diagnóstico
75ejercicios resueltos
30ejercicios para practicar
2simulacros completos
Ir a los ejercicios resueltos

La idea central: una fracción y un decimal pueden representar el mismo número

En cursos anteriores se aprende a operar con fracciones y con números decimales. En 3.º ESO aparece una pregunta más profunda: qué relación existe entre ambas formas de escritura. La respuesta organiza todo el tema.

Una observación de aula. Cuando un alumno confunde un decimal periódico con un irracional, el problema no suele estar en la cuenta, sino en no haber relacionado todavía las tres escrituras del mismo número: fracción, cociente y decimal. Por eso aquí se pasa de una forma a otra y se comprueba cada resultado.
\[ \frac{3}{4}=0,75 \qquad \frac{1}{3}=0,\overline{3} \]

Los dos ejemplos son números racionales porque pueden escribirse como cociente de dos números enteros. La diferencia es que el primero tiene un desarrollo decimal exacto y el segundo tiene infinitas cifras que se repiten periódicamente.

Idea clave

Todo número racional tiene un desarrollo decimal exacto o periódico. Todo decimal exacto o periódico puede convertirse en una fracción. Un decimal infinito no periódico es irracional.

Este recurso se concentra en esa relación. Para operaciones básicas con decimales puede utilizarse el recurso de números decimales de 1.º ESO. Para operaciones con fracciones conviene repasar números enteros y fracciones. La notación científica se desarrolla en una guía independiente.

Conjuntos numéricos N, Z, Q, I y R

Los conjuntos numéricos no son listas desconectadas. Cada uno amplía al anterior para resolver situaciones que antes no podían expresarse.

ConjuntoNombreQué contieneEjemplos
\(\mathbb{N}\)NaturalesNúmeros usados para contar. En este recurso incluimos el cero.\(0,1,2,3,\ldots\)
\(\mathbb{Z}\)EnterosNaturales, sus opuestos y el cero.\(-5,0,8\)
\(\mathbb{Q}\)RacionalesNúmeros que pueden escribirse como \(\frac{a}{b}\), con \(a,b\in\mathbb{Z}\) y \(b\neq0\).\(\frac{3}{4},-2,0,\overline{6}\)
\(\mathbb{I}\)IrracionalesDecimales infinitos no periódicos.\(\sqrt{2},\pi,\sqrt{7}\)
\(\mathbb{R}\)RealesTodos los racionales y todos los irracionales.Cualquier punto de la recta real
Relación entre los conjuntos numéricos Los naturales están contenidos en los enteros, los enteros en los racionales y los racionales en los reales. Los irracionales también están contenidos en los reales, pero no pertenecen a los racionales. Reales ℝ Racionales ℚ Enteros ℤ Naturales ℕ Irracionales I
Los racionales y los irracionales forman, sin solaparse, el conjunto de los números reales.
\[ \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, \qquad \mathbb{I}\subset\mathbb{R}, \qquad \mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing \]

Un mismo número puede pertenecer a varios conjuntos. Por ejemplo, \(5\) es natural, entero, racional y real. Cuando se pide clasificarlo en el conjunto más pequeño posible, se escribe \(5\in\mathbb{N}\).

Convención sobre el cero. Algunos libros escriben \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\) y otros incluyen el cero. La clasificación importante no cambia: \(0\) es entero, racional y real. Conviene comprobar la convención utilizada en el centro.

Qué es un número racional

Un número es racional cuando puede expresarse como cociente de dos enteros.

\[ x\in\mathbb{Q}\Longleftrightarrow x=\frac{a}{b}, \qquad a,b\in\mathbb{Z}, \qquad b\neq0 \]

La condición \(b\neq0\) es necesaria porque la división entre cero no está definida. No es necesario que la fracción esté simplificada para demostrar que un número es racional, aunque trabajar con la fracción irreducible permite estudiar mejor su desarrollo decimal.

Los enteros también son racionales

Cualquier entero puede escribirse con denominador 1.

\[ -7=\frac{-7}{1}, \qquad 0=\frac{0}{1}, \qquad 12=\frac{12}{1} \]

Los decimales exactos son racionales

Un decimal exacto tiene un número finito de cifras decimales. Se convierte en fracción escribiendo como numerador el número sin coma y como denominador una potencia de 10.

\[ 2,375=\frac{2375}{1000}=\frac{19}{8} \]

Los decimales periódicos son racionales

En un decimal periódico, una cifra o un grupo de cifras se repite indefinidamente. El bloque repetido se llama período. Mediante una resta algebraica puede eliminarse la parte infinita y obtener una fracción.

\[ 0,\overline{27}=0,272727\ldots=\frac{27}{99}=\frac{3}{11} \]

Decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos

La escritura decimal de un número racional pertenece a uno de estos tres tipos.

TipoDescripciónEjemploAnteperíodoPeríodo
ExactoTermina después de un número finito de cifras.\(0,375\)No tieneNo tiene
Periódico puroEl período empieza justo después de la coma.\(0,\overline{45}\)No tiene\(45\)
Periódico mixtoHay cifras no repetidas antes del período.\(1,2\overline{36}\)\(2\)\(36\)

En \(4,15\overline{27}\), la parte entera es 4, el anteperíodo es 15 y el período es 27. El período debe incluir el bloque mínimo que se repite. Por ejemplo, en \(0,3333\ldots\) el período es 3, no 33.

Notación. La barra se coloca solo sobre las cifras que se repiten. \(0,1\overline{6}\) significa \(0,16666\ldots\), mientras que \(0,\overline{16}\) significa \(0,161616\ldots\).

Cómo pasar una fracción a decimal

Una fracción representa una división. Para obtener su expresión decimal, se divide el numerador entre el denominador.

\[ \frac{7}{8}=0,875 \]

Si la división termina, el decimal es exacto. Si aparece un resto que ya había aparecido antes, a partir de ese momento se repetirán los mismos cocientes y restos, por lo que el decimal será periódico.

Por qué el desarrollo racional siempre termina o se repite

Al dividir entre un denominador \(b\), los restos posibles son \(0,1,2,\ldots,b-1\). Si aparece resto cero, la división termina. Si no aparece, como solo hay un número finito de restos posibles, alguno debe repetirse. Desde ese resto se repite todo el proceso.

Consecuencia

Una fracción nunca produce un decimal infinito desordenado. Su desarrollo decimal termina o entra en un ciclo periódico.

Cómo anticipar si una fracción dará decimal exacto o periódico

No siempre es necesario realizar la división. Primero se simplifica la fracción hasta dejarla irreducible y después se factoriza el denominador.

\[ \frac{a}{b}\text{ irreducible} \]
Denominador irreducibleTipo de decimalEjemplo
Solo contiene factores 2 y 5Exacto\(\frac{7}{40}\), porque \(40=2^3\cdot5\)
No contiene factores 2 ni 5Periódico puro\(\frac{5}{21}\), porque \(21=3\cdot7\)
Contiene 2 o 5 y además otros primosPeriódico mixto\(\frac{7}{12}\), porque \(12=2^2\cdot3\)

La simplificación es obligatoria

La fracción \(\frac{6}{15}\) parece tener en el denominador los factores 3 y 5. Sin embargo, primero debe simplificarse.

\[ \frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0,4 \]

El decimal es exacto. Estudiar el denominador antes de simplificar habría llevado a una conclusión incorrecta.

Cuántas cifras puede tener un decimal exacto

Si el denominador irreducible es \(2^m\cdot5^n\), el número de cifras decimales es como máximo \(\max(m,n)\). Se completa el factor que falte para convertir el denominador en una potencia de 10.

\[ \frac{7}{40}=\frac{7}{2^3\cdot5} =\frac{7\cdot5^2}{2^3\cdot5^3} =\frac{175}{1000}=0,175 \]

Fracción generatriz de un decimal

La fracción generatriz es una fracción irreducible que representa exactamente el decimal dado. El procedimiento depende de si el decimal es exacto, periódico puro o periódico mixto.

1. Decimal exacto

Se escribe en el numerador el número sin coma. En el denominador se coloca 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales. Después se simplifica.

\[ 1,375=\frac{1375}{1000}=\frac{11}{8} \]

2. Decimal periódico puro

Sea \(x=0,\overline{27}\). Como el período tiene dos cifras, multiplicamos por \(100\).

\[ x=0,272727\ldots \]
\[ 100x=27,272727\ldots \]

Restamos las dos igualdades. Las partes periódicas se cancelan.

\[ 100x-x=27 \]
\[ 99x=27 \qquad x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11} \]

La regla abreviada coloca en el numerador el número formado hasta completar un período menos la parte entera. En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período.

3. Decimal periódico mixto

Sea \(x=0,12\overline{3}\). Hay dos cifras de anteperíodo y una de período.

\[ x=0,123333\ldots \]

Multiplicamos primero por \(100\) para llevar el período junto a la coma y después por \(1000\) para desplazar un período completo.

\[ 100x=12,3333\ldots \]
\[ 1000x=123,3333\ldots \]

Restamos.

\[ 1000x-100x=123-12 \]
\[ 900x=111 \qquad x=\frac{111}{900}=\frac{37}{300} \]

En la regla abreviada, el numerador es el número formado hasta completar un período menos el número formado por la parte entera y el anteperíodo. El denominador contiene tantos nueves como cifras tenga el período y tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

TipoNumeradorDenominador
ExactoNúmero sin coma1 seguido de tantos ceros como decimales
Periódico puroNúmero hasta un período menos parte enteraTantos 9 como cifras de período
Periódico mixtoNúmero hasta un período menos parte entera y anteperíodo9 por cada cifra periódica y 0 por cada cifra no periódica

Números irracionales

Un número irracional no puede escribirse como cociente de dos enteros. Su desarrollo decimal tiene infinitas cifras y no presenta un período repetitivo.

\[ \sqrt{2}=1,414213562\ldots \qquad \pi=3,141592653\ldots \]

Raíces cuadradas

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es racional. La raíz cuadrada de un número natural que no es cuadrado perfecto es irracional.

\[ \sqrt{49}=7\in\mathbb{Q} \qquad \sqrt{18}=3\sqrt{2}\in\mathbb{I} \]

No toda expresión con una raíz es irracional. Antes de clasificarla hay que calcular o simplificar la raíz.

Un decimal infinito no siempre es irracional

\(0,3333\ldots\) tiene infinitas cifras, pero es periódico y equivale a \(\frac{1}{3}\). En cambio, \(0,101001000100001\ldots\) no termina y no repite un bloque fijo, por lo que es irracional.

Cuidado con la calculadora. La pantalla muestra un número finito de cifras. Una aproximación como \(1,41421356\) es racional, aunque represente de forma aproximada al número irracional \(\sqrt{2}\).

Orden y representación en la recta real

Todos los números reales pueden ordenarse y representarse en una recta. Para comparar formas distintas conviene transformarlas a una escritura común o buscar cotas sencillas.

Comparar fracción y decimal

\[ \frac{7}{8}=0,875>0,86 \]

Comparar una raíz con un decimal

Como \(1,41^2=1,9881<2\), se cumple \(1,41<\sqrt{2}\). Como \(1,42^2=2,0164>2\), se cumple \(\sqrt{2}<1,42\).

\[ 1,41<\sqrt{2}<1,42 \]

Densidad de los racionales y los irracionales

Entre dos números reales distintos siempre hay infinitos racionales e infinitos irracionales. Por ejemplo, entre \(1,4\) y \(1,5\) están el racional \(1,45\) y el irracional \(\sqrt{2}\).

Comprobación útil

Cuando se ordenan números negativos, el que tiene mayor valor absoluto queda más a la izquierda. Por eso \(-1,7<-1,5\).

Prueba inicial de 24 preguntas

La prueba combina clasificación, conversión y razonamiento. Puede resolverse en unos 35 minutos. La corrección por bloques indica qué parte conviene revisar antes de empezar los ejercicios largos.

  1. Clasifica \(8\) en el conjunto más pequeño posible.
  2. Clasifica \(-11\) en el conjunto más pequeño posible.
  3. Clasifica \(\frac{3}{5}\) en el conjunto más pequeño posible.
  4. Clasifica \(\sqrt{36}\) en el conjunto más pequeño posible.
  5. Clasifica \(\sqrt{10}\) en el conjunto más pequeño posible.
  6. Indica si \(0,125\) es racional o irracional.
  7. Indica si \(0,\overline{18}\) es racional o irracional.
  8. Indica si \(0,101001000100001\ldots\) es racional o irracional, sabiendo que entre dos unos aparece cada vez un cero más.
  9. Convierte \(\frac{3}{8}\) en decimal.
  10. Convierte \(\frac{5}{6}\) en decimal e indica su tipo.
  11. Sin dividir, decide si \(\frac{7}{40}\) produce decimal exacto o periódico.
  12. Sin dividir, decide si \(\frac{4}{21}\) produce decimal exacto, periódico puro o periódico mixto.
  13. Sin dividir, decide el tipo decimal de \(\frac{11}{30}\).
  14. Calcula la fracción generatriz de \(0,45\).
  15. Calcula la fracción generatriz de \(1,375\).
  16. Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{7}\).
  17. Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{36}\).
  18. Calcula la fracción generatriz de \(0,1\overline{6}\).
  19. Calcula la fracción generatriz de \(2,4\overline{5}\).
  20. Compara \(0,75\) y \(\frac{3}{4}\).
  21. Ordena \(-1,5\), \(-\frac{7}{5}\) y \(-\sqrt{2}\).
  22. Escribe un número racional entre \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{2}\).
  23. Escribe un número irracional entre 2 y 3.
  24. Explica por qué \(0,\overline{9}=1\).
Ver respuestas de la prueba inicial
N.ºRespuesta
1\(8\in\mathbb{N}\)
2\(-11\in\mathbb{Z}\)
3\(\frac{3}{5}\in\mathbb{Q}\)
4\(\sqrt{36}=6\in\mathbb{N}\)
5\(\sqrt{10}\in\mathbb{I}\)
6Racional, porque es decimal exacto.
7Racional, porque es decimal periódico.
8Irracional, porque no termina ni repite un bloque fijo.
9\(0,375\)
10\(0,8\overline{3}\), periódico mixto.
11Exacto, porque \(40=2^3\cdot5\).
12Periódico puro, porque \(21=3\cdot7\).
13Periódico mixto, porque \(30=2\cdot3\cdot5\).
14\(\frac{9}{20}\)
15\(\frac{11}{8}\)
16\(\frac{7}{9}\)
17\(\frac{4}{11}\)
18\(\frac{1}{6}\)
19\(\frac{221}{90}\)
20Son iguales.
21\(-1,5<-\sqrt{2}<-\frac{7}{5}\)
22Por ejemplo, \(\frac{5}{12}\).
23Por ejemplo, \(\sqrt{5}\).
24Si \(x=0,\overline{9}\), entonces \(10x=9,\overline{9}\). Al restar, \(9x=9\), luego \(x=1\).
Preguntas con errorDificultad probableSección recomendada
1 a 8Clasificación de conjuntos y diferencia racional-irracionalConjuntos, racionales e irracionales
9 a 13Relación entre fracción y tipo de decimalDe fracción a decimal y criterio del denominador
14 a 19Fracción generatrizExactos, periódicos puros y mixtos
20 a 24Orden, densidad y razonamientoRecta real y ejercicios finales

75 ejercicios resueltos paso a paso

Los ejercicios están ordenados desde la clasificación elemental hasta la fracción generatriz mixta y el razonamiento sobre la recta real. En cada solución se distingue la idea utilizada, el cálculo y una comprobación breve.

A. Clasificación de números y conjuntos

Ejercicio 1. Clasificar un número natural

Enunciado.Clasifica \(5\) en el conjunto más pequeño posible.

  1. El número \(5\) se utiliza para contar y no tiene parte decimal ni signo negativo.
  2. Por tanto, pertenece a los naturales. Todo natural es también entero, racional y real, pero se pide el conjunto más pequeño.

Resultado.\(5\in\mathbb{N}\).

Revisión.Puede escribirse como \(\frac{5}{1}\), de modo que también pertenece a \(\mathbb{Q}\), pero \(\mathbb{N}\) es la clasificación más precisa.

Ejercicio 2. Clasificar un entero negativo

Enunciado.Clasifica \(-8\) en el conjunto más pequeño posible.

  1. \(-8\) no es natural porque es negativo.
  2. Sí es un número entero.
  3. Además, \(-8=-\frac{8}{1}\), por lo que es racional y real.

Resultado.\(-8\in\mathbb{Z}\).

Revisión.El conjunto más pequeño que lo contiene es \(\mathbb{Z}\).

Ejercicio 3. Clasificar el cero

Enunciado.Clasifica \(0\).

  1. En este recurso se adopta la convención \(0\in\mathbb{N}\).
  2. También se cumple \(0\in\mathbb{Z}\), \(0=\frac{0}{1}\in\mathbb{Q}\) y \(0\in\mathbb{R}\).

Resultado.\(0\in\mathbb{N}\) con la convención utilizada.

Revisión.Si el libro del centro excluye el cero de \(\mathbb{N}\), se clasificaría en \(\mathbb{Z}\).

Ejercicio 4. Clasificar una fracción

Enunciado.Clasifica \(\frac{3}{7}\).

  1. Ya está escrita como cociente de dos enteros.
  2. El denominador es distinto de cero.
  3. No es un entero porque \(3\) no es múltiplo de \(7\).

Resultado.\(\frac{3}{7}\in\mathbb{Q}\).

Revisión.Su decimal es \(0,\overline{428571}\), periódico, lo que confirma que es racional.

Ejercicio 5. Clasificar un decimal exacto

Enunciado.Clasifica \(0,125\).

  1. Es un decimal exacto porque termina.
  2. Se convierte en fracción: \(0,125=\frac{125}{1000}\).
  3. Simplificamos entre \(125\): \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\).

Resultado.\(0,125\in\mathbb{Q}\).

Revisión.Todo decimal exacto es racional.

Ejercicio 6. Clasificar un decimal periódico

Enunciado.Clasifica \(0,\overline{3}\).

  1. El decimal no termina, pero la cifra \(3\) se repite indefinidamente.
  2. Sea \(x=0,\overline{3}\). Entonces \(10x=3,\overline{3}\).
  3. Restando, \(9x=3\), por lo que \(x=\frac{1}{3}\).

Resultado.\(0,\overline{3}\in\mathbb{Q}\).

Revisión.La fracción \(\frac{1}{3}\) demuestra de forma exacta que es racional.

Ejercicio 7. Reconocer un irracional

Enunciado.Clasifica \(\sqrt{2}\).

  1. El número \(2\) no es un cuadrado perfecto.
  2. La raíz \(\sqrt{2}\) no puede escribirse como cociente de dos enteros.
  3. Su decimal \(1,41421356\ldots\) es infinito y no periódico.

Resultado.\(\sqrt{2}\in\mathbb{I}\).

Revisión.Todo irracional es real, por lo que también \(\sqrt{2}\in\mathbb{R}\).

Ejercicio 8. Clasificar el número pi

Enunciado.Clasifica \(\pi\).

  1. \(\pi\) tiene desarrollo decimal infinito.
  2. No existe un bloque de cifras que se repita periódicamente.
  3. No puede escribirse como una fracción de enteros.

Resultado.\(\pi\in\mathbb{I}\).

Revisión.La aproximación \(3,14\) es racional, pero no es exactamente \(\pi\).

Ejercicio 9. Una raíz que sí es racional

Enunciado.Clasifica \(\sqrt{49}\).

  1. Calculamos la raíz: \(\sqrt{49}=7\).
  2. El resultado es natural.

Resultado.\(\sqrt{49}=7\in\mathbb{N}\).

Revisión.La presencia del símbolo radical no basta para afirmar que un número es irracional.

Ejercicio 10. Simplificar antes de clasificar

Enunciado.Clasifica \(\sqrt{18}\).

  1. Descomponemos \(18=9\cdot2\).
  2. \(\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}\).
  3. Como \(\sqrt{2}\) es irracional y \(3\neq0\), \(3\sqrt{2}\) es irracional.

Resultado.\(\sqrt{18}\in\mathbb{I}\).

Revisión.\(\sqrt{18}\approx4,2426\), un decimal infinito no periódico.

Ejercicio 11. Pertenencia a varios conjuntos

Enunciado.Indica todos los conjuntos entre \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{I},\mathbb{R}\) a los que pertenece \(-\frac{3}{4}\).

  1. No es natural ni entero.
  2. Es cociente de enteros con denominador no nulo, por lo que es racional.
  3. Todo racional es real.
  4. No puede ser simultáneamente racional e irracional.

Resultado.\(-\frac{3}{4}\in\mathbb{Q}\) y \(-\frac{3}{4}\in\mathbb{R}\).

Revisión.Su decimal es \(-0,75\), exacto.

Ejercicio 12. Clasificar una colección

Enunciado.Clasifica en el conjunto más pequeño posible: \(-2,\ 0,\ \frac{5}{3},\ \sqrt{9},\ \sqrt{7},\ 1,2,\ 0,\overline{12}\).

  1. \(-2\) es entero negativo: \(-2\in\mathbb{Z}\).
  2. \(0\in\mathbb{N}\) con la convención adoptada.
  3. \(\frac{5}{3}\) es racional no entero.
  4. \(\sqrt{9}=3\in\mathbb{N}\).
  5. \(\sqrt{7}\) es irracional porque \(7\) no es cuadrado perfecto.
  6. \(1,2=\frac{6}{5}\in\mathbb{Q}\).
  7. \(0,\overline{12}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}\in\mathbb{Q}\).

Resultado.\(-2\in\mathbb{Z}\), \(0,\sqrt{9}\in\mathbb{N}\), \(\frac{5}{3},1,2,0,\overline{12}\in\mathbb{Q}\) y \(\sqrt{7}\in\mathbb{I}\).

Revisión.Todos los números de la lista pertenecen también a \(\mathbb{R}\).

B. De fracción a decimal y tipo de desarrollo

Ejercicio 13. Fracción con decimal exacto

Enunciado.Convierte \(\frac{3}{8}\) en decimal.

  1. Dividimos \(\frac{3}{8}\).
  2. Como \(8\cdot0,375=3\), la división termina.

Resultado.\(\frac{3}{8}=0,375\), decimal exacto.

Revisión.El denominador \(8=2^3\) solo contiene el factor \(2\).

Ejercicio 14. Otra fracción exacta

Enunciado.Convierte \(\frac{7}{20}\) en decimal.

  1. Buscamos denominador \(100\): \(20\cdot5=100\).
  2. \(\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0,35\).

Resultado.\(\frac{7}{20}=0,35\), decimal exacto.

Revisión.El denominador irreducible \(20=2^2\cdot5\) solo contiene \(2\) y \(5\).

Ejercicio 15. Periódico mixto al dividir

Enunciado.Convierte \(\frac{11}{6}\) en decimal e indica su tipo.

  1. Dividimos \(\frac{11}{6}\): el cociente entero es \(1\) y queda resto \(5\).
  2. Al continuar, \(\frac{50}{6}=8\) y queda resto \(2\).
  3. Después \(\frac{20}{6}=3\) y vuelve a quedar resto \(2\), por lo que el \(3\) se repite.

Resultado.\(\frac{11}{6}=1,8\overline{3}\), periódico mixto.

Revisión.El anteperíodo es \(8\) y el período es \(3\).

Ejercicio 16. Periódico puro de una cifra

Enunciado.Convierte \(\frac{5}{9}\) en decimal.

  1. Dividimos \(\frac{5}{9}\).
  2. El resto vuelve a ser \(5\) después de cada cifra decimal, así que se repite el \(5\).

Resultado.\(\frac{5}{9}=0,\overline{5}\), periódico puro.

Revisión.El denominador \(9=3^2\) es coprimo con \(10\).

Ejercicio 17. Fracción negativa periódica

Enunciado.Convierte \(-\frac{7}{12}\) en decimal.

  1. Primero calculamos \(\frac{7}{12}=0,58333\ldots\).
  2. Solo la cifra \(3\) se repite; las cifras \(58\) forman el anteperíodo.
  3. Aplicamos el signo negativo al resultado completo.

Resultado.\(-\frac{7}{12}=-0,58\overline{3}\), periódico mixto.

Revisión.\(-0,59<-0,58\overline{3}<-0,58\), coherente con el valor aproximado.

Ejercicio 18. Convertir mediante una fracción equivalente

Enunciado.Convierte \(\frac{13}{25}\) en decimal.

  1. Multiplicamos numerador y denominador por \(4\).
  2. \(\frac{13}{25}=\frac{52}{100}\).

Resultado.\(\frac{13}{25}=0,52\), decimal exacto.

Revisión.\(25=5^2\), por lo que el decimal debía terminar.

Ejercicio 19. Período de dos cifras

Enunciado.Convierte \(\frac{2}{11}\) en decimal.

  1. Dividimos \(\frac{2}{11}\): \(\frac{20}{11}=1\) con resto \(9\).
  2. Después \(\frac{90}{11}=8\) con resto \(2\).
  3. Ha reaparecido el resto inicial, por lo que se repiten las cifras \(18\).

Resultado.\(\frac{2}{11}=0,\overline{18}\).

Revisión.\(\frac{18}{99}=\frac{2}{11}\), lo que confirma el período.

Ejercicio 20. Periódico mixto sencillo

Enunciado.Convierte \(\frac{7}{15}\) en decimal.

  1. Dividimos \(\frac{7}{15}\): \(\frac{70}{15}=4\) con resto \(10\).
  2. Después \(\frac{100}{15}=6\) con resto \(10\), de modo que el \(6\) se repite.

Resultado.\(\frac{7}{15}=0,4\overline{6}\), periódico mixto.

Revisión.El denominador \(15=3\cdot5\) contiene \(5\) y otro primo.

Ejercicio 21. Decimal exacto de tres cifras

Enunciado.Convierte \(\frac{17}{40}\) en decimal.

  1. Convertimos el denominador en \(1000\): \(40\cdot25=1000\).
  2. \(\frac{17}{40}=\frac{425}{1000}\).

Resultado.\(\frac{17}{40}=0,425\), decimal exacto.

Revisión.\(40=2^3\cdot5\), por lo que solo intervienen \(2\) y \(5\).

Ejercicio 22. Período largo

Enunciado.Convierte \(\frac{22}{7}\) en decimal.

  1. Al dividir \(\frac{22}{7}\) obtenemos \(3,142857142857\ldots\).
  2. El bloque mínimo que vuelve a aparecer es \(142857\).

Resultado.\(\frac{22}{7}=3,\overline{142857}\), periódico puro en su parte decimal.

Revisión.Es una aproximación conocida de \(\pi\), pero \(\frac{22}{7}\neq\pi\) porque el primero es racional y \(\pi\) es irracional.

Ejercicio 23. Predecir un decimal exacto

Enunciado.Sin dividir, indica el tipo de decimal de \(\frac{7}{125}\).

  1. La fracción ya es irreducible.
  2. Factorizamos \(125=5^3\).
  3. El denominador solo contiene el factor \(5\), por lo que el decimal es exacto.
  4. Para comprobarlo, \(\frac{7}{125}=\frac{56}{1000}=0,056\).

Resultado.Decimal exacto.

Revisión.Tiene tres cifras decimales porque se necesita completar hasta \(10^3\).

Ejercicio 24. Predecir un periódico mixto

Enunciado.Sin dividir, indica el tipo de decimal de \(\frac{11}{18}\).

  1. La fracción es irreducible.
  2. Factorizamos \(18=2\cdot3^2\).
  3. El denominador contiene el factor \(2\) y además el factor \(3\).

Resultado.Decimal periódico mixto.

Revisión.En efecto, \(\frac{11}{18}=0,6\overline{1}\).

Ejercicio 25. Predecir un periódico puro

Enunciado.Sin dividir, indica el tipo de decimal de \(\frac{13}{21}\).

  1. La fracción es irreducible.
  2. Factorizamos \(21=3\cdot7\).
  3. No aparecen los factores \(2\) ni \(5\), por lo que el período empieza inmediatamente después de la coma.

Resultado.Decimal periódico puro.

Revisión.\(\frac{13}{21}=0,\overline{619047}\).

C. Fracción generatriz de decimales exactos

Ejercicio 26. Una cifra decimal

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,4\).

  1. Hay una cifra decimal, por lo que escribimos \(0,4=\frac{4}{10}\).
  2. Simplificamos numerador y denominador entre \(2\).

Resultado.\(0,4=\frac{2}{5}\).

Revisión.\(\frac{2}{5}=\frac{2}{5}=0,4\).

Ejercicio 27. Dos cifras decimales

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,75\).

  1. Hay dos cifras decimales: \(0,75=\frac{75}{100}\).
  2. Dividimos numerador y denominador entre \(25\).

Resultado.\(0,75=\frac{3}{4}\).

Revisión.\(\frac{3}{4}=0,75\).

Ejercicio 28. Decimal mayor que uno

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(1,25\).

  1. Quitamos la coma y usamos denominador \(100\): \(1,25=\frac{125}{100}\).
  2. Simplificamos entre \(25\).

Resultado.\(1,25=\frac{5}{4}\).

Revisión.\(\frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}=1,25\).

Ejercicio 29. Ceros iniciales en la parte decimal

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,036\).

  1. Hay tres cifras decimales, incluidos los ceros que fijan la posición: \(0,036=\frac{36}{1000}\).
  2. El máximo común divisor de \(36\) y \(1000\) es \(4\).
  3. Dividimos entre \(4\).

Resultado.\(0,036=\frac{9}{250}\).

Revisión.\(\frac{9}{250}=\frac{36}{1000}=0,036\).

Ejercicio 30. Decimal exacto negativo

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(-2,45\).

  1. Trabajamos primero con el valor absoluto: \(2,45=\frac{245}{100}\).
  2. Simplificamos entre \(5\): \(\frac{245}{100}=\frac{49}{20}\).
  3. Recuperamos el signo negativo.

Resultado.\(-2,45=-\frac{49}{20}\).

Revisión.\(-\frac{49}{20}=-2,45\).

Ejercicio 31. Ceros interiores

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(3,007\).

  1. Hay tres cifras decimales: \(3,007=\frac{3007}{1000}\).
  2. El numerador no es divisible entre \(2\) ni entre \(5\), por lo que la fracción ya es irreducible.

Resultado.\(3,007=\frac{3007}{1000}\).

Revisión.El cero de las décimas y el de las centésimas no pueden eliminarse.

Ejercicio 32. Un cero final que no cambia el valor

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,120\).

  1. Puede escribirse \(\frac{120}{1000}\), pero el cero final no cambia el valor decimal.
  2. Simplificamos \(\frac{120}{1000}\) entre \(40\).

Resultado.\(0,120=\frac{3}{25}\).

Revisión.\(\frac{3}{25}=0,12=0,120\).

Ejercicio 33. Decimal exacto con parte entera

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(12,375\).

  1. Hay tres cifras decimales: \(12,375=\frac{12375}{1000}\).
  2. Dividimos numerador y denominador entre \(125\): \(\frac{12375}{125}=99\) y \(\frac{1000}{125}=8\).

Resultado.\(12,375=\frac{99}{8}\).

Revisión.\(\frac{99}{8}=12\) con resto \(3\), y \(\frac{3}{8}=0,375\).

Ejercicio 34. Decimal muy pequeño

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,0008\).

  1. Hay cuatro cifras decimales: \(0,0008=\frac{8}{10000}\).
  2. Simplificamos entre \(8\).

Resultado.\(0,0008=\frac{1}{1250}\).

Revisión.\(\frac{1}{1250}=0,0008\).

Ejercicio 35. Simplificación completa

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(4,625\).

  1. Escribimos \(4,625=\frac{4625}{1000}\).
  2. Dividimos entre \(125\): \(\frac{4625}{125}=37\) y \(\frac{1000}{125}=8\).

Resultado.\(4,625=\frac{37}{8}\).

Revisión.\(\frac{37}{8}=4,625\).

D. Fracción generatriz de decimales periódicos puros

Ejercicio 36. Período de una cifra

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{3}\).

  1. Sea \(x=0,\overline{3}\).
  2. Multiplicamos por \(10\): \(10x=3,\overline{3}\).
  3. Restamos: \(10x-x=3\).
  4. Entonces \(9x=3\) y \(x=\frac{3}{9}\).

Resultado.\(0,\overline{3}=\frac{1}{3}\).

Revisión.\(\frac{1}{3}=0,3333\ldots\).

Ejercicio 37. Otro período de una cifra

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{7}\).

  1. Sea \(x=0,\overline{7}\).
  2. Multiplicamos por \(10\): \(10x=7,\overline{7}\).
  3. Restamos: \(9x=7\).

Resultado.\(0,\overline{7}=\frac{7}{9}\).

Revisión.El denominador tiene un \(9\) porque el período tiene una cifra.

Ejercicio 38. Período de dos cifras

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{27}\).

  1. Sea \(x=0,\overline{27}\).
  2. Como el período tiene dos cifras, \(100x=27,\overline{27}\).
  3. Restamos: \(99x=27\).
  4. Simplificamos \(\frac{27}{99}\) entre \(9\).

Resultado.\(0,\overline{27}=\frac{3}{11}\).

Revisión.\(\frac{3}{11}=0,272727\ldots\).

Ejercicio 39. Simplificar una generatriz

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{45}\).

  1. Escribimos directamente \(\frac{45}{99}\) porque el período tiene dos cifras.
  2. Simplificamos numerador y denominador entre \(9\).

Resultado.\(0,\overline{45}=\frac{5}{11}\).

Revisión.\(\frac{5}{11}=0,454545\ldots\).

Ejercicio 40. Período 12

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{12}\).

  1. El período tiene dos cifras, por lo que \(0,\overline{12}=\frac{12}{99}\).
  2. Dividimos numerador y denominador entre \(3\).

Resultado.\(0,\overline{12}=\frac{4}{33}\).

Revisión.\(\frac{4}{33}=0,121212\ldots\).

Ejercicio 41. Período de seis cifras

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{142857}\).

  1. El período tiene seis cifras: \(\frac{142857}{999999}\).
  2. El numerador y el denominador son divisibles entre \(142857\).
  3. \(999999=7\cdot142857\).

Resultado.\(0,\overline{142857}=\frac{1}{7}\).

Revisión.Es el conocido período decimal de \(\frac{1}{7}\).

Ejercicio 42. Parte entera y período de una cifra

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(1,\overline{6}\).

  1. Sea \(x=1,\overline{6}\).
  2. Multiplicamos por \(10\): \(10x=16,\overline{6}\).
  3. Restamos: \(9x=15\).
  4. Simplificamos \(\frac{15}{9}\).

Resultado.\(1,\overline{6}=\frac{5}{3}\).

Revisión.\(\frac{5}{3}=1,6666\ldots\).

Ejercicio 43. Parte entera y período de dos cifras

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(2,\overline{18}\).

  1. Sea \(x=2,\overline{18}\).
  2. Multiplicamos por \(100\): \(100x=218,\overline{18}\).
  3. Restamos: \(99x=216\).
  4. Simplificamos \(\frac{216}{99}\) entre \(9\).

Resultado.\(2,\overline{18}=\frac{24}{11}\).

Revisión.\(\frac{24}{11}=2,181818\ldots\).

Ejercicio 44. Periódico puro negativo

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(-0,\overline{24}\).

  1. Primero calculamos la generatriz positiva: \(0,\overline{24}=\frac{24}{99}\).
  2. Simplificamos entre \(3\): \(\frac{24}{99}=\frac{8}{33}\).
  3. Aplicamos el signo negativo.

Resultado.\(-0,\overline{24}=-\frac{8}{33}\).

Revisión.\(-\frac{8}{33}=-0,242424\ldots\).

Ejercicio 45. Período con cero inicial

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(3,\overline{05}\).

  1. El período es \(05\), que tiene dos cifras.
  2. Sea \(x=3,\overline{05}\). Entonces \(100x=305,\overline{05}\).
  3. Restamos: \(99x=302\).
  4. Como \(302\) y \(99\) no tienen divisores comunes, la fracción es irreducible.

Resultado.\(3,\overline{05}=\frac{302}{99}\).

Revisión.\(\frac{302}{99}=3,050505\ldots\).

Ejercicio 46. Período que se simplifica mucho

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{81}\).

  1. Escribimos \(\frac{81}{99}\).
  2. Dividimos numerador y denominador entre \(9\).

Resultado.\(0,\overline{81}=\frac{9}{11}\).

Revisión.\(\frac{9}{11}=0,818181\ldots\).

Ejercicio 47. Número mayor que cuatro

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(4,\overline{2}\).

  1. Sea \(x=4,\overline{2}\).
  2. Multiplicamos por \(10\): \(10x=42,\overline{2}\).
  3. Restamos: \(9x=38\).

Resultado.\(4,\overline{2}=\frac{38}{9}\).

Revisión.\(\frac{38}{9}=4,2222\ldots\).

Ejercicio 48. Período de tres cifras

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{123}\).

  1. El período tiene tres cifras, por lo que \(0,\overline{123}=\frac{123}{999}\).
  2. Simplificamos entre \(3\).

Resultado.\(0,\overline{123}=\frac{41}{333}\).

Revisión.\(\frac{41}{333}=0,123123\ldots\).

Ejercicio 49. Período 09

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(1,\overline{09}\).

  1. Sea \(x=1,\overline{09}\).
  2. Multiplicamos por \(100\): \(100x=109,\overline{09}\).
  3. Restamos: \(99x=108\).
  4. Simplificamos \(\frac{108}{99}\) entre \(9\).

Resultado.\(1,\overline{09}=\frac{12}{11}\).

Revisión.\(\frac{12}{11}=1,090909\ldots\).

Ejercicio 50. Período 001

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{001}\).

  1. El período tiene tres cifras, aunque dos sean ceros.
  2. Escribimos \(\frac{001}{999}=\frac{1}{999}\).

Resultado.\(0,\overline{001}=\frac{1}{999}\).

Revisión.\(\frac{1}{999}=0,001001001\ldots\).

E. Fracción generatriz de decimales periódicos mixtos

Ejercicio 51. Anteperíodo y período de una cifra

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,1\overline{6}\).

  1. Sea \(x=0,16666\ldots\).
  2. Multiplicamos por \(10\): \(10x=1,6666\ldots\).
  3. Multiplicamos por \(100\): \(100x=16,6666\ldots\).
  4. Restamos: \(100x-10x=16-1\).
  5. \(90x=15\), luego \(x=\frac{15}{90}\).

Resultado.\(0,1\overline{6}=\frac{1}{6}\).

Revisión.\(\frac{1}{6}=0,16666\ldots\).

Ejercicio 52. Un anteperíodo distinto

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,2\overline{7}\).

  1. El número formado hasta completar un período es \(27\).
  2. El número formado solo por la parte no periódica es \(2\).
  3. \(0,2\overline{7}=\frac{27-2}{90}=\frac{25}{90}\).
  4. Simplificamos entre \(5\).

Resultado.\(0,2\overline{7}=\frac{5}{18}\).

Revisión.\(\frac{5}{18}=0,27777\ldots\).

Ejercicio 53. Parte entera, anteperíodo y período

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(1,3\overline{2}\).

  1. El número hasta completar un período es \(132\).
  2. La parte entera junto con el anteperíodo forma \(13\).
  3. El denominador es \(90\): un \(9\) por la cifra periódica y un \(0\) por la no periódica.
  4. \(\frac{132-13}{90}=\frac{119}{90}\).

Resultado.\(1,3\overline{2}=\frac{119}{90}\).

Revisión.\(\frac{119}{90}=1,32222\ldots\).

Ejercicio 54. Dos cifras de anteperíodo

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,41\overline{6}\).

  1. El número completo hasta un período es \(416\).
  2. El anteperíodo forma \(41\).
  3. El denominador es \(900\).
  4. \(\frac{416-41}{900}=\frac{375}{900}\).
  5. Simplificamos entre \(75\).

Resultado.\(0,41\overline{6}=\frac{5}{12}\).

Revisión.\(\frac{5}{12}=0,41666\ldots\).

Ejercicio 55. Parte entera y decimal mixto

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(2,5\overline{4}\).

  1. Formamos \(254\) y restamos \(25\).
  2. El denominador es \(90\).
  3. \(\frac{254-25}{90}=\frac{229}{90}\).
  4. La fracción es irreducible.

Resultado.\(2,5\overline{4}=\frac{229}{90}\).

Revisión.\(\frac{229}{90}=2,54444\ldots\).

Ejercicio 56. Anteperíodo de dos cifras

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,12\overline{3}\).

  1. Formamos \(123\) y restamos \(12\).
  2. El denominador es \(900\).
  3. \(\frac{123-12}{900}=\frac{111}{900}\).
  4. Simplificamos entre \(3\).

Resultado.\(0,12\overline{3}=\frac{37}{300}\).

Revisión.\(\frac{37}{300}=0,123333\ldots\).

Ejercicio 57. Decimal mixto con parte entera

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(3,07\overline{2}\).

  1. Formamos \(3072\) y restamos \(307\).
  2. El denominador es \(900\).
  3. \(\frac{3072-307}{900}=\frac{2765}{900}\).
  4. Simplificamos entre \(5\).

Resultado.\(3,07\overline{2}=\frac{553}{180}\).

Revisión.\(\frac{553}{180}=3,072222\ldots\).

Ejercicio 58. Decimal mixto negativo

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(-0,4\overline{5}\).

  1. Calculamos primero la generatriz positiva.
  2. \(\frac{45-4}{90}=\frac{41}{90}\).
  3. Aplicamos el signo negativo.

Resultado.\(-0,4\overline{5}=-\frac{41}{90}\).

Revisión.\(-\frac{41}{90}=-0,45555\ldots\).

Ejercicio 59. Período de dos cifras

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(1,24\overline{36}\).

  1. El número hasta completar un período es \(12436\).
  2. La parte entera y el anteperíodo forman \(124\).
  3. El denominador es \(9900\): dos nueves y dos ceros.
  4. \(\frac{12436-124}{9900}=\frac{12312}{9900}\).
  5. Simplificamos la fracción.

Resultado.\(1,24\overline{36}=\frac{342}{275}\).

Revisión.\(\frac{342}{275}=1,24363636\ldots\).

Ejercicio 60. Ceros en el anteperíodo

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,00\overline{27}\).

  1. El anteperíodo tiene dos cifras, aunque ambas sean cero.
  2. Formamos \(0027\) y restamos \(00\).
  3. El denominador es \(9900\).
  4. \(\frac{27}{9900}\) se simplifica entre \(9\).

Resultado.\(0,00\overline{27}=\frac{3}{1100}\).

Revisión.\(\frac{3}{1100}=0,00272727\ldots\).

Ejercicio 61. Período 09 después de una cifra

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(5,1\overline{09}\).

  1. Formamos \(5109\) y restamos \(51\).
  2. El denominador es \(990\): dos nueves y un cero.
  3. \(\frac{5109-51}{990}=\frac{5058}{990}\).
  4. Simplificamos entre \(18\).

Resultado.\(5,1\overline{09}=\frac{281}{55}\).

Revisión.\(\frac{281}{55}=5,1090909\ldots\).

Ejercicio 62. Período largo después de una cifra

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,3\overline{142857}\).

  1. Formamos \(3142857\) y restamos \(3\).
  2. El denominador tiene seis nueves y un cero: \(9999990\).
  3. \(\frac{3142857-3}{9999990}=\frac{3142854}{9999990}\).
  4. Simplificamos.

Resultado.\(0,3\overline{142857}=\frac{11}{35}\).

Revisión.\(\frac{11}{35}=0,3142857142857\ldots\).

Ejercicio 63. Una forma conocida

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(2,08\overline{3}\).

  1. Formamos \(2083\) y restamos \(208\).
  2. El denominador es \(900\).
  3. \(\frac{2083-208}{900}=\frac{1875}{900}\).
  4. Simplificamos entre \(75\).

Resultado.\(2,08\overline{3}=\frac{25}{12}\).

Revisión.\(\frac{25}{12}=2,083333\ldots\).

Ejercicio 64. Reconstruir una fracción habitual

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(0,58\overline{3}\).

  1. Formamos \(583\) y restamos \(58\).
  2. El denominador es \(900\).
  3. \(\frac{583-58}{900}=\frac{525}{900}\).
  4. Simplificamos entre \(75\).

Resultado.\(0,58\overline{3}=\frac{7}{12}\).

Revisión.\(\frac{7}{12}=0,583333\ldots\).

Ejercicio 65. Parte entera, anteperíodo y período

Enunciado.Calcula la fracción generatriz de \(4,1\overline{6}\).

  1. Formamos \(416\) y restamos \(41\).
  2. El denominador es \(90\).
  3. \(\frac{416-41}{90}=\frac{375}{90}\).
  4. Simplificamos entre \(15\).

Resultado.\(4,1\overline{6}=\frac{25}{6}\).

Revisión.\(\frac{25}{6}=4,16666\ldots\).

F. Orden, representación y razonamiento

Ejercicio 66. Comparar una fracción y un decimal

Enunciado.Compara \(0,75\) y \(\frac{3}{4}\).

  1. Convertimos la fracción: \(\frac{3}{4}=\frac{3}{4}=0,75\).
  2. Las dos escrituras representan el mismo punto de la recta real.

Resultado.\(0,75=\frac{3}{4}\).

Revisión.También \(0,75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\).

Ejercicio 67. Comparar una raíz y un decimal

Enunciado.Compara \(\sqrt{2}\) y \(1,41\).

  1. Ambos números son positivos, así que podemos comparar sus cuadrados.
  2. \(1,41^2=1,9881\).
  3. Como \(1,9881<2\), se cumple \(1,41<\sqrt{2}\).

Resultado.\(\sqrt{2}>1,41\).

Revisión.\(\sqrt{2}\approx1,4142\), coherente con la comparación.

Ejercicio 68. Ordenar números negativos

Enunciado.Ordena de menor a mayor \(-1,5\), \(-\sqrt{2}\) y \(-\frac{7}{5}\).

  1. \(-\frac{7}{5}=-1,4\).
  2. \(-\sqrt{2}\approx-1,4142\).
  3. En números negativos, el de mayor valor absoluto es menor.

Resultado.\(-1,5<-\sqrt{2}<-\frac{7}{5}\).

Revisión.En la recta real, \(-1,5\) queda más a la izquierda y \(-1,4\) más a la derecha.

Ejercicio 69. Encajar una fracción entre decimales

Enunciado.Sitúa \(\frac{5}{3}\) entre dos décimas consecutivas.

  1. Dividimos: \(\frac{5}{3}=1,6666\ldots\).
  2. Las décimas consecutivas que lo encierran son \(1,6\) y \(1,7\).

Resultado.\(1,6<\frac{5}{3}<1,7\).

Revisión.\(1,6=\frac{8}{5}\) y \(1,7=\frac{17}{10}\); al comparar, \(\frac{8}{5}<\frac{5}{3}<\frac{17}{10}\).

Ejercicio 70. Encontrar un racional entre dos irracionales

Enunciado.Escribe un número racional entre \(\sqrt{2}\) y \(\sqrt{3}\).

  1. \(\sqrt{2}\approx1,414\) y \(\sqrt{3}\approx1,732\).
  2. El decimal exacto \(1,5\) está entre ambos.
  3. Además, \(1,5=\frac{3}{2}\), por lo que es racional.

Resultado.Una respuesta posible es \(\frac{3}{2}\).

Revisión.\((\frac{3}{2})^2=2,25\), que está entre \(2\) y \(3\).

Ejercicio 71. Encontrar un irracional entre dos enteros

Enunciado.Escribe un número irracional entre \(2\) y \(3\).

  1. Buscamos un número natural entre \(2^2=4\) y \(3^2=9\) que no sea cuadrado perfecto.
  2. Elegimos \(5\).
  3. Como \(4<5<9\), al extraer raíces se mantiene el orden.

Resultado.\(2<\sqrt{5}<3\), y \(\sqrt{5}\) es irracional.

Revisión.\(\sqrt{5}\approx2,236\).

Ejercicio 72. Densidad racional e irracional

Enunciado.Escribe un racional y un irracional entre \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{2}\).

  1. Para un racional, tomamos el promedio: \(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{5}{12}\).
  2. Para un irracional, usamos \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).
  3. \(\frac{\sqrt{2}}{4}\approx0,3536\), mientras que \(\frac{1}{3}\approx0,3333\) y \(\frac{1}{2}=0,5\).

Resultado.Racional: \(\frac{5}{12}\). Irracional: \(\frac{\sqrt{2}}{4}\).

Revisión.Ambos se encuentran estrictamente entre \(\frac{1}{3}\) y \(\frac{1}{2}\).

Ejercicio 73. Detectar un decimal no periódico

Enunciado.Clasifica \(0,101001000100001\ldots\), donde entre dos unos aparece cada vez un cero más.

  1. El decimal no termina.
  2. No existe un bloque fijo que se repita, porque la cantidad de ceros aumenta.
  3. Por tanto, no es decimal periódico y no puede ser racional.

Resultado.Es un número irracional.

Revisión.No basta con observar repeticiones parciales; debe repetirse indefinidamente un bloque de longitud fija.

Ejercicio 74. Demostrar que \(0,\overline{9}=1\)

Enunciado.Demuestra algebraicamente que \(0,\overline{9}=1\).

  1. Sea \(x=0,\overline{9}\).
  2. Multiplicamos por \(10\): \(10x=9,\overline{9}\).
  3. Restamos la primera igualdad de la segunda: \(10x-x=9\).
  4. Entonces \(9x=9\), por lo que \(x=1\).

Resultado.\(0,\overline{9}=1\).

Revisión.No hay ningún número real entre \(0,\overline{9}\) y \(1\); son dos escrituras del mismo valor.

Ejercicio 75. Clasificación y orden combinados

Enunciado.Clasifica y ordena de menor a mayor \(-\sqrt{4},\ -1,75,\ -\frac{5}{3},\ 0,\overline{3},\ \sqrt{2}\).

  1. \(-\sqrt{4}=-2\), que es entero.
  2. \(-1,75=-\frac{7}{4}\), racional.
  3. \(-\frac{5}{3}=-1,6666\ldots\), racional.
  4. \(0,\overline{3}=\frac{1}{3}\), racional.
  5. \(\sqrt{2}\approx1,4142\), irracional.
  6. Comparamos sus valores aproximados para ordenarlos.

Resultado.\(-\sqrt{4}<-1,75<-\frac{5}{3}<0,\overline{3}<\sqrt{2}\).

Revisión.Los cuatro primeros valores son racionales; solo \(\sqrt{2}\) es irracional.

30 ejercicios para practicar

Esta selección es más breve que la colección resuelta. Su finalidad es comprobar que el procedimiento puede aplicarse sin copiar un modelo. Conviene anotar en cada ejercicio la razón de la clasificación o la regla utilizada.

  1. Clasifica \(-12\) en el conjunto más pequeño posible.
  2. Clasifica \(\sqrt{64}\).
  3. Clasifica \(\sqrt{11}\).
  4. Clasifica \(2,375\).
  5. Clasifica \(0,\overline{04}\).
  6. Convierte \(\frac{9}{16}\) en decimal.
  7. Convierte \(\frac{13}{20}\) en decimal.
  8. Convierte \(\frac{5}{12}\) en decimal e indica su tipo.
  9. Convierte \(\frac{8}{27}\) en decimal.
  10. Convierte \(-\frac{11}{30}\) en decimal.
  11. Sin dividir, determina el tipo decimal de \(\frac{17}{80}\).
  12. Sin dividir, determina el tipo decimal de \(\frac{7}{24}\).
  13. Sin dividir, determina el tipo decimal de \(\frac{10}{33}\).
  14. Sin dividir, determina el tipo decimal de \(\frac{14}{35}\).
  15. Sin dividir, determina el tipo decimal de \(\frac{19}{45}\).
  16. Calcula la fracción generatriz de \(0,56\).
  17. Calcula la fracción generatriz de \(2,875\).
  18. Calcula la fracción generatriz de \(-0,032\).
  19. Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{8}\).
  20. Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{54}\).
  21. Calcula la fracción generatriz de \(3,\overline{12}\).
  22. Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{037}\).
  23. Calcula la fracción generatriz de \(0,3\overline{8}\).
  24. Calcula la fracción generatriz de \(1,07\overline{2}\).
  25. Calcula la fracción generatriz de \(0,24\overline{36}\).
  26. Calcula la fracción generatriz de \(-2,1\overline{4}\).
  27. Compara \(0,\overline{6}\) y \(\frac{2}{3}\).
  28. Ordena \(1,7\), \(\sqrt{3}\) y \(\frac{7}{4}\).
  29. Escribe un racional entre \(\sqrt{5}\) y \(\sqrt{6}\).
  30. Clasifica \(0,12122122212222\ldots\), donde cada bloque contiene un \(1\) seguido de una cantidad creciente de cifras \(2\).
Ver resultados de los 30 ejercicios
N.ºResultado
1\(-12\in\mathbb{Z}\)
2\(\sqrt{64}=8\in\mathbb{N}\)
3\(\sqrt{11}\in\mathbb{I}\)
4\(2,375\in\mathbb{Q}\)
5\(0,\overline{04}\in\mathbb{Q}\)
6\(0,5625\)
7\(0,65\)
8\(0,41\overline{6}\), periódico mixto
9\(0,\overline{296}\)
10\(-0,3\overline{6}\)
11Exacto
12Periódico mixto
13Periódico puro
14Exacto, porque \(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\)
15Periódico mixto
16\(\frac{14}{25}\)
17\(\frac{23}{8}\)
18\(-\frac{4}{125}\)
19\(\frac{8}{9}\)
20\(\frac{6}{11}\)
21\(\frac{103}{33}\)
22\(\frac{37}{999}\)
23\(\frac{7}{18}\)
24\(\frac{193}{180}\)
25\(\frac{67}{275}\)
26\(-\frac{193}{90}\)
27Son iguales.
28\(1,7<\sqrt{3}<\frac{7}{4}\)
29Por ejemplo, \(\frac{12}{5}\).
30Irracional, porque no existe un período de longitud fija.

Dos simulacros completos

Cada simulacro combina conceptos y procedimientos. El objetivo no es repetir mecánicamente 75 modelos, sino seleccionar el método adecuado y justificar por qué se aplica.

Simulacro A · 45 minutos

  1. Clasifica en el conjunto más pequeño posible \(9\), \(-4\), \(\frac{7}{3}\), \(\sqrt{25}\) y \(\sqrt{13}\).
  2. Explica la diferencia entre decimal periódico puro y periódico mixto.
  3. Convierte \(\frac{13}{24}\) en decimal e indica su tipo.
  4. Sin dividir, determina el tipo decimal de \(\frac{21}{140}\).
  5. Calcula la fracción generatriz de \(0,625\).
  6. Calcula la fracción generatriz de \(0,\overline{72}\).
  7. Calcula la fracción generatriz de \(1,4\overline{27}\).
  8. Ordena \(-\sqrt{3}\), \(-1,7\) y \(-\frac{5}{3}\).
  9. Escribe un racional y un irracional entre \(1\) y \(2\).
  10. Justifica por qué una fracción irreducible con denominador \(2^3\cdot5^2\) tiene decimal exacto.
Soluciones del simulacro A
  1. \(9,\sqrt{25}\in\mathbb{N}\), \(-4\in\mathbb{Z}\), \(\frac{7}{3}\in\mathbb{Q}\), \(\sqrt{13}\in\mathbb{I}\).
  2. En el puro, el período empieza tras la coma. En el mixto hay anteperíodo.
  3. \(\frac{13}{24}=0,541\overline{6}\), periódico mixto.
  4. \(\frac{21}{140}=\frac{3}{20}\), exacto.
  5. \(0,625=\frac{625}{1000}=\frac{5}{8}\).
  6. \(0,\overline{72}=\frac{72}{99}=\frac{8}{11}\).
  7. \(\frac{1427-14}{990}=\frac{1413}{990}=\frac{157}{110}\).
  8. \(-\sqrt{3}<-1,7<-\frac{5}{3}\).
  9. Por ejemplo, \(\frac{3}{2}\) y \(\sqrt{2}\).
  10. El denominador solo contiene los factores \(2\) y \(5\), por lo que puede transformarse en una potencia de \(10\).

Simulacro B · 50 minutos

  1. Indica todos los conjuntos a los que pertenece \(0,\overline{25}\).
  2. Clasifica \(\sqrt{81}\), \(\sqrt{15}\), \(\pi-3\) y \(0,004\).
  3. Convierte \(\frac{17}{45}\) en decimal e indica anteperíodo y período.
  4. Decide sin dividir el tipo decimal de \(\frac{18}{75}\), \(\frac{7}{18}\) y \(\frac{5}{21}\).
  5. Calcula la fracción generatriz de \(3,045\).
  6. Calcula la fracción generatriz de \(2,\overline{07}\).
  7. Calcula la fracción generatriz de \(0,15\overline{4}\).
  8. Compara \(\frac{11}{8}\) y \(\sqrt{2}\).
  9. Escribe dos racionales distintos entre \(0,\overline{3}\) y \(0,4\).
  10. Explica por qué la aproximación \(3,1416\) es racional aunque se utilice para representar \(\pi\).
Soluciones del simulacro B
  1. \(0,\overline{25}\in\mathbb{Q}\) y \(\mathbb{R}\).
  2. \(\sqrt{81}=9\in\mathbb{N}\), \(\sqrt{15}\in\mathbb{I}\), \(\pi-3\in\mathbb{I}\), \(0,004\in\mathbb{Q}\).
  3. \(\frac{17}{45}=0,3\overline{7}\). Anteperíodo \(3\), período \(7\).
  4. \(\frac{18}{75}=\frac{6}{25}\) exacto, \(\frac{7}{18}\) mixto y \(\frac{5}{21}\) puro.
  5. \(3,045=\frac{3045}{1000}=\frac{609}{200}\).
  6. \(\frac{207-2}{99}=\frac{205}{99}\).
  7. \(\frac{154-15}{900}=\frac{139}{900}\).
  8. \(\frac{11}{8}=1,375<\sqrt{2}\).
  9. Por ejemplo, \(0,35\) y \(0,38\).
  10. Porque \(3,1416=\frac{31416}{10000}=\frac{3927}{1250}\), mientras que \(\pi\) tiene infinitas cifras no periódicas.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

1. Pensar que todo decimal infinito es irracional

Un decimal periódico tiene infinitas cifras, pero es racional. La pregunta correcta no es si termina, sino si termina o repite un período.

2. Clasificar una raíz sin calcularla

\(\sqrt{36}\) no es irracional. Antes de clasificar una raíz hay que comprobar si el radicando es un cuadrado perfecto o si puede simplificarse.

3. Estudiar el denominador antes de simplificar

El criterio de los factores \(2\) y \(5\) se aplica a la fracción irreducible. Por ejemplo, \(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\) es decimal exacto.

4. Confundir período y anteperíodo

En \(0,12\overline{3}\), el anteperíodo es \(12\) y el período es \(3\). La barra debe colocarse únicamente sobre las cifras que se repiten.

5. Poner demasiados nueves en la generatriz

El denominador lleva un \(9\) por cada cifra del período, no por cada cifra decimal escrita. En \(0,\overline{27}\) corresponden dos nueves.

6. Olvidar los ceros del anteperíodo

En \(0,00\overline{27}\), los dos ceros forman parte del anteperíodo. El denominador es \(9900\), no \(99\).

7. No restar la parte entera en un periódico puro

Para \(2,\overline{18}\), la regla es \(\frac{218-2}{99}\), no \(\frac{218}{99}\).

8. No simplificar la fracción final

La fracción generatriz debe presentarse normalmente en forma irreducible. \(\frac{45}{99}\) es correcta como paso intermedio, pero el resultado final es \(\frac{5}{11}\).

9. Creer que la pantalla de la calculadora muestra el número exacto

La calculadora trunca o redondea. La escritura \(1,41421356\) es una aproximación racional de \(\sqrt{2}\), no el número completo.

10. Ordenar negativos como si fueran positivos

Entre \(-1,8\) y \(-1,6\), el menor es \(-1,8\). En la recta real está más a la izquierda.

Revisión final de cualquier ejercicio

  1. Identificar el tipo de número o decimal.
  2. Elegir el procedimiento adecuado.
  3. Escribir el período y el anteperíodo con precisión.
  4. Simplificar la fracción.
  5. Comprobar dividiendo numerador entre denominador.

Ruta de aprendizaje y recursos relacionados

Este tema conecta la aritmética de cursos anteriores con el álgebra de 3.º ESO. Los enlaces siguientes permiten reforzar únicamente la parte necesaria y continuar sin repetir contenidos.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre un número racional y uno irracional?

Un racional puede escribirse como fracción de enteros y su decimal es exacto o periódico. Un irracional no puede escribirse como esa fracción y su decimal es infinito no periódico.

¿Todos los números enteros son racionales?

Sí. Cualquier entero \(n\) puede escribirse como \(\frac{n}{1}\).

¿Todo decimal infinito es irracional?

No. Los decimales periódicos son infinitos y racionales. Solo son irracionales los infinitos no periódicos.

¿Cómo sé si una fracción dará un decimal exacto?

Se simplifica la fracción y se factoriza el denominador. El decimal es exacto cuando solo aparecen los factores primos \(2\) y \(5\).

¿Cuándo es periódico puro?

Cuando el denominador irreducible no contiene los factores \(2\) ni \(5\). En ese caso, el período empieza inmediatamente después de la coma.

¿Cuándo es periódico mixto?

Cuando el denominador irreducible contiene algún factor \(2\) o \(5\) y, además, otros factores primos.

¿Qué es el anteperíodo?

Es el grupo de cifras decimales que aparece antes de que comience la repetición. En \(0,12\overline{3}\), el anteperíodo es \(12\).

¿Por qué aparecen nueves y ceros en la fracción generatriz?

Los nueves proceden de restar potencias de 10 que desplazan un período completo. Los ceros corresponden a las cifras no periódicas que deben desplazarse antes de efectuar esa resta.

¿Una raíz cuadrada es siempre irracional?

No. Las raíces de cuadrados perfectos son racionales. Por ejemplo, \(\sqrt{81}=9\). En cambio, \(\sqrt{11}\) es irracional.

¿Por qué \(0,\overline{9}\) es igual a 1?

Porque si \(x=0,\overline{9}\), entonces \(10x=9,\overline{9}\). Al restar se obtiene \(9x=9\), luego \(x=1\).

¿Conviene memorizar las reglas de la fracción generatriz?

Conviene entender primero la resta algebraica. La regla abreviada será entonces una consecuencia lógica y será más difícil confundir nueves, ceros, período y anteperíodo.

¿Este contenido sirve para preparar 4.º ESO?

Sí. La clasificación de números reales y el trabajo con fracciones y decimales forman parte de la base necesaria para radicales, logaritmos, ecuaciones y funciones.

Cuando el procedimiento todavía no sale con seguridad

Si el alumno conoce la regla pero se bloquea al decidir qué cifras forman el período, cómo construir el denominador o cómo comprobar el resultado, en Marlu Educativa trabajamos el razonamiento paso a paso hasta que pueda resolverlo sin depender de una plantilla.

Consultar prematrícula

José María · Profesor de Matemáticas, Física y Química · Marlu Educativa

Recurso elaborado para 3.º ESO y revisado ejercicio por ejercicio. Última revisión 22 de julio de 2026.

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